☰本讲目录
◎学习目标
- 掌握正规子群的定义（\(\forall a \in G,\ aH = Ha\)）与专用记号 \(H \trianglelefteq G\)，知道它也叫不变子群（Normal Subgroup）；
- 熟练运用判定定理：\(H \trianglelefteq G \iff \forall a \in G,\ \forall h \in H,\ aha^{-1} \in H\)，理解其中的「吸收 / 配对」直觉；
- 知道平凡正规子群与单群的定义，会说明素数阶群是单群；
- 会证明：群的中心、任意一族正规子群的交都是正规子群；理解 \(N(H)\) 是包含 \(H\) 作为正规子群的最大子群；
- 掌握换位子 \([a,b] = a^{-1}b^{-1}ab\) 与换位子群 \([G,G]\) 的定义及其元素的一般形式，会证 \([G,G] \trianglelefteq G\)；
- 掌握商群 \(G/H\) 的完整构造，特别是陪集乘法 well-defined 的验证——理解为什么 \(H\) 必须正规；
- 会验证 \(G/[G,G]\) 是交换群；知道交换群的任意子群都正规；从商群角度重新认识模 \(n\) 剩余类群 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)。
1正规子群的定义 ⏱ 00:00
- 「任意」二字不可省略：必须对 \(G\) 中每一个元素 \(a\) 都成立，才可以称 \(H\) 为 \(G\) 的正规子群；只对个别元素成立是不够的。
- 正规子群的英文是 Normal Subgroup，所以有些教材不一定叫「正规子群」，也有可能叫不变子群。
- 记号：之前我们用「\(\le\)」型的符号表示子群；正规子群的条件比子群更强，所以要用另一个符号——一个三角形符号 \(\trianglelefteq\)（长边靠右），表示 \(H\) 比 \(G\) 来得小，既是子群、又是正规子群。以后我们就都这么写，不必再写「正规子群」四个字。
2正规性的判定定理 ⏱ 01:32
2.1 「吸收」式的理解
- 条件 \(aha^{-1} \in H\) 有点像一种吸收：只要左边的元素和右边的元素互为逆元素（有一个配对的形式），中间夹着的 \(H\) 中元素就会被整个吸收进 \(H\) 里面。
- 把条件写成 \(a^{-1} h a \in H\) 也完全没有问题——重点只是左右两个元素互为逆元，具体哪个在左、哪个在右没有关系。
- 反向（\(\Rightarrow\)）是显然的：若 \(H \trianglelefteq G\)，则 \(aH = Ha\)，于是 \[ aHa^{-1} = (aH)a^{-1} = (Ha)a^{-1} = H, \] 所以任何一个长成 \(aha^{-1}\) 样子的元素都肯定在 \(H\) 里。因此这其实是一个充要条件，需要认真证明的只有 \(\Leftarrow\) 方向。
2.2 证明（\(\Leftarrow\) 方向）
证明（点击展开）
假设吸收条件成立：\(\forall a \in G,\ \forall h \in H,\ aha^{-1} \in H\)。按原始定义，要证 \(H \trianglelefteq G\)，就需证对 \(G\) 里任意元素 \(a\)，左陪集 \(aH\) 与右陪集 \(Ha\) 相等。要证两个集合相等，就要证互相包含：比如先证 \(aH \subseteq Ha\)，再证 \(Ha \subseteq aH\)。这里给出第一个方向，另一个方向完全平行，留作练习。
根据已有的条件：任取 \(a \in G\)、\(h \in H\)。由吸收条件，\(aha^{-1} \in H\)，也就是说可以找到一个 \(h_1 \in H\)，使得
两边同时右乘 \(a\)，就换了一个顺序：
因为这对任意的 \(h \in H\)、\(a \in G\) 都成立，这说明 \(aH\) 里的所有元素都可以表达为 \(Ha\) 里面元素的形式，即 \(aH \subseteq Ha\)。
