抽象代数 · 课程学习笔记

第 26 讲 · 子环与理想

Subrings and Ideals
进度 26 / 38 讲 核心概念：子环 · 理想 · 吸收性 · 主理想 · 商环铺垫
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◎学习目标

  1. 掌握子环（subring）的定义与等价判据：子集合 \(S\subseteq R\) 对 \(R\) 的减法封闭且对乘法封闭；若 \(R\) 含 \(1\) 且 \(1_R\in S\)，则称 \(S\) 是含 \(1\) 的子环；
  2. 能列举常见子环例子：\(\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\)、\(R\subset R[x]\)、上三角矩阵环 \(T_n(R)\)、对角矩阵环 \(D_n(R)\)；
  3. 理解环的中心 \(Z(R)\)，会证它是子环，且 \(Z(R)=R\iff R\) 交换；
  4. 掌握理想（ideal）的定义：加法子群 \(I\) 且满足吸收性 \(RI\subseteq I,\ IR\subseteq I\)；区分左理想、右理想、双边理想；
  5. 理解「理想 ⊆ 子环」的关系：理想一定是子环，子环未必是理想；会证两个理想的交、和、积仍是理想；
  6. 掌握主理想 \((a)\)：由单个元素生成的理想；交换环中 \((a)=aR=\{ra\mid r\in R\}\)；
  7. 认识典型理想：\(n\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的理想、环同态的核 \(\ker f\) 是理想、\(0\) 与 \(R\) 为平凡理想；
  8. 初步理解商环 \(R/I\) 的铺垫：只有理想才作得以定义商环，类比群论中的正规子群 \(N\) 与商群 \(G/N\)；会证 \(I\) 是理想时 \(R/I\) 的加法 well-defined。

1子环：定义与等价判据 ⏱ 00:18

本讲引入的三个概念——子环、理想、商环——分别平行于群论中的子群、正规子群、商群。先来看子环。

定义 · 子环（subring） 设 \(R\) 是一个环（含加法 \((+)\) 与乘法 \((\cdot)\) 两种运算）。若 \(S\subseteq R\) 的非空子集，在继承 \(R\) 的加法与乘法下自身仍构成一个环，则称 \(S\) 是 \(R\) 的子环。
验证要点 ⏱ 01:50 类比验证子群：不必逐条核对环的公理（结合律、分配律等已因元素属于大环 \(R\) 而自动满足），只需验证两条封闭性。
子环判据（等价定义） \(S\subseteq R\) 是 \(R\) 的子环，当且仅当对任意 \(a,b\in S\)：
\[ a-b\in S \quad(\text{对减法封闭}), \qquad a\cdot b\in S \quad(\text{对乘法封闭}). \]
其中「减法封闭」保证 \(S\) 在加法下是 \(R\) 加法群（即 \((R,+)\)）的子群；「乘法封闭」保证乘法也落回 \(S\)。两条同时满足即子环。
含 1 的子环 若 \(R\) 含单位元 \(1_R\)，且 \(1_R\in S\)，则称 \(S\) 是 \(R\) 的含 1 的子环（有的教材简称含单位元的子环）。注意：很多子环不含 \(R\) 的单位元（如 \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\) 时 \(\mathbb{Z}\) 仍含 \(1\)，但某些子环不含）。

2子环的例子 ⏱ 04:40

例 1 · \(\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的子环 ⏱ 04:52 有理数域 \(\mathbb{Q}\) 在通常加法、乘法下是环；整数集 \(\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\) 对加减乘都封闭，故 \(\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的子环。
例 2 · \(R\) 是 \(R[x]\) 的子环 ⏱ 05:18 实数域上的多项式环 \(\mathbb{R}[x]\) 是一个环；把实数看作零次多项式，\(\mathbb{R}\subset\mathbb{R}[x]\)，加法与乘法封闭，故 \(\mathbb{R}\) 是 \(\mathbb{R}[x]\) 的子环。
例 3 · 上三角矩阵 \(T_n(R)\) ⏱ 05:55 \(n\) 阶实数矩阵全体 \(\mathrm{M}_n(\mathbb{R})\) 是矩阵环。取上三角矩阵全体 \(T_n(\mathbb{R})=\{A\in\mathrm{M}_n(\mathbb{R})\mid a_{ij}=0,\ i>j\}\)。两个上三角矩阵相减、相乘仍是上三角矩阵，故 \(T_n(\mathbb{R})\) 是 \(\mathrm{M}_n(\mathbb{R})\) 的子环。
例 4 · 对角矩阵 \(D_n(R)\) ⏱ 07:30 对角矩阵全体 \(D_n(\mathbb{R})\)（非对角元全为 \(0\)）对矩阵加、减、乘封闭，故也是 \(\mathrm{M}_n(\mathbb{R})\) 的子环。
命题 · 子环的交还是子环 ⏱ 08:03 若 \(I,J\) 都是 \(R\) 的子环，则 \(I\cap J\) 也是 \(R\) 的子环（对减法、乘法封闭性直接传递）。实际上任意多个子环的交集仍是子环。

