抽象代数 · 课程学习笔记

第 28 讲 · 环的同态定理（II）

The Homomorphism Theorems for Rings (II)
音频时长 47:25 进度 28 / 38 讲 核心概念：环的同态对应定理 · 第二同构定理 · 商环结构
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◎学习目标

  1. 掌握环的子环对应定理（Correspondence Theorem）：满同态 \(f:R\to S\)、核 \(I=\ker f\) 时，「\(R\) 中含 \(I\) 的子环」与「\(S\) 的子环」之间有保持包含关系的双射 \(H\leftrightarrow f(H)\)、\(K\leftrightarrow f^{-1}(K)\)；
  2. 会构造并验证这个双射（含核的子环、像的封闭性、原像含核、复合等于恒等）；
  3. 掌握理想的版本：\(H\) 是 \(R\) 的理想（含 \(I\)）\(\iff f(H)\) 是 \(S\) 的理想，且 \(\bigl(f^{-1}(K)\bigr)/I \cong K\)（\(K\) 为 \(S\) 的理想）；
  4. 掌握第二同构定理：若 \(S\) 是 \(R\) 的子环、\(I\trianglelefteq R\)，则 \(S+I\) 是 \(R\) 的子环且含 \(I\)，并有
    \[ S/(S\cap I) \;\cong\; (S+I)/I. \]
  5. 掌握第三同构定理：若 \(I\subseteq J\) 是 \(R\) 的两个理想，则
    \[ (R/I)\big/ (J/I) \;\cong\; R/J, \] 其中 \(J/I\) 是 \(R/I\) 的理想（\(J/I = \ker\) 自然商射 \(R/I\to R/J\)）；
  6. 了解这些定理如何用于研究商环的结构（把「大环中的理想」翻译成「商环中的理想」再取商）；
  7. 认识环的自同构群 \(\operatorname{Aut}(R)\)，并能证明有理数域的自同构群平凡（只有恒等），理解证明思路如何推广到实数域。

1回顾：环的同态基本定理 ⏱ 00:01

上一讲建立了环的同态基本定理（First Isomorphism Theorem）：若 \(f:R\to S\) 是环同态，则 \(f\) 限制在像上给出满同态，且

\[ R/\ker f \;\cong\; \operatorname{im} f. \]

特别地，若 \(f:R\to S\) 是满同态（本讲反复用到），核 \(I=\ker f\) 是 \(R\) 的理想，则 \(R/I \cong S\)。⏱ 00:10

本讲的主题是围绕这个基本定理再往前推一步的结构定理：子环对应定理、第二同构定理、第三同构定理，最后是环的自同构群。转录原话：「环论里边关于环的结构一个很重要的一个定理，叫做子环对应定理」。⏱ 00:01

本讲路线 子环对应定理（陈述 \(\to\) 证明双射性 \(\to\) 理想版本与商环同构）\(\to\) 第二同构定理（\(S+I\)、\(S/(S\cap I)\cong(S+I)/I\)）\(\to\) 第三同构定理（\((R/I)/(J/I)\cong R/J\)）\(\to\) 自同构群与 \(\operatorname{Aut}(\mathbb{Q})\) 的例子 \(\to\) 思考题。

2子环对应定理（对应定理） ⏱ 00:20

假设有一个满的环同态 \(f:R\to S\)，记核为 \(I=\ker f\)。考虑两个集合 ⏱ 01:13：

定义 · 两个集合
  • \(\mathcal{P} = \{\, H \le_{\text{subring}} R \mid I \subseteq H \,\}\)：\(R\) 中所有包含 \(I\) 的子环；
  • \(\mathcal{P}' = \{\, K \le_{\text{subring}} S \,\}\)：\(S\) 中所有的子环。
（若把「子环」换成「理想」，得到理想的版本。）
定理 · 子环对应定理 ⏱ 01:37 在上述设定下，两个对应
\[ H \longmapsto f(H) \in \mathcal{P}', \qquad K \longmapsto f^{-1}(K) \in \mathcal{P} \]
互为逆映射，即给出 \(\mathcal{P}\) 与 \(\mathcal{P}'\) 之间的一个双射，且保持包含关系（若 \(H_1\subseteq H_2\)，则 \(f(H_1)\subseteq f(H_2)\)）。