另一个方向 \(Ha \subseteq aH\) 完全平行（这些技巧我们已经常用，对 \(a^{-1}\) 用吸收条件即可）。于是 \(aH = Ha\) 对任意 \(a \in G\) 成立，按定义，\(H\) 就是 \(G\) 的正规子群。∎
- 一旦证明了这个命题，以后要证明一个子群是正规子群，只要证明吸收条件就可以了，不必再逐一比较左、右陪集。
- 一定要记住条件中各元素的来源：中间的元素来自小子群 \(H\)；左右两边的元素是大群 \(G\) 中的任意元素，而且左右互为逆元素、有一个像配对一样的形式。
3平凡正规子群与单群 ⏱ 07:23
3.1 平凡正规子群
我们前面说过：任何一个群 \(G\) 都有平凡子群——一个是指含单位元的最小子群 \(\{e\}\)，另一个就是群 \(G\) 本身。
用判定条件立刻验证：若 \(H = \{e\}\)，则对任意 \(a \in G\)，\(a\,e\,a^{-1} = e\)，当然还在 \(\{e\}\) 里；若 \(H = G\)，则 \(a\,h\,a^{-1}\) 当然还在大群 \(G\) 里。都没有问题。
3.2 单群的定义 ⏱ 08:36
4正规子群的例子（一）：中心与交 ⏱ 10:03
4.1 群的中心是正规子群
证明（点击展开）
按判定条件，任取 \(g \in G\)、\(c \in Z(G)\)，要看 \(g c g^{-1}\) 是否也在中心里。这个证明比较简单，其实都不太需要「验证」：因为 \(c\) 在中心里，它和任意元素做运算时都是交换的，当然也可以和 \(g^{-1}\) 交换，于是把这两个元素交换一下位置：
所以 \(g c g^{-1}\) 甚至直接等于 \(c\) 本身，吸收条件当然成立，故 \(Z(G) \trianglelefteq G\)。这是一个平凡的证明，但因为我们后面经常会用到，所以特别提一下——这是最简单的一个正规子群例子。
4.2 正规子群的任意交仍是正规子群 ⏱ 12:10
证明（点击展开，一句话的证明）
因为每一个 \(H_\alpha\) 都是正规子群，所以对任意的 \(g \in G\)、任意的 \(h \in H_\alpha\)，都有 \(g h g^{-1}\) 仍在这个 \(H_\alpha\) 里——这对每一个 \(\alpha\) 都是对的。
现在设 \(h \in \bigcap_{\alpha \in I} H_\alpha\)，即 \(h\) 属于每一个 \(H_\alpha\)。于是对每个指标 \(\alpha\) 都有 \(g h g^{-1} \in H_\alpha\)，从而立刻推出
吸收条件成立，故正规子群的交仍是正规子群。∎
这两个例子都比较简单、比较平凡，下面来看一个更有分量的例子。
5正规子群的例子（二）：\(N(H)\)——包含 \(H\) 作为正规子群的最大子群 ⏱ 13:57
- 极端情形：若 \(H \trianglelefteq G\)，按正规子群的定义，所有 \(g \in G\) 的左、右陪集都一样，此时 \(N(H) = G\)。
- 现在的条件只告诉 \(H\) 是子群、并没有说 \(H\) 是正规子群，所以 \(N(H)\) 只是 \(G\) 的一个子集合（一般比 \(G\) 小）。要说明 \(H \trianglelefteq N(H)\)，需要依次证明三件事：
- \(H \subseteq N(H)\)；
- \(N(H)\) 是 \(G\) 的子群（既然要说「\(H\) 是 \(N(H)\) 的正规子群」，\(N(H)\) 本身就得是一个群）；
- \(H\) 是 \(N(H)\) 的正规子群。
5.1 第一步：\(H \subseteq N(H)\)
取任意 \(h \in H\)。因为 \(h\) 本来就在 \(H\) 里，左乘、右乘都不改变 \(H\)：
所以 \(h \in N(H)\)。这说明 \(H\) 是 \(N(H)\) 的子集合，比较显然，没有问题。