3环的中心 \(Z(R)\) ⏱ 08:50

类比「群的中心 \(Z(G)\)」，环有两个运算。加法下 \(R\) 本来就是（交换）群，无需再考虑加法交换；故环的中心只就乘法定义——和 \(R\) 中所有元素在乘法下交换的那些元素构成的集合。

定义 · 环的中心 \[ Z(R) = \{\, c\in R \mid c r = r c,\ \forall r\in R \,\}. \] 即环 \(R\) 中所有与 \(R\) 中每个元素乘法可交换的元素。
命题 · \(Z(R)\) 是 \(R\) 的子环 ⏱ 09:50 取 \(c_1,c_2\in Z(R)\)，需证 \(c_1-c_2\in Z(R)\) 且 \(c_1c_2\in Z(R)\)。
验证（点击展开）

减法（吸收交换性）：对任意 \(r\in R\)，

\[ (c_1-c_2)r = c_1 r - c_2 r = r c_1 - r c_2 = r(c_1-c_2), \]
其中 \(c_1r=rc_1,\ c_2r=rc_2\)（中心元素可交换），故 \(c_1-c_2\in Z(R)\)。

乘法（结合律 + 交换性）：对任意 \(r\in R\)，

\[ (c_1c_2)r = c_1(cr) = c_1(rc_2) = (rc_1)c_2 = r(c_1c_2), \]
用到结合律以及 \(c_2\) 在中心中（\(cr=rc_2\)）与 \(c_1\) 在中心中（\(c_1 r' = r' c_1\)），故 \(c_1c_2\in Z(R)\)。⏱ 13:15

\(Z(R)\) 非空（\(0\in Z(R)\)），对减法、乘法均封闭，故 \(Z(R)\) 是子环。

注记 · 中心等于整个环 ⏱ 14:40 若 \(Z(R)=R\)，说明 \(R\) 中每个元素都与其他所有元素乘法可交换，即 \(R\) 是交换环；反之若 \(R\) 交换，则 \(Z(R)=R\)。这与「交换群的中心等于群本身」平行。

4理想：定义与吸收性 ⏱ 15:58

群论里「正规子群」比子群多一条「共轭封闭」的强条件；环里对应正规子群的角色就是理想——它比子环多了一条吸收性。

定义 · 理想（ideal） ⏱ 16:24 设 \(I\subseteq R\)。若 \(I\) 同时满足：
  1. \(I\) 在加法下是 \(R\) 的加法子群（即对减法封闭）；
  2. 对任意 \(r\in R,\ a\in I\)，都有 \(r a\in I\) 且 \(a r\in I\)（吸收性）。⏱ 17:26
则称 \(I\) 是 \(R\) 的（双边）理想。
左理想 · 右理想 · 双边理想 若只要求 \(r a\in I\)（左乘吸收）称为左理想；只要求 \(a r\in I\)（右乘吸收）称为右理想；两边都满足才称（双边）理想。在交换环中三者一致。
吸收性：理想区别于子环的关键 ⏱ 18:06 子环只要求「取 \(a,b\in I\)，\(a\cdot b\in I\)」；而理想要求「取一个来自大环 \(R\) 的元素 \(r\)，与 \(I\) 中元素相乘，仍落回 \(I\)」。这是吸收：\(I\) 能把 \(R\) 整个乘进来的结果「吸」进自己。正因如此，理想一定是子环（令 \(r\in I\subseteq R\)，则 \(ra\in I\)），但子环未必是理想。
关系 · 理想 ⊆ 子环
\[ I\ \text{是理想} \ \Rightarrow\ I\ \text{是子环}, \qquad \text{反之不一定成立}. \]
例 · \(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\) 中由 \(e_{11}\) 生成的左理想不是双边理想 ⏱ 19:20 记 \(e_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)。考虑 \(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\) 中由 \(e_{11}\) 生成的左理想 \(L=\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\,e_{11}\)。取一个右乘的矩阵 \(M=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\)，计算 \(e_{11}M=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=0\) 还在 \(L\)；但考虑 \(L\) 中元素如 \(e_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\)，再右乘 \(N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，得 \(e_{21}N=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)……更直接的反例：取 \(x=e_{12}\in L\)（它形如 \(M e_{11}\)），令 \(M=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，则 \(M x = e_{12}e_{12}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)。真正说明「非双边」的核心是：左理想 \(L\) 只对左乘封闭（\(M x\in L\)），不保证对任意右乘封闭（存在 \(x\in L,\ N\in\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\) 使 \(xN\notin L\)），因此它不是双边理想。
对照 由 \(e_{11}\) 生成的双边理想是 \(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\,e_{11}\,\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\)，它是 \(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\) 的一个非平凡理想（含 \(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)、\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)、\(\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\) 等）。可见「左吸收」与「双边吸收」是不同条件。