直观上：「给你一个满同态，就给你把两个环之间的子环一一对应起来」——对应不是随便的子环，而是左边必须含核 \(I\)，右边任意子环。⏱ 00:44

关键观察 ⏱ 02:14 满性是关键条件：只有 \(f\) 是满的，「\(R\) 中含 \(I\) 的子环」才与「\(S\) 的子环」一一对应。若 \(f\) 不满，右边只能取「含 \(\operatorname{im} f\) 的…」这一类子环，对应才成立（对应关系保持的是「含核」的性质）。

3对应定理的证明：双射的构造与验证 ⏱ 03:50

要证明 \(H\mapsto f(H)\) 与 \(K\mapsto f^{-1}(K)\) 是互逆的对应，按课本 §1.4 的基本套路，需要证明四件事（转录中老师列出了四点，只详细证其中两个，另外两个类似）⏱ 04:14：

  1. \(H\in\mathcal{P}\Rightarrow f(H)\) 是 \(S\) 的子环（即 \(f(H)\in\mathcal{P}'\)）；⏱ 04:26
  2. \(K\in\mathcal{P}'\Rightarrow f^{-1}(K)\in\mathcal{P}\)，即 \(f^{-1}(K)\) 是 \(R\) 的子环且包含 \(I=\ker f\)；⏱ 05:16
  3. 对任意 \(H\in\mathcal{P}\)，\(f^{-1}(f(H))=H\)（复合为 \(\mathcal{P}\) 上的恒等）；⏱ 06:08
  4. 对任意 \(K\in\mathcal{P}'\)，\(f(f^{-1}(K))=K\)（复合为 \(\mathcal{P}'\) 上的恒等）。
验证二：\(f^{-1}(K)\) 是 \(R\) 的含 \(I\) 的子环（点击展开）

设 \(K\) 是 \(S\) 的子环。任取 \(a,b\in f^{-1}(K)\)，即 \(f(a),f(b)\in K\)。

加法封闭（\(f^{-1}(K)\) 是 \((R,+)\) 的子群）：\(f\) 是同态，故

\[ f(a-b)=f(a)-f(b)\in K \]
（\(K\) 是子环，对减法封闭）。由 \(f^{-1}(K)\) 的定义，\(a-b\in f^{-1}(K)\)。⏱ 07:49

乘法封闭：\(f(a\,b)=f(a)f(b)\in K\)（\(K\) 对乘法封闭），故 \(ab\in f^{-1}(K)\)。⏱ 09:10

包含核 \(I=\ker f\)：任取 \(a\in\ker f\)，则 \(f(a)=0_S\)，而子环 \(K\) 必含加法零元 \(0_S\)，故 \(a\in f^{-1}(K)\)，即 \(\ker f\subseteq f^{-1}(K)\)。⏱ 10:49

结合三点：\(f^{-1}(K)\) 是 \(R\) 的含 \(\ker f\) 的子环，即 \(f^{-1}(K)\in\mathcal{P}\)。方向二成立。⏱ 11:39

验证三：\(f^{-1}(f(H))=H\)（点击展开）

设 \(H\in\mathcal{P}\)（即 \(H\) 是含 \(I=\ker f\) 的子环）。按定义，

\[ f^{-1}(f(H))=\{\,a\in R\mid \exists\,h\in H,\ f(a)=f(h)\,\}. \]
条件 \(f(a)=f(h)\) 等价于 \(f(a-h)=0\)，即 \(a-h\in\ker f=I\)，于是 \(a\in h+I\subseteq H\)（因为 \(I\subseteq H\)）。反过来 \(a\in H\) 显然满足条件。所以
\[ f^{-1}(f(H))=H. \]
关键一步：核 \(I\) 被 \(H\) 包含，才使得「\(h\) 加上核中的元素仍留在 \(H\)」成立。⏱ 13:07