5.2 第二步：\(N(H)\) 是 \(G\) 的子群
回顾子群判定（第 3 讲）：要证明 \(G\) 的一个子集合是子群，只需任取其中两个元素 \(A, B\)，验证 \(A B^{-1}\) 仍在这个集合里即可。先要证它是子群，才有 \(\trianglelefteq\) 这种符号的意义。
证明（点击展开）
任取 \(A, B \in N(H)\)，目标：证明 \(A B^{-1} \in N(H)\)。
先证 \(B^{-1} \in N(H)\)。由 \(B \in N(H)\) 的定义知 \(BH = HB\)（左陪集和右陪集一样）。对这个集合等式两边同时左乘 \(B^{-1}\)、同时右乘 \(B^{-1}\)：
左、右陪集还是相等的，故按 \(N(H)\) 的定义，\(B^{-1} \in N(H)\)。（「同时左乘、同时右乘」是我们经常用来变换陪集等式形式的手法。）
再证 \(A B^{-1} \in N(H)\)，即证 \((A B^{-1})H = H(A B^{-1})\)。利用已知条件 \(AH = HA\) 与 \(B^{-1}H = HB^{-1}\)，一路换序：
其中每一步都只用了乘法结合律和两个元素的「左陪集 = 右陪集」条件。于是 \(A B^{-1} \in N(H)\)，故 \(N(H) \le G\)。
5.3 第三步：\(H \trianglelefteq N(H)\)
已经知道 \(H\) 是 \(N(H)\) 的子集合，也知道 \(H\) 本身是一个子群、\(N(H)\) 是一个群。按第 2 节的方法，要证正规，只需验证吸收条件。
证明（点击展开）
任取 \(n \in N(H)\)（用 \(n\) 表示 \(N(H)\) 里的元素）、\(h \in H\)，要证 \(n h n^{-1}\) 还在 \(H\) 里面。思路：如果有办法把这个元素写成一个 \(H\) 里面的元素，就说明它肯定在 \(H\) 里。
利用 \(n\) 的性质：因为 \(n \in N(H)\)，按定义 \(nH = Hn\)（左陪集和右陪集肯定一样）。考虑 \(nh\)：因为 \(h \in H\)，所以 \(nh \in nH = Hn\)。这两个集合既然相等，元素 \(nh\) 也可以写成「大 \(H\) 乘 \(n\)」的形式，即一定可以找到一个 \(h_1 \in H\)，使得
（注意 \(h_1\) 与原来的 \(h\) 不一定相同）。有了这一步，就相当于把 \(nhn^{-1}\) 表达出来了：两边同时右乘 \(n^{-1}\)，得
吸收条件成立（左边 \(n\) 与右边 \(n^{-1}\) 互为逆元素、成配对形式，中间的 \(h\) 被吸收回 \(H\)），故 \(H \trianglelefteq N(H)\)。∎
6换位子与换位子群 ⏱ 24:03
还有一个例子是关于交换子子群（换位子群）的——上一周的作业里有一个地方就会用到它。交换子子群是什么呢？我们先从换位子元讲起。
6.1 换位子元 ⏱ 24:20
- 极端情形：若 \(a\) 与 \(b\) 交换（\(ab = ba\)），把它们的位置对换一下，立刻得到 \[ [a,b] = a^{-1} b^{-1} a b = a^{-1} a\, b^{-1} b = e, \] 换位子元就变成单位元了；
- 但一般情况下 \(a, b\) 不见得交换，换位子元也就不见得是单位元。它衡量了 \(a, b\)「偏离交换」的程度。
6.2 换位子群 ⏱ 25:44
根据前面（第 2 讲）讲过的「由集合生成的子群」，\([G,G]\) 里的元素应该可以写为所有换位子元（或换位子元的幂）的乘积：
但这里的情况比较特殊：指数 \(\varepsilon_i\) 其实都可以不写。原因是换位子的逆仍是换位子。考虑任意 \([\,a,b\,]\) 的逆元：由定义 \([\,a,b\,] = a^{-1}b^{-1}ab\)，再由「乘积的逆 = 各因子的逆反序相乘」（\((xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}\)，要换一个顺序）：