5理想的运算：交、和、积 ⏱ 19:56

命题 ⏱ 20:20 设 \(I,J\) 都是 \(R\) 的理想，则：
  • 交：\(I\cap J\) 是 \(R\) 的理想（集合交 + 吸收性传递）；
  • 和：\(I+J=\{a+b\mid a\in I,\ b\in J\}\) 是 \(R\) 的理想；
  • 积：\(IJ=\Big\{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\ \Big|\ a_i\in I,\ b_i\in J,\ n\ge1\Big\}\)（有限个 \(I\)、\(J\) 中元素乘积之和）是 \(R\) 的理想。
证明 \(IJ\) 是理想（点击展开） ⏱ 22:00

第一步 · 加法子群：取 \(I,J\) 中元素的两组有限乘积和

\[ x=\sum_{i=1}^{N} a_i b_i,\qquad y=\sum_{j=1}^{M} c_j d_j,\qquad a_i,c_j\in I,\ b_i,d_j\in J. \]
则
\[ x-y = \sum_{i=1}^{N} a_i b_i + \sum_{j=1}^{M} (-c_j)d_j, \]
其中 \((-c_j)\in I\)（\(I\) 加法子群含逆元）、\(d_j\in J\)，故 \(x-y\) 仍是「\(I\) 中元素 \(\times\) \(J\) 中元素」的有限和，属于 \(IJ\)。所以 \(IJ\) 在加法下是子群。

第二步 · 吸收性：取任意 \(r\in R\) 与 \(x=\sum_{i=1}^{N} a_i b_i\in IJ\)。

\[ r x = \sum_{i=1}^{N} (r a_i) b_i, \]
由 \(I\) 是理想，\(a_i\in I,\ r\in R\Rightarrow r a_i\in I\)；\(b_i\in J\)。故 \(r x\) 是「\(I\) 中元素 \(\times J\) 中元素」的有限和，仍属于 \(IJ\)。
\[ x r = \sum_{i=1}^{N} a_i (b_i r), \]
由 \(J\) 是理想，\(b_i\in J,\ r\in R\Rightarrow b_i r\in J\)；\(a_i\in I\)，故 \(x r\in IJ\)。两条吸收性都满足，\(IJ\) 是理想。

另一常用理想 ⏱ 29:23 设 \(m\ge1\)，记 \(R_m=\{a\in R\mid m a=0\}\)。由理想定义可直接验证（取 \(a,b\in R_m\)，则 \(m(a-b)=ma-mb=0\)；再取 \(r\in R\)，\(m(ra)=(mr)a=0\)），\(R_m\) 是 \(R\) 的理想。

