抽象代数 · 课程学习笔记

第 27 讲 · 商环与环的同态定理

Quotient Rings and the Homomorphism Theorems for Rings
音频时长 33:55 进度 27 / 38 讲 核心概念：商环 · 环同态 · 核 · 环的第一同态定理
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◎学习目标

  1. 回顾并熟用理想（ideal）的定义与吸收性：理想是环中加法子群且满足 \(r a\in I,\ a r\in I\)；理解「理想」在环中的地位恰如「正规子群」在群中的地位——只有理想才能构造商环；
  2. 掌握环同态 \(f:R\to S\) 的定义（同时保持加法与乘法）；理解其核 \(\ker f\) 是 \(R\) 的理想、像 \(\operatorname{im} f\) 是 \(S\) 的子环；
  3. 掌握商环 \(R/I\) 的定义：\(I\) 是 \(R\) 的理想时，\(R/I=\{a+I\mid a\in R\}\)，加法 \((a+I)+(b+I)=(a+b)+I\)、乘法 \((a+I)(b+I)=(ab)+I\)；
  4. 会完整论证商环的加法与乘法都是 well-defined 的（关键在 \(I\) 是理想，吸收性保证），并验证乘法满足结合律、分配律；
  5. 理解典范同态（自然同态）\(\pi:R\to R/I,\ a\mapsto a+I\)：它是满同态，\(\ker\pi=I\)；
  6. 掌握环的第一同态定理：若 \(f:R\to S\) 是环同态，则 \(R/\ker f\cong\operatorname{im} f\)；特别地，若 \(f\) 满（即 \(\operatorname{im} f=S\)）则 \(R/\ker f\cong S\)（类比群的同构基本定理）；并会证 \(\pi:R\to R/I\) 是单射当且仅当核平凡；
  7. 会计算典型例子：\(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（满同态，核 \(n\mathbb{Z}\)）、\(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 为素数时是域）、矩阵环 \(\mathrm{M}_n\) 的「取左上角 \(1\times1\) 块」同态；
  8. 了解同态对应定理（第二同构定理）：由满同态 \(f:R\to S\) 导出的「\(R\) 中含 \(\ker f\) 的子环」与「\(S\) 的子环」之间的一一对应（预告，下讲系统给出）。

1回顾：理想与环同态 ⏱ 00:00

进入商环之前，先回顾两条基础。它们是本讲所有结论的地基。

定义 · 理想（ideal） ⏱ 00:16 设 \(R\) 是一个环。若 \(I\subseteq R\)（非空）满足：
  1. 在加法下是 \(R\) 的加法子群；
  2. 满足吸收性：对任意 \(r\in R,\ a\in I\)，有 \(r a\in I\) 且 \(a r\in I\)。
则称 \(I\) 是 \(R\) 的（双边）理想，一般简称理想。
核心类比 ⏱ 00:50 理想在环中的地位 = 正规子群在群中的地位。群论中：给定正规子群 \(N\)，可构造商群 \(G/N\)；环论中：给定理想 \(I\)，可构造商环 \(R/I\)。这个类比贯穿本讲与后面「同态定理」——理想的吸收性，正是「商运算 well-defined」的代数条件。
定义 · 环同态 / 环同构 ⏱ 01:18 若映射 \(f:R\to S\) 同时保持 \(R\) 的两个运算：
\[ f(a+b)=f(a)+f(b), \qquad f(ab)=f(a)f(b), \qquad (\forall a,b\in R), \]
则称 \(f\) 为环同态；若还双射，则称环同构。
两个基本事实 ⏱ 02:11 对环同态 \(f:R\to S\)：
  • 像 \(\operatorname{im} f\) 是 \(S\) 的子环：\(\operatorname{im} f=\{f(a)\mid a\in R\}\subseteq S\)，它继承 \(S\) 的运算并对加法、乘法封闭（很容易直接验证）；
  • 核 \(\ker f\) 是 \(R\) 的理想：
    \[ \ker f=\{\, a\in R \mid f(a)=0_{S} \,\} \]
    即所有被映到 \(S\) 的加法零元 \(0_S\) 的元素。它一定是 \(R\) 的理想（证明见第 4 节折叠区）。
后面研究环的同态定理时，会反复用到 \(\ker f\) 与 \(\operatorname{im} f\) 这两个符号。

2商环 \(R/I\) 的定义 ⏱ 02:40

设 \(R\) 是环、\(I\) 是 \(R\) 的理想。要定义 \(R\) 关于 \(I\) 的商集（所有陪集构成的集合），再在其上定义乘法，从而得到环结构。

2.1 先有「加法」：商群结构

若只考虑加法，\(I\) 是 \(R\) 加法群的正规子群（加法群都是交换群，任何子群都正规），所以陪集的全体先有一个商群结构：

\[ R/I = \{\, a+I \mid a\in R \,\}, \qquad (a+I)+(b+I)=(a+b)+I. \]

加法这一步在前面的「陪集 / 商群」一讲中已经反复用过，很直接。⏱ 03:18

2.2 再定义「乘法」：得到环结构 ⏱ 03:42

我们希望这个商集在新乘法下成为环。取商集中两个元素 \(a+I,\ b+I\)，自然地把乘法定义为

\[ (a+I)(b+I) = (ab)+I. \]