所以一般形式中的每一个逆元也都可以写为换位子的形式。于是 \([G,G]\) 的一般元素总可以直接写成
不需要带指数，这样就够了。
6.3 定理：换位子群是正规子群 ⏱ 30:26
证明（点击展开）
方法与前面说的一致。因为 \([G,G]\) 里的元素全部都长成「有限个换位子之积」的样子，所以要证正规，只需证：取 \(G\) 里任意一个元素 \(g\)，左乘它、再右乘它的逆之后，元素还是可以写为这种样子。
第一步：先考虑 \(n = 1\)（中间只有一个换位子）的情形。如果只有一个的情形知道怎么处理，那么 \(n\) 个长度的情形也就知道如何处理了。任取 \(g, a, b \in G\)，按定义展开：
现在用「添添补补」的技巧。注意最左边是 \(g\)、最右边是 \(g^{-1}\)，而 \(g\) 的特点是：这边乘一个 \(g\)、那边再乘一个 \(g^{-1}\)，总可以消掉。于是在相邻因子之间插入 \(g g^{-1}\) 并重新配对（原来的因子不动，插入的元素相互抵消，等式不变）：
令 \(x := g a g^{-1}\)，\(y := g b g^{-1}\)（它们都是 \(G\) 中的元素），则 \(g a^{-1} g^{-1} = x^{-1}\)，\(g b^{-1} g^{-1} = y^{-1}\)，于是上式恰好是
——它仍是 \(G\) 中两个元素的换位子！也就是说，做了这些变形之后，左边的元素确实可以写为换位子群 \([G,G]\) 里元素的形式。
第二步：一般的 \(n\)。设 \(x = [a_1,b_1][a_2,b_2]\cdots[a_n,b_n]\)。思想类似：因为最左边有 \(g\)、最右边有 \(g^{-1}\)，总可以添添补补地把中间部分配对消掉。在每个因子之间插入 \(g g^{-1}\)（中间这些 \(g g^{-1}\) 都可以消掉）：
由第一步，每一个括号都等于换位子 \([\,g a_i g^{-1},\ g b_i g^{-1}\,]\)。所以 \(g x g^{-1}\) 是 \(n\) 个换位子之积，其中每个元素都是 \(G\) 里的元素——这与 \([G,G]\) 中元素的一般形式完全一致，故 \(g x g^{-1} \in [G,G]\)。
吸收条件成立，换位子群确实是正规子群。∎
- 要记得换位子群里元素的长相：有限个换位子之积（指数可以省略，因为换位子的逆还是换位子）；
- 要记得换位子群既是子群、又是正规子群；
- 证明里用的方法就是添添补补，再加上正规子群的吸收性质；这个正规子群在后面证明同构定理时会用到。
7小练习：\(KH\) 是子群 ⏱ 39:02
- 一般情形不成立：一般的情况下，\(K\)、\(H\) 如果只是子群的话，\(KH\) 不见得是一个子群。你们的作业里已经让你们证明过：\(KH\) 是子群的充要条件是 \(KH = HK\)。
- 现在想告诉大家的是：只要 \(K\)、\(H\) 里有一个是正规子群，\(KH\) 就肯定是 \(G\) 的子群。注意：只保证「子群」，并没有要求它一定是正规子群。
- 提这一点，是因为我们后面证明同构定理时会需要用到，所以课上不证、留作课后练习。证明思想和前面的很像：添添补补，一句话的事情。也可以直接用作业结论：先验证 \(H\) 正规时 \(KH = HK\)——提示：\(k\,h = (k h k^{-1})\,k\)，由 \(H\) 正规的吸收条件 \(k h k^{-1} \in H\)，故 \(k h \in Hk \subseteq HK\)，反向同理。
8商群的构造 ⏱ 40:50
前面已经给了足够多关于正规子群的例子（正是为了构造商群）。接下来我们来看商群：刚才已经讲了正规子群，是因为我们后面想要构造商群，那现在来看一下商群到底如何构造、如何证明。
8.1 商集：所有不同陪集组成的集合 ⏱ 41:41