6子集合生成的理想与主理想 ⏱ 32:51

类比群论「子集合生成的子群」，这里定义「子集合生成的理想」，并导出特别重要的主理想。

定义 · 由 \(S\) 生成的理想 ⏱ 34:06 设 \(S\subseteq R\)。记 \[ \mathcal{X}=\{\, I\mid I\text{ 是 }R\text{ 的理想且 }S\subseteq I \,\}. \] 定义
\[ (S) = \bigcap_{I\in\mathcal{X}} I. \]
由于「理想之交仍是理想」，\((S)\) 本身是理想，且是包含 \(S\) 的最小的理想，称为由 \(S\) 生成的理想。
定义 · 主理想 ⏱ 36:20 若 \(S=\{a\}\) 只含一个元素 \(a\in R\)，则称 \((a)\) 是由 \(a\) 生成的主理想。
命题 · 交换环中主理想的形式 ⏱ 38:46 若 \(R\) 是交换环，则
\[ (a) = aR = \{\, r a \mid r\in R \,\}. \]
交换时不必区分左右；若 \(R\) 只是非交换环，一般 \((a)\) 由有限形如 \(r_1 a_1+\cdots+r_k a_k\)（\(a_i\in S,\ r_i\in R\)）之和生成，含 \(aR+Ra+\sum r a s\) 等项。
有限生成 ⏱ 37:55 当 \(S=\{a_1,\dots,a_k\}\) 为有限集，\((S)\) 称为有限生成理想；\(k=1\) 时即为主理想。
例 · \(\mathbb{Z}\) 的主理想 ⏱ 39:32 整数环 \(\mathbb{Z}\) 中由 \(n\) 生成的主理想 \[ (n) = n\mathbb{Z} = \{\, kn \mid k\in\mathbb{Z} \,\} = \{0,\ \pm n,\ \pm 2n,\dots\}, \] 即 \(n\) 的全体整数倍。它是 \(\mathbb{Z}\) 的理想。

7典型理想：\(n\mathbb{Z}\)、核、平凡理想 ⏱ 39:01

命题 · \(n\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的理想 ⏱ 31:46 取 \(n_1,n_2\in\mathbb{Z}\)：
\[ n_1 - n_2\ \text{是 } n\text{ 的倍数} \Rightarrow n_1-n_2\in n\mathbb{Z}; \] 取 \(r\in\mathbb{Z}\)，则 \(r(n_1) = n(rn_1)\in n\mathbb{Z}\)。两条（减法封闭 + 吸收性）都满足，故 \(n\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的理想。
事实 · \(\mathbb{Z}\) 的理想全形如 \(n\mathbb{Z}\) 事实上，\(\mathbb{Z}\) 的每一个理想都恰是某个 \(n\mathbb{Z}\)（\(n\ge0\)）：若 \(I\neq0\) 是理想，取 \(I\) 中最小正元 \(n\)，则任意 \(a\in I\) 用带余除法 \(a=qn+r,\ 0\le r主理想整环（PID），整环（domain）的概念将在第 29 讲引入。

7.1 环同态与核

定义 · 环同态 / 环同构 ⏱ 40:44 类比群同态：若映射 \(f:R\to R'\) 同时保持加法与乘法（\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)、\(f(ab)=f(a)f(b)\)），称 \(f\) 为环同态；若还双射，则称环同构。
命题 · 核是理想 ⏱ 42:54 若 \(f:R\to R'\) 是环同态，则
\[ \ker f = \{\, a\in R \mid f(a)=0_{R'} \,\} \]
是 \(R\) 的理想。验证：
  • 加法子群：\(a,b\in\ker f\Rightarrow f(a-b)=f(a)-f(b)=0-0=0\)，故 \(a-b\in\ker f\)；
  • 吸收性：\(a\in\ker f,\ r\in R\)，则 \(f(ra)=f(r)f(a)=f(r)\cdot 0=0\)，故 \(ra\in\ker f\)；类似 \(ar\in\ker f\)。
定义 · 平凡理想 ⏱ 47:55 任何环 \(R\) 都至少有两个理想： \[ \{0\}\quad(\text{零理想}), \qquad R\quad(\text{整个环}). \] 称 \(\{0\}\) 与 \(R\) 为 \(R\) 的平凡理想。
命题 · 域 ⟺ 只有平凡理想 ⏱ 48:45 若 \(R\) 是含 \(1\) 的交换环，则 \(R\) 是域（每个非零元可逆），当且仅当 \(R\) 只有平凡理想。
证明（点击展开）

(⇒)：设 \(I\neq0\) 是 \(R\) 的理想，取 \(0\neq a\in I\)。因 \(R\) 是域，\(a\) 有逆 \(a^{-1}\in R\)。由吸收性，\(1=a a^{-1}\in I\)，从而 \(R=R\cdot1\subseteq I\)，故 \(I=R\)。所以任何非零理想都等于 \(R\)，即只有平凡理想。