剩下的两点 ⏱ 12:05 验证一（\(f(H)\) 是 \(S\) 的子环）比验证二更简单：\(f(H)\) 对加法封闭（像之差是差之像），对乘法封闭（像之积是积之像），且 \(0\in f(H)\)。验证四（\(f(f^{-1}(K))=K\)）需要满性：任取 \(k\in K\)，由满性存在 \(a\in R\) 使 \(f(a)=k\)，则 \(a\in f^{-1}(K)\)，故 \(k=f(a)\in f(f^{-1}(K))\)。四点合起来说明 \(H\mapsto f(H)\) 与 \(K\mapsto f^{-1}(K)\) 互逆。
验证四：\(f(f^{-1}(K))=K\)（用满性，点击展开）

恒等式 \(f(f^{-1}(K))\subseteq K\) 总是成立（不管满不满）。反过来，因 \(f\) 是满的：任取 \(k\in K\subseteq S\)，存在 \(a\in R\) 使 \(f(a)=k\)；于是 \(a\in f^{-1}(K)\)，从而 \(k=f(a)\in f(f^{-1}(K))\)。故 \(K\subseteq f(f^{-1}(K))\)，两者相等。⏱ 13:32

4理想的对应与商环同构 ⏱ 16:48

「特别地，如果考虑它不但是子环而且是理想的话」⏱ 16:48——把对应定理里的子环换成理想，得到两条重要结论。

4.1 理想的对应：\(H\trianglelefteq R\iff f(H)\trianglelefteq S\) ⏱ 17:09

结论 A（满同态保持理想结构） 设 \(f:R\to S\) 满，\(I=\ker f\)。若 \(H\trianglelefteq R\) 且 \(I\subseteq H\)，则 \(f(H)\) 是 \(S\) 的理想；反过来，若 \(K\trianglelefteq S\)，则 \(f^{-1}(K)\) 是 \(R\) 的含 \(I\) 的理想。
证明方向：\(H\) 是 \(R\) 的理想 \(\Rightarrow f(H)\) 是 \(S\) 的理想（点击展开）

任取 \(x\in S\)。因为 \(f\) 是满的，存在 \(r\in R\) 使 \(x=f(r)\)。任取 \(h\in H\)，考虑

\[ x\,f(h)=f(r)f(h)=f(rh). \]
由于 \(H\) 是 \(R\) 的理想且 \(h\in H\)，\(rh\in H\)，故 \(f(rh)\in f(H)\)。右乘 \(f(h)x\) 同理，故 \(f(H)\) 是 \(S\) 的双边理想。⏱ 19:29

反方向类似（略）：设 \(K\trianglelefteq S\)，任取 \(r\in R\)、\(k_0\in f^{-1}(K)\)，则 \(f(rk_0)=f(r)f(k_0)\in K\)（\(K\) 是理想），故 \(rk_0\in f^{-1}(K)\)，验证了理想吸收律；加法子群性同上节验证二，且 \(f^{-1}(K)\) 含 \(\ker f\)。所以 \(f^{-1}(K)\trianglelefteq R\)。⏱ 21:21

4.2 商环同构：\((f^{-1}(K))/I \cong K\) ⏱ 21:36

结论 B（对应下的商环同构） 设 \(K\) 是 \(S\) 的理想，则存在环同构
\[ (f^{-1}(K))/I \;\cong\; K, \qquad \text{由 } r+I \longmapsto f(r)+f(H)\text{ 对应的 } f(r)\ (r\in f^{-1}(K)) \text{ 给出}. \]
形式上：左边的元素写成 \(r+I\)，同构把它映到右边的 \(f(r)\)（这里 \(H=I\)，即核本身）；更一般地，若 \(H\trianglelefteq R\)（含 \(I\)），则
\[ H/I \;\cong\; f(H). \]
转录原话：「如果你这个 \(H\) 和 \(f(H)\) 现在分别都是 \(R\) 和 \(S\) 的理想的话，那么他们对应的这个商环有这么一个同构的关系」。⏱ 18:16
证明（用环的同态基本定理，点击展开）

构造映射 \(\bar f:R\to S/f(H)\)（把 \(r\) 映到 \(f(r)+f(H)\)，即「自然商射 \(\pi_S\circ f\)）：

\[ \bar f(r)=f(r)+f(H)\in S/f(H). \]
由 \(f\) 与商射都是同态，\(\bar f\) 是满的环同态（满性用到 \(f\) 满：任取 \(s+f(H)\in S/f(H)\)，取 \(r\) 使 \(f(r)=s\)，则 \(\bar f(r)=s+f(H)\)）⏱ 23:15。