- 用代表元的说法：取一个指标集，使不同指标对应不同的陪集——\(i \ne j\) 时 \(a_i H \cap a_j H = \varnothing\)，要么完全重复、要么交集为空；并且把这些代表元取得覆盖所有不同陪集。其实就是「每个陪集取一个代表元而已」。
- 陪集关系 \(aH = bH\) 可以定义一个等价关系（第 4 讲），商集里的元素就是这些等价类（陪集）。商集里的元素是一些陪集——这一点要时刻记住。
- 如果 \(H\) 只是一个子群，当然也可以把所有不同的陪集都写下来；但只有当 \(H\) 是正规子群的时候，才有办法构造一个商群（原因见 8.3）。
8.2 陪集乘法的定义 ⏱ 43:40
接下来要做的事情是证明：这个商集在上述乘法下面会成为一个群。群 = 集合 + 运算 + 若干条件：首先要有定义合理的二元运算，然后运算要满足结合律、有单位元、每个元素都有逆元。而且要记住：现在这个集合里面的元素都是一些陪集 \(aH\) 的形式，我们定义的运算也是陪集与陪集之间的运算。我们一步一步来证明这些事情。
8.3 定理：陪集乘法是 well-defined 的二元运算 ⏱ 44:51
现在的问题正在这里：商集的元素是陪集，而陪集是用代表元写出的，所以同一个陪集可能有不同的表达方式！比如 \(aH = a'H\)、\(bH = b'H\)，但 \(a \ne a'\)、\(b \ne b'\)。既然取的是不同的表达方式，就必须保证最后做出来的运算结果是一样的。所以需要证明：
证明（点击展开）
条件是 \(aH = a'H\)、\(bH = b'H\)（同样的陪集、不同的表达方式）。由陪集的判定性质：
既然这些元素在 \(H\) 里，就可以用 \(H\) 里的元素来代表它们：存在 \(h_1, h_2 \in H\)，使
（两式分别由两边右乘 \(a\)、右乘 \(b\) 得到。）现在的目标是证明 \((ab)^{-1}(a'b') \in H\)——它等价于 \((ab)H = (a'b')H\)。代入 \(a' = ah_1\)、\(b' = bh_2\) 计算：
现在观察中间的项 \(b^{-1} h_1 b\)：\(h_1\) 在 \(H\) 里，左边是 \(b^{-1}\)、右边是 \(b\)——左右互为逆元素、正好配对。因为 \(H\) 是正规子群、满足吸收的条件，所以长成这样的元素肯定在 \(H\) 里：\(b^{-1} h_1 b \in H\)。再右乘 \(h_2 \in H\)，由子群对乘法封闭，仍在 \(H\) 里：
于是 \((ab)H = (a'b')H\)。这说明同样的两个陪集，无论用哪组代表元做运算，结果都相同——运算 well-defined，是一个合理的二元运算。∎
自查技巧：做陪集等式变形时，随时检查中间元素两侧是否互为逆元素——不配对就说明写错了。
8.4 结合律 ⏱ 53:30
8.5 单位元 ⏱ 54:58
8.6 逆元 ⏱ 55:51
8.7 商群的定义 ⏱ 56:49
9商群的例子：\(G/[\,G,G\,]\) 是交换群 ⏱ 58:19
商群已经构造好了，来看一个例子。这个例子还有一个目的：示范一下「想验证一个商群是交换群」的时候应该怎么做。
9.1 化简：真正要证的是什么 ⏱ 59:02
为了书写简单，把换位子群简记为 \(N\)：\(N := [\,G,G\,]\)。商群 \(G/N\) 里的元素都是一些陪集，形状必然是 \(aN\)、\(bN\) 的样子（\(a, b \in G\)；正规子群是 \(N\)，陪集就是「元素乘 \(N\)」）。要说明 \(G/N\) 是交换群，就是要对任意的 \(a, b \in G\) 验证
按商群乘法的定义，左边 \(= (ab)N\)，右边 \(= (ba)N\)。所以真正要证的事情就是：
9.2 证明：添添补补，凑出一个换位子 ⏱ 60:29
证明（点击展开）
还是添添补补的办法：\(ab\) 这部分不动，希望在它后面插进一对可以相互抵消的元素，把整个式子和 \(ba\) 联系起来。插什么呢？——插 \((ba)^{-1}(ba)\)：左边乘一个 \((ba)^{-1}\)、右边乘一个 \((ba)\)，这两个正好消掉，等式不变：