(⇐) 若 \(R\) 只有平凡理想，则 \(R\) 是域：取任意 \(0\neq a\in R\)。考虑主理想 \((a)\)，因 \(a\neq0\) 故 \((a)\neq0\)；由假设只有平凡理想，得 \((a)=R\)。特别地 \(1\in(a)\)，故存在 \(b\in R\) 使 \(a b=1\)（交换环中即 \(ba=1\)），即 \(a\) 可逆。故 \(R\) 每个非零元可逆，是域。

8商环的铺垫与理想的必要性 ⏱ 57:29

群论中：要对 \(G/N\) 定义商群，必须用正规子群 \(N\)，否则陪集乘法不 well-defined。环中对应的「正规子群」就是理想：要定义商环 \(R/I\)，必须用理想 \(I\)。本讲先做铺垫。

铺垫 · 为什么要用理想而不是子环 类比群：正规子群 \(N\) 满足 \(gN=N g\)（左右陪集相等），才能保证 \(G/N\) 上的乘法 well-defined。环中，理想 \(I\) 的吸收性 \(R I\subseteq I\)、\(I R\subseteq I\) 正是保证「加法商」well-defined 的代数条件；一般子环不具备此吸收性，故用子环无法定义商环。
定义 · 商环 \(R/I\)（铺垫） 设 \(I\) 是 \(R\) 的理想。定义 \(R/I\) 的加法：
\[ (a+I)+(b+I) = (a+b)+I. \]
这是陪集加法：把 \(R\) 中所有与 \(a\) 同模 \(I\) 的元素归为一类 \(a+I\)。
关键论证 · \(I\) 是理想 \(\Rightarrow\) \(R/I\) 的加法 well-defined ⏱ 58:30

目标：若 \(a'-I=a+I\)、\(b'-I=b+I\)（即 \(a'-a\in I\)、\(b'-b\in I\)），需证 \((a'+b')+I=(a+b)+I\)。

论证：

\[ (a'+b') - (a+b) = (a'-a) + (b'-b). \]
由假设 \(a'-a\in I\)、\(b'-b\in I\)，而 \(I\) 是加法子群（对减法/加法封闭），故它们的和仍在 \(I\) 中，即
\[ (a'+b')-(a+b)\in I. \]
这意味着 \(a'+b'\) 与 \(a+b\) 在同一个陪集 \(a+I\) 里，加法 well-defined。

吸收性的角色：进一步要定义 \(R/I\) 上的乘法 \((a+I)(b+I)=(ab)+I\)，需要更强的条件——取 \(a'\equiv a\pmod I\)、\(b'\equiv b\pmod I\)（即 \(a'-a\in I,\ b'-b\in I\)），则

\[ a'b' - ab = a'(b'-b) + (a'-a)b. \]
第一项 \(a'(b'-b)\)：\(b'-b\in I\)，\(a'\in R\)，由右吸收性 \(R\cdot I\subseteq I\)，得 \(a'(b'-b)\in I\)；第二项 \((a'-a)b\)：\(a'-a\in I\)，\(b\in R\)，由左吸收性 \(I\cdot R\subseteq I\)，得 \((a'-a)b\in I\)。两项之和仍在 \(I\)，故乘法也 well-defined。⏱ 60:05

这就是为什么必须用「理想」（具备吸收性）而不能用「子环」（未必吸收）：子环不保证 \(R\cdot I\subseteq I\) 与 \(I\cdot R\subseteq I\)，商运算就会随代表元选取而变，结果不 well-defined。

子环不够 · 反例 取 \(R=\mathbb{R}\)（或 \(\mathbb{Z}\)），子环 \(I=\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\)。对 \(a=1\in\mathbb{Z}\)、\(r=\frac12\in\mathbb{R}\)，\(r a = \frac12\notin\mathbb{Z}\)——不吸收。故 \(\mathbb{Z}\) 虽是 \(\mathbb{R}\) 的子环，却不是理想；若强行用它作「商」，\(\frac12\cdot\mathbb{Z}\) 已跑到 \(\mathbb{Z}\) 外，商结构崩塌。这直观解释了「子环不吸收，商不 well-defined」。