求核：\(\bar f(r)=0_{S/f(H)}\iff f(r)\in f(H)\iff\exists h\in H,\ f(r)=f(h)\iff r-h\in\ker f=I\iff r\in H\)（最后用到 \(I\subseteq H\)）。故 \(\ker\bar f=H\)。⏱ 25:28

由同态基本定理：

\[ R/H \;\cong\; S/f(H). \]
这就是对应定理中「商环同构」结论的来源（「它也算是我们刚才同态基本定理的一个应用」）⏱ 27:08。

应用 · 用对应定理研究商环的结构 ⏱ 27:15 要研究 \(R/I\) 的理想（比如它的零因子、极大理想、素理想），不必直接在商环里找：对每个 \(S=R/I\) 的理想 \(\bar K\)，取原像 \(K=f^{-1}(\bar K)\subseteq R\)（自动含 \(I\)），在 \(R\) 中研究 \(K\)，再「降下来」。这就是「对应定理告诉你两个环之间的理想有一一对应关系」。

5第二同构定理 ⏱ 27:38

「接下来我们再来看关于环的同构定理的一个结论，那这个实际上也是我们前面学习的环的同态基本定理的一个应用」⏱ 27:38。设定：\(R\) 是环，\(S\) 是 \(R\) 的子环，\(I\) 是 \(R\) 的理想。

5.1 结论一：\(S+I\) 是含 \(I\) 的子环

定义 ⏱ 28:02
\[ S+I=\{\, s+i \mid s\in S,\ i\in I \,\}. \]
\(S+I\) 中每个元素都是「子环元素 + 理想元素」的和。
结论 1 ⏱ 28:16 \(S+I\) 是 \(R\) 的子环，并且把 \(I\) 作为理想包含进去（即 \(I\subseteq S+I\) 且 \(I\) 在 \(S+I\) 中仍是理想）。
验证（显然，点击展开）

加法封闭：\((s_1+i_1)-(s_2+i_2)=(s_1-s_2)+(i_1-i_2)\in S+I\)（\(S\) 是子环、\(I\) 是子群）。乘法封闭：\((s_1+i_1)(s_2+i_2)=s_1s_2+s_1i_2+i_1s_2+i_1i_2\)，其中 \(s_1s_2\in S\)，而 \(s_1i_2,i_1s_2,i_1i_2\in I\)（\(I\) 是理想），故乘积仍在 \(S+I\)。\(I\subseteq S+I\) 显然（取 \(s=0\)）。⏱ 28:40

5.2 结论二：\(S/(S\cap I)\cong(S+I)/I\) ⏱ 29:03

第二同构定理 ⏱ 30:29
\[ S/(S\cap I) \;\cong\; (S+I)/I. \]
左边商环「大环」是 \(S+I\)（模去理想 \(I\)），右边商环「大环」是 \(S\)（模去 \(S\) 的理想 \(S\cap I\)）。
先要说明的事 ⏱ 30:02 右边要有定义，必须先证明 \(S\cap I\) 是 \(S\) 的理想（而不仅是子环）。
证明 \(S\cap I\) 是 \(S\) 的理想（点击展开）

加法子群性显然（两个子群之交）。吸收律：任取 \(s\in S\)、\(x\in S\cap I\)，则

\[ sx,\ xs\in S \quad (\text{\(S\) 是子环}), \qquad sx,\ xs\in I \quad (\text{\(I\) 是理想}). \]
故 \(sx, xs\in S\cap I\)，吸收律成立。⏱ 31:39

证明同构 \(S/(S\cap I)\cong(S+I)/I\)（用同态基本定理，点击展开）

考虑自然商射在 \(S\) 上的限制：

\[ \varphi:S\longrightarrow (S+I)/I, \qquad s\longmapsto s+I. \]
它是环的满同态：满性——任取 \(s+i+I\in(S+I)/I\)，因为 \(s+i\in S+I\)，可取 \(s'\in S\) 使 \(s+i\equiv s'\pmod I\)（即 \(s'-s\in I\)），故 \(s'+I=s+i+I\)；同态性由商射的性质直接验证。⏱ 33:29

