抽象代数 · 笔记目录

1Groups: Definition and Examples

群的基本定义与例子

二元运算、群的三条公理、常见群的例子、四个基本性质

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2The Smallest Non-Abelian Group: S₃

阶数最小的非交换群：置换群 S₃

置换记号、轮换、S₃ 的乘法表与生成元

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3Subgroups

子群

子群判定定理、生成子群、元素的阶与循环子群

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4Cosets (I)

陪集 (i)

左/右陪集的定义、陪集的性质与群的陪集分解

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5Cosets (II)

陪集 (ii)

指数、拉格朗日定理及其推论、等价关系视角

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6Euler's Theorem via Group Theory

用群论证明欧拉定理

乘法群 (ℤ/nℤ)*、欧拉函数、费马小定理与算例

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7Normal Subgroups and Quotient Groups

正规子群与商群

正规子群判定、商群构造、换位子群、ℤ/nℤ 再审视

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8Homomorphisms and Isomorphisms

同态与同构

核与像、同态基本定理、同构定理与对应定理

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9Structure of Cyclic Groups

循环群的结构

循环群分类定理、子群与因子的对应、生成元个数

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10Automorphism Groups of Cyclic Groups

循环群的自同构群

Aut(ℤ/nℤ) ≅ (ℤ/nℤ)*、自同构由生成元的像决定

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11Permutation Groups (I)

置换群 (i)

凯莱定理、不相交轮换分解、置换的阶与共轭

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12Permutation Groups (II)

置换群 (ii)

对换分解、奇偶性与符号函数、交错群 Aₙ

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13A₅ is Simple

置换群 (iii)：A₅ 是单群

单群定义、A₅ 的子群结构、|A₅|=60 的论证

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14Group Actions (I)

群对集合的作用 I

群作用定义、轨道、稳定子群、经典例子

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15Group Actions (II)

群对集合的作用 II

轨道-稳定子群定理、Burnside 计数公式、正规化子群

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16Sylow Theorems (I)

Sylow 定理 I

p-Sylow 子群定义、Sylow 第一定理与证明

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17Sylow Theorems (II)

Sylow 定理 II

Sylow 第二/第三定理、n_p 整除与同余条件

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18Sylow Theorems (III): Examples

Sylow 定理 III：应用与例子

56、72、15 阶群的单群/循环判断、数元素法

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19Applications of Sylow Theorems

Sylow 定理的应用

单群判别、72 与 108 阶群非单、n_p 分析

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20Solvable Groups

可解群

换位子序列、可解群定义、p-群必可解、A₅ 不可解

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23Nilpotent Groups

幂零群

上中心群列、幂零群与幂零指数、S₃ 与 Q₈ 例子、可解群对比

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24iRings: Definition and Examples (I)

环的基本概念与例子 (i)

环的定义三条件、幺环/交换环、Z、Z/nZ、M_n(R)、End(M)、四元数环

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24iiRings: Properties, Zero Divisors, Fields (II)

环的基本概念与例子 (ii)

二项式展开、nA 标量倍、分配律、零因子、整环消去律、除环/域、Z_p 是域

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26Subrings and Ideals

子环与理想

子环判据、理想与吸收性、主理想、核是理想、商环 well-defined 铺垫

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27Quotient Rings and the Homomorphism Theorem

商环与环的同态定理

商环 R/I、环同态的核与像、环的第一同态定理 R/ker f ≅ im f

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28The Homomorphism Theorems for Rings (II)

环的同态定理 (ii)

环的同态对应定理、第二/第三同构定理、商环结构、自同构群

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29Integral Domains and Fields of Fractions

整环与分式域

整环、可除环/域、特征 p、分式域 Frac(R)、Frac(Z)≅Q

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32Euclidean Domains and PIDs

欧氏整区与主理想整区

PID、欧氏整环、高斯整环 Z[i]、不可约/素元、欧氏⊂PID⊂UFD

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33Polynomial Rings over a Field

域上的一元多项式环

F[x] 是 UFD、带余除法、因式定理、不可约多项式、极大理想、商域

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34Prime Ideals

素理想

素理想等价于商环整环、极大理想等价于商环域、Zorn 引理、零根

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35Field Extensions

域扩张

代数元与超越元、极小多项式、扩张次数、单扩张、次数乘法公式

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36Finite Multiplicative Subgroups Are Cyclic

域的有限乘法子群必为循环群

有限域乘法群循环、本原元、多项式根个数论证

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36Field Extensions (II)

域扩张 (ii)

有限/无限扩张、次数塔公式、素数次无中间域、添加有限代数元

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37Algebraic Closure and Algebraically Closed Fields

代数闭包与代数闭域

代数闭域、代数闭包存在与唯一、C 代数闭、等价刻画

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38Splitting Fields (I)

分裂域 (i)

分裂域定义、存在性、唯一性（F 上方程同构）、次数与例子

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39Splitting Fields (II)

分裂域 (ii)

域同构延拓引理、分裂域同构意义下唯一、有限域存在性预告

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41Automorphism Groups and Galois Groups

域的自同构群与 Galois 群

自同构群、Galois 群、共轭、不动域、Galois 对应

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42Finite Fields (Galois Fields)

有限域

有限域阶数为素数幂、有限域构造与唯一性、本原元、Frobenius 自同构

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