★重点回顾

1
子环判据：\(S\subseteq R\) 是子环 \(\iff\) 对减法与乘法都封闭；若 \(R\) 含 \(1\) 且 \(1_R\in S\)，则 \(S\) 是含 1 的子环。
2
子环例子：\(\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{R}\subset\mathbb{R}[x]\)、上三角 \(T_n(\mathbb{R})\)、对角 \(D_n(\mathbb{R})\)；子环之交仍是子环。
3
环的中心：\(Z(R)=\{c\in R\mid cr=rc,\ \forall r\}\) 是子环；\(Z(R)=R\iff R\) 交换。
4
理想定义：\(I\subseteq R\)，加法子群 + 吸收性 \(R I\subseteq I,\ I R\subseteq I\)。吸收性是理想区别于子环的关键；理想必是子环，子环未必是理想。
5
理想运算：交 \(I\cap J\)、和 \(I+J=\{a+b\}\)、积 \(IJ=\{\sum a_i b_i\}\) 都是理想；\(m\)-零化理想 \(R_m=\{a\mid ma=0\}\) 也是理想。
6
主理想：\((a)=\bigcap\{I\text{ 理想}\mid a\in I\}\)（包含 \(a\) 的最小理想）；交换环中 \((a)=aR=\{ra\}\)；\(\mathbb{Z}\) 中 \((n)=n\mathbb{Z}\)。
7
典型理想：\(n\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的理想；环同态的核 \(\ker f\) 是理想；\(\{0\}\) 与 \(R\) 为平凡理想；含 1 交换环中「域 ⟺ 只有平凡理想」。
8
商环铺垫：理想 \(I\) 才能定义 \(R/I\)（加法、乘法均 well-defined），核心是吸收性；子环不吸收，商不 well-defined——类比群中「正规子群才作得以定义商群」。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆「子环」与「理想」：子环只对「内部乘法」封闭；理想对「外部 \(R\) 乘进来」吸收。子环不一定是理想（如 \(\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\)）。
  2. 漏掉吸收性两方向：非交换环中需同时验 \(r a\in I\) 与 \(a r\in I\)；只验一侧是左/右理想，不是双边理想。
  3. 把「主理想 \((a)\) 在任意环中都等于 \(aR\)」绝对化：仅交换环中 \((a)=aR\)；非交换环中 \((a)\) 由 \(R a R\)（有限和 \(r a s\)）生成。
  4. 以为「子环可作商」：只有理想才保证 \(R/I\) well-defined；子环不吸收，商崩塌。
  5. 「域只有平凡理想」忘记前提：需 \(R\) 含 1 且交换；非交换情形要单独讨论。
  6. 验证中心是子环时把加法也拿来「交换」：环的中心只就乘法定义（加法本就交换）。

✎自测与作业

  1. 验证 \(n\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的理想：证明减法封闭与吸收性 \(r\cdot(nk)\in n\mathbb{Z}\)。
  2. 说明 \(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\) 中由 \(e_{11}\) 生成的左理想 \(L=\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\,e_{11}\) 不是双边理想（举一个 \(x\in L,\ N\in\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\) 使 \(x N\notin L\)）；并对比由 \(e_{11}\) 生成的双边理想 \(\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\,e_{11}\,\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\)。或：举出 \(\mathbb{Z}\) 的一个主理想（如 \(2\mathbb{Z}\)）并验证它是理想。
  3. 说明为什么「子环」不够、必须用「理想」才能作商环：用 \(\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\) 的子环不吸收为例，指出用子环时商 \(R/S\) 的加法/乘法随代表元选取而变，不 well-defined。
  4. 证明：若 \(I,J\) 是 \(R\) 的理想，则 \(I+J\) 与 \(I\cap J\) 都是理想。
  5. 证明「含 1 交换环 \(R\) 是域 \(\iff R\) 只有平凡理想」的两个方向。
  6. 设 \(f:R\to R'\) 是环同态，证明 \(\ker f\) 是 \(R\) 的理想（重点证吸收性 \(f(ra)=f(r)f(a)=f(r)\cdot0=0\)）。
下一讲预告 第 27 讲 · 商环与环的同态定理：正式定义商环 \(R/I\)（本讲已铺垫其 well-defined），并给出环的同态基本定理 \(R/\ker f \cong \operatorname{im} f\)，类比群论中的同态基本定理。