求核：

\[ \ker\varphi=\{\,s\in S\mid s+I=I\in(S+I)/I\,\}=\{\,s\in S\mid s\in I\,\}=S\cap I. \]
由同态基本定理，\(S/(S\cap I)\cong(S+I)/I\)。⏱ 35:29

与群论的类比 ⏱ 35:41 这与群的二阶同构定理 \(H/(H\cap N)\cong HN/N\)（\(H\) 子群、\(N\) 正规子群）完全同构。群论版本把「子环 + 理想」换成「子群 + 正规子群」，把「吸收律」换成共轭不变性。

6第三同构定理 ⏱ 35:56

「还有一个其实也是类似的，我们就简单的提一下就好了。这个也是通过环的同态定理这个推论，让你看到环以及他们的理想之间的一些关系」⏱ 35:56。

设定 ⏱ 36:11 \(R\) 是环，\(I,J\) 是 \(R\) 的两个理想，且 \(I\subseteq J\)。
第三同构定理 ⏱ 36:20
\[ (R/I)\Big/\,(J/I) \;\cong\; R/J. \]
其中 \(J/I=\{\,j+I\mid j\in J\,\}\) 是商环 \(R/I\) 的理想，而 \(R/I\) 模去 \(J/I\) 得到的商环，与 \(R\) 直接模去 \(J\) 得到的商环同构。
构造与核的计算（点击展开）

构造映射 \(f:R/I\to R/J\)：

\[ f(r+I)=r+J. \]
良定义：若 \(r+I=r'+I\)，则 \(r-r'\in I\subseteq J\)，故 \(r+J=r'+J\)。满：任取 \(r+J\in R/J\)，直接是 \(f(r+I)\)（因为 \(J\supseteq I\)）⏱ 37:07。

求核：

\[ \ker f=\{\,r+I\in R/I\mid r+J=J\,\}=\{\,r+I\mid r\in J\,\}=J/I. \]
由同态基本定理得 \((R/I)/(J/I)\cong R/J\)。⏱ 38:07

注意「\(J/I\) 是 \(R/I\) 的理想」也可由第 4 节对应的思想看出：自然满同态 \(R\to R/I\) 把理想 \(J\) 映到 \(J/I\)。

直观理解 「先模 \(I\)，再模 \(J\) 在 \(I\) 中的像，等于直接模 \(J\)」。这与群的第三同构定理（正规子群的 lattice 映射）是同一句话。三条定理的共同套路：找一个自然的满同态 → 算它的核 → 套同态基本定理。

7环的自同构群与 \(\mathbb{Q}\) 的例子 ⏱ 38:45

定义 · 自同构与自同构群 ⏱ 38:55 环 \(R\) 到自身的环同构（即双射的环同态）称为 \(R\) 的自同构（automorphism）。把 \(R\) 到自身的所有自同构放在一起，用映射复合作为乘法，构成一个群，称为 \(R\) 的自同构群，记作 \(\operatorname{Aut}(R)\)（类比群论中的 \(\operatorname{Aut}(G)\)）。

研究一个具体的环，自然希望把它的自同构群找出来——就像研究群的结构时找 \(\operatorname{Aut}(G)\) 一样 ⏱ 39:18。

7.1 例子：\(\operatorname{Aut}(\mathbb{Q})\) ⏱ 39:44

以有理数域 \(\mathbb{Q}\) 为例（作为环，域是特别好的环）。要找出所有自同构 \(\varphi:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\)。

第一步：整数上的像。每个 \(\varphi\in\operatorname{Aut}(\mathbb{Q})\) 保持加法、乘法和双射性：

第二步：分数上的像。任取 \(n\neq0\)，

\[ 1=\varphi(1)=\varphi\!\left(n\cdot\tfrac1n\right)=\varphi(n)\,\varphi\!\left(\tfrac1n\right)=n\,\varphi\!\left(\tfrac1n\right), \]
故 \(\varphi(1/n)=1/n\) ⏱ 45:03。

第三步：一般有理数。对任意 \(m/n\)（\(n\neq0\)）：

\[ \varphi\!\left(\frac{m}{n}\right)=\varphi(m)\,\varphi\!\left(\frac1n\right)=\frac{m}{n}. \]
即对每个 \(x\in\mathbb{Q}\) 都有 \(\varphi(x)=x\)，所以 \(\varphi=\mathrm{id}_{\mathbb{Q}}\)（恒等映射，有时记作 \(e\)）。