现在观察前面两个因子的乘积：
（按换位子的定义 \([\,x,y\,] = x^{-1}y^{-1}xy\)，取 \(x = a^{-1}\)、\(y = b^{-1}\)，就得到 \([\,a^{-1},b^{-1}\,] = ab a^{-1} b^{-1}\)。）它恰好是 \(G\) 中两个元素的换位子，当然落在换位子群 \(N\) 里。于是
现在最前面是 \(N\) 里的一个元素，中间是 \(ba\)，最后是陪集 \(N\)。「\(N\) 里的元素乘上 \(ba\)」仍落在陪集 \((ba)N\) 里（\(N\) 正规，左右陪集一致）；再整个乘上 \(N\)，作为集合当然还是 \((ba)N\)：
于是对任意 \(a, b \in G\)，\((aN)(bN) = (ab)N = (ba)N = (bN)(aN)\)，商群 \(G/[\,G,G\,]\) 确实是交换群。∎
另一种看法（用陪集判定性质复查）：\((ab)N = (ba)N \iff (ba)^{-1}(ab) \in N\)，而 \((ba)^{-1}(ab) = a^{-1}b^{-1}ab = [\,a,\,b\,] \in N\)，同样一步到位。
9.3 记号约定：横线简写 ⏱ 61:54
10交换群的任意子群都是正规子群 ⏱ 62:12
回顾一下本讲开头最简单的那个例子：群的中心 \(Z(G)\)（有的书写 \(C(G)\)）是正规子群——因为 \(Z(G)\) 里的元素本来就可以和 \(G\) 里所有元素交换，把 \(g\) 挪过去一消，吸收条件自动成立。其实这里藏着一个更广的结论。
证明（点击展开）
任取 \(a \in G\)、\(h \in H\)。因为 \(G\) 是交换群，\(a\) 与 \(h\) 可以交换：\(ah = ha\)。于是把 \(h\) 与 \(a\) 换个位置，\(a\) 与 \(a^{-1}\) 立刻配对消掉：
吸收条件对所有的 \(a \in G\)、\(h \in H\) 都成立，由判定定理（第 2 节），\(H \trianglelefteq G\)。∎
- 验证正规性时，若整个群是交换群，这个结论可以直接引用，不必逐个检查吸收条件；
- 但它是单向的：「交换 ⟹ 子群皆正规」，反过来「子群皆正规 ⟹ 交换」并不成立，不要反着用；
- 有了这个结论，交换群里随便取一个子群都可以作商群（子群自动正规）——这正是下一个例子的来源。
11商群的例子：模 \(n\) 剩余类群 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ⏱ 63:29
为什么要专门提上一节的结论？因为还想再给一个以后会经常用到的商群例子。考虑整数加法群 \((\mathbb{Z}, +)\)——从第 1 讲学群开始就一直拿它当最简单的例子，而且它肯定是一个交换群。
11.1 \(n\mathbb{Z}\) 是正规子群 ⏱ 63:51
又因为 \((\mathbb{Z}, +)\) 本身是交换群，由上一节的结论，\(n\mathbb{Z}\) 自动是 \(\mathbb{Z}\) 的正规子群。于是可以考虑商群 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)——这个商群后面会经常用到，这里先把它的样子写出来。
11.2 商群的元素：剩余类 ⏱ 64:24
加法群里的陪集按「加」的方式写：元素 \(k\) 所在的陪集是 \(k + n\mathbb{Z}\)。每个整数都属于且只属于一个这样的陪集——按模 \(n\) 的余数归类。用上一节的横线记号，就是
其中 \(\bar{k}\) 表示「模 \(n\) 之后余数为 \(k\)」的那一类整数，称为一个剩余类。运算按商群的定义进行：
即代表元相加，再取模 \(n\) 的余数（这里群运算是加法，所以「乘法」相应地写成加法）。
- 它一共只有 \(n\) 个元素 \(\bar{0}, \bar{1}, \ldots, \overline{n-1}\)，是一个有限群；