结论 ⏱ 46:48 \(\mathbb{Q}\) 唯一的自同构是恒等映射：
\[ \operatorname{Aut}(\mathbb{Q})=\{\,\mathrm{id}\,\}\cong C_1. \]
关键理由：环同态必须保持 \(0\) 和 \(1\)，于是固定全体整数；再保持乘法，就固定了所有 \(1/n\)，从而固定整个 \(\mathbb{Q}\)。

8思考题：\(\mathbb{R}\) 的自同构 ⏱ 47:04

习题 ⏱ 47:09 我们现在有了有理数域的自同构，但如果你去考虑实数域 \(\mathbb{R}\) 的自同构呢？它是什么？其实可以证明 \(\operatorname{Aut}(\mathbb{R})\) 也只有恒等映射，但过程比 \(\mathbb{Q}\) 稍微复杂一点：需要用到「正数映到正数」（正数是平方元 \(\mathbb{R}_{>0}=\{x^2:x\in\mathbb{R}\}\)，同态保持平方，且平方非负），从而 \(\varphi\) 保持序、进而逐点固定。大家可以自己思考一下 ⏱ 47:19。
提示 · 证明思路（可对照录音验证）
  1. \(\varphi(0)=0\)、\(\varphi(1)=1\)、\(\varphi(n)=n\)（\(n\in\mathbb{Z}\)），与 \(\mathbb{Q}\) 情形完全相同；
  2. \(\mathbb{R}_{\ge0}=\{x^2:x\in\mathbb{R}\}\)，故 \(\varphi\) 把非负数映到非负数；又 \(\varphi\) 单射，把正数映到正数；
  3. 于是 \(\varphi\) 保持序：\(x<y\Rightarrow x\le y\le0\) 或类似，可证 \(\varphi(x)\lt\varphi(y)\)；
  4. 对任意实数 \(x\)，取有理数序列逼近，由 \(\varphi\) 保序且 \(\varphi|_{\mathbb{Q}}=\mathrm{id}\)，得 \(\varphi(x)=x\)（需要 \(\varphi\) 的连续性，由保序推出）。

★重点回顾

1
子环对应定理：满同态 \(f:R\to S\)、\(I=\ker f\)，则「\(R\) 中含 \(I\) 的子环」\(\leftrightarrow\)「\(S\) 的子环」双射：\(H\leftrightarrow f(H)\)、\(K\leftrightarrow f^{-1}(K)\)，保持包含关系。
2
证明双射的四个要点：① \(f(H)\) 是子环；② \(f^{-1}(K)\) 是含 \(I\) 的子环（含核的关键：\(f(a)=0\Rightarrow a\in f^{-1}(K)\)）；③ \(f^{-1}(f(H))=H\)（用到 \(I\subseteq H\)）；④ \(f(f^{-1}(K))=K\)（用到 \(f\) 满）。
3
理想的版本：\(H\trianglelefteq R\)（含 \(I\)）\(\iff f(H)\trianglelefteq S\)；且 \((f^{-1}(K))/I\cong K\)。由满同态 + 同态基本定理推出。
4
第二同构定理：\(S\) 子环、\(I\) 理想 \(\Rightarrow\) \(S+I\) 是含 \(I\) 的子环、\(S\cap I\) 是 \(S\) 的理想，且 \(S/(S\cap I)\cong(S+I)/I\)。
5
第三同构定理：\(I\subseteq J\) 理想 \(\Rightarrow\) \(J/I\) 是 \(R/I\) 的理想，且 \((R/I)/(J/I)\cong R/J\)（自然满射 \(r+I\mapsto r+J\) 的核正是 \(J/I\)）。
6
三条定理的共同方法：构造自然的满同态 → 精确计算核 → 套同态基本定理。它们让「大环里的理想/子环」与「商环里的理想/子环」可以互相翻译，是研究商环结构的基本工具。
7
\(\operatorname{Aut}(R)\)：环到自身的自同构在复合下成群。例子：\(\operatorname{Aut}(\mathbb{Q})\) 平凡——\(\varphi\) 保持 \(0,1\) 从而固定整数；保持乘法从而固定 \(1/n\)，进而固定 \(\mathbb{Q}\) 全体。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 忘记满性条件：对应定理（③④互逆）要求 \(f\) 满。若 \(f\) 不满，\(f(f^{-1}(K))=K\) 一般不成立（只含 \(\operatorname{im}f\) 的部分）。
  2. 把「含 \(I\) 的子环」漏掉：对应的是「\(R\) 中含 \(\ker f\) 的子环」，不是 \(R\) 的全体子环；不含 \(I\) 的子环 \(H\) 满足 \(f^{-1}(f(H))\supsetneq H\)。
  3. 验证 \(f^{-1}(K)\) 是子环时，只验证了加法/乘法封闭，忘了验证它含核（含核是 \(\mathcal{P}\) 的额外条件：\(0\in K\) 保证 \(\ker f\subseteq f^{-1}(K)\)）。
  4. 证明 \(f(H)\) 是理想时，忘了用满性：任取 \(x\in S\) 需要写成 \(x=f(r)\) 才能把吸收律拉回 \(R\) 中（\(xf(h)=f(r)f(h)=f(rh)\in f(H)\)）。
  5. 第二同构定理里误以为 \(S\cap I\) 自动是 \(S\) 的理想——它只是子环，必须单独验证吸收律（利用 \(S\) 是子环 + \(I\) 是理想两边夹）。
  6. 第三同构定理中方向写反：是 \((R/I)/(J/I)\cong R/J\)（\(I\subseteq J\)），不是 \((R/J)/(I/J)\)（那个商无定义）。
  7. 把「自同构」与「自同态」混淆：自同构要求双射（同构），自同态只要求保结构；求 \(\mathbb{Q}\) 的自同构时，若只用同态（不要求满），还会有零映射。
  8. 证明 \(\varphi(1)=1\) 时直接「约去」：需先说明 \(\varphi(1)\neq0\)（若为 0 则 \(\varphi\) 非单射，与自同构矛盾），才能由 \(\varphi(1)^2=\varphi(1)\) 得 \(\varphi(1)=1\)。

✎自测与作业

  1. 设 \(f:R\to S\) 满，\(I=\ker f\)，\(H\) 是 \(R\) 中含 \(I\) 的子环。验证 \(f(H)\) 是 \(S\) 的子环；再取 \(K\subseteq S\) 子环，验证 \(f^{-1}(K)\) 是 \(R\) 的含 \(I\) 的子环。
  2. 证明 \(f^{-1}(f(H))=H\)：设 \(a\in f^{-1}(f(H))\)，写出 \(f(a)=f(h)\)（\(h\in H\)）并推出 \(a\in H\)（哪一步用到了 \(I\subseteq H\)？）。
  3. （理想版本）设 \(H\trianglelefteq R\) 含 \(I=\ker f\)，\(f\) 满。证明 \(f(H)\) 是 \(S\) 的理想；并证明 \((f^{-1}(K))/I\cong K\)（\(K\trianglelefteq S\)），指出所构造的满同态与其核。
  4. （第二同构定理）设 \(S\) 是 \(R\) 的子环，\(I\trianglelefteq R\)。证明：(a) \(S+I\) 是含 \(I\) 的子环；(b) \(S\cap I\) 是 \(S\) 的理想；(c) 由 \(s\mapsto s+I\) 构造满同态并计算核，得 \(S/(S\cap I)\cong(S+I)/I\)。
  5. （第三同构定理）设 \(I\subseteq J\) 是 \(R\) 的理想。证明 \((R/I)/(J/I)\cong R/J\)：写出 \(f:R/I\to R/J\)，验证良定义、满性，并算出 \(\ker f=J/I\)。
  6. （自同构群）设 \(\varphi:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) 是环自同构。证明：\(\varphi(n)=n\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）、\(\varphi(1/n)=1/n\)，从而 \(\varphi\) 是恒等映射；并说明 \(\mathbb{R}\) 的情形为何多一步（提示：保序性如何得到？）。
下一讲预告 第 29 讲：继续环论主线——将「同构/同态」方法用于具体环（商环、有限环、多项式环的因子环），并用对应的 lattice 语言整理本讲的三条定理。