- 单位元是 \(\bar{0} = 0 + n\mathbb{Z} = n\mathbb{Z}\)（正是正规子群本身这个陪集），\(\bar{k}\) 的逆元是 \(\overline{-k}\)；
- 因为 \(\mathbb{Z}\) 是交换群，商群 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 自然也是交换群。
11.3 与第 1 讲的 \(G_n\) 是同一回事 ⏱ 64:52
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 丢掉「任意」二字：\(aH = Ha\) 必须对所有 \(a \in G\) 成立才算正规；只验证了个别 \(a\)（例如 \(a = e\) 时当然成立）没有意义。
- 把 \(aH = Ha\) 误解为逐元素相等：它是集合相等，并不意味着对每个 \(h \in H\) 都有 \(ah = ha\)。
- 对一般子群作商：\(H\) 不正规时 \((aH)(bH) = (ab)H\) 不是合理的运算（换一组代表元结果会变，不 well-defined），\(G/H\) 就不是群。作商前必须先验证正规。
- 跳过 well-defined 检查：陪集有很多种写法（\(aH = a'H\) 但 \(a \ne a'\)），必须证明结果与代表元的选取无关。
- 商群的单位元是陪集 \(H\)（不是 \(e\)）；\(aH\) 的逆元是 \(a^{-1}H\)。
- 换位子的顺序不能记错：\([\,a,b\,] = a^{-1}b^{-1}ab\)；其逆 \([\,a,b\,]^{-1} = b^{-1}a^{-1}ba = [\,b,a\,]\) 仍是换位子（这正是指数可省略的原因）。
- 在 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 里运算忘记模 \(n\)：如 \(n = 6\) 时 \(\bar{3} + \bar{4} = \bar{7} = \bar{1}\)；它的元素是剩余类 \(\bar{k} = k + n\mathbb{Z}\)，不是单个整数。
✎自测与作业
- （课上练习）设 \(K \le G\) 是子群、\(H \trianglelefteq G\) 是正规子群。证明 \(KH\) 是 \(G\) 的子群。（提示：先证 \(KH = HK\)——由吸收条件 \(k h k^{-1} \in H\)，故 \(kh = (khk^{-1})\,k \in HK\)，反向同理；再用作业结论「\(KH\) 是子群 \(\iff KH = HK\)」。）
- 证明：\(G\) 是交换群 \(\iff [\,G,G\,] = \{e\}\)。（提示：「\(\Leftarrow\)」对任意 \(a, b\) 由 \([\,a,b\,] = e\) 推出 \(ab = ba\)；「\(\Rightarrow\)」交换时每个换位子都等于单位元。）
- 逐条验证 \(n\mathbb{Z}\) 是 \((\mathbb{Z}, +)\) 的子群（封闭、单位元、逆元）；写出 \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) 的全部元素，计算 \(\bar{2} + \bar{5}\)，并写出单位元与每个元素的逆元。
- （复习联系第 2 讲）在 \(S_3\) 中验证 \(A_3 \trianglelefteq S_3\)；再取 \(H = \langle (12) \rangle\)，找一个具体的 \(g \in S_3\) 使 \(g\,(12)\,g^{-1} \notin H\)，从而说明 \(H\) 不是 \(S_3\) 的正规子群。
- 用本讲的结论说明：素数 \(p\) 阶群是单群。再想一想：\(S_3\) 的正规子群只有哪几个？（结合上一题。）