为什么这么定义是「自然的」？利用 \(I\) 的吸收性展开：\(a\cdot b + a\cdot I + I\cdot b + I\cdot I\)。因为 \(I\) 是理想（吸收性），\(aI\subseteq I\)、\(bI\subseteq I\)、\(I^2\subseteq I\)，这三部分合起来仍是 \(I\)，于是 \((a+I)(b+I)=(ab)+I\) 就是唯一合理的商集乘法。⏱ 04:30

2.3 必须说明：乘法 well-defined ⏱ 05:01

这里的元素都是陪集的形式，而一个陪集可以有不同代表元：\(a'+I\) 与 \(a+I\) 可能本质上是同一个陪集。要说明「定义有意义」，必须保证——若换成等价的代表元，做完运算后结果仍是同一个陪集。具体地，需证：

\[ a'+I=a+I,\ b'+I=b+I \ \Longrightarrow\ (a'+b')+I\text{（乘法）}=(ab)+I. \]
R/I 加法与乘法 well-defined 的完整论证 ⏱ 05:55

加法 well-defined：若 \(a'+I=a+I,\ b'+I=b+I\)，则 \(a'-a\in I,\ b'-b\in I\)（陪集相等的基本结论：两代表元之差在 \(I\) 中）。于是

\[ (a'+b')-(a+b)=(a'-a)+(b'-b)\in I, \]
因为 \(I\) 是加法子群（对加法封闭）。所以 \((a'+b')+I=(a+b)+I\)。

乘法 well-defined（关键）：设 \(a'+I=a+I,\ b'+I=b+I\)，即 \(a'=a+i_1,\ b'=b+j_1\)（存在 \(i_1,j_1\in I\)）。展开

\[ a'b'= (a+i_1)(b+j_1)=ab + a j_1 + i_1 b + i_1 j_1. \]
与 \(ab\) 的差为 \(a j_1 + i_1 b + i_1 j_1\)。用吸收性逐项判断：
  • \(i_1 j_1\)：\(i_1,j_1\in I\Rightarrow i_1 j_1\in I\)（\(I\) 对乘法封闭，因它是子环）；
  • \(a j_1\)：\(j_1\in I,\ a\in R\)，由吸收性 \(a j_1\in I\)；
  • \(i_1 b\)：\(i_1\in I,\ b\in R\)，由吸收性 \(i_1 b\in I\)。
三项之和仍在 \(I\)（加法子群），故
\[ a'b' - ab \in I \ \Longrightarrow\ a'b'+I = ab+I. \]
即 \((a'+I)(b'+I)=(a'+b')+I=(ab)+I=(a+I)(b+I)\)。乘法 well-defined。

剩下的环公理：乘法结合律（来自 \(R\) 中乘法的结合律）、分配律（来自 \(R\) 中加乘的分配律）都可直接继承、很容易验证（此处略写）。于是 \(R/I\) 在 \((+, \cdot)\) 下确实构成一个环，称为关于理想 \(I\) 的商环。⏱ 08:00

为什么必须是「理想」而不是「子环」 ⏱ 08:35 上面的乘法 well-defined 全程依赖「\(a j_1\in I,\ i_1 b\in I\)」——这正是吸收性。若 \(I\) 只是子环（不吸收），则 \(R\cdot I\subseteq I\) 不一定成立，乘法就会随代表元选取而变，商环结构崩塌。这就是「只有理想才能作商」的根本原因，类比群中「只有正规子群才能作商」。

3典范同态 \(\pi:R\to R/I\) ⏱ 11:10

给了一个理想 \(I\)，最自然的映射就是「把每个元素映到它所在的陪集」。这个映射非常重要，反复使用。

定义 · 典范同态（自然同态 / 商同态） ⏱ 11:42 设 \(R\) 是环、\(I\) 是 \(R\) 的理想。定义
\[ \pi:R\longrightarrow R/I, \qquad a\longmapsto a+I. \]
\(\pi\) 是 \(R\) 到商环 \(R/I\) 的映射，称为典范同态（natural / canonical homomorphism）。
命题 · \(\pi\) 是满同态，且 \(\ker\pi=I\) ⏱ 12:05
  • 满：\(R/I\) 中每个元素都形如 \(a+I\)，故必是某个 \(a\) 的像（显然满）；
  • 同态：\(\pi(a+b)=\pi(a)+\pi(b)\)、\(\pi(ab)=\pi(a)\pi(b)\) 直接由定义验证（显然）；
  • 核 \(=\) \(I\)：\(\pi\) 的零元是 \(R/I\) 中加法的零元，即 \(0+I=I\)。被映到 \(I\) 的元素，正是那些 \(a+I=I\)（等价于 \(a\in I\)）的 \(a\)。故
    \[ \ker\pi=\{\, a\in R \mid a+I=I \,\}=I. \]

于是典范同态把「\(R\)」到「\(R/I\)」这件事封装成「满同态 + 核 \(I\)」。下一节的第一同态定理，正是它的「反身说法」。⏱ 14:19

4环的第一同态定理 ⏱ 14:31

这是本讲最重要的定理，后面许多同态、同构结论都要用到它。类比群论中的「同态基本定理 / 同构基本定理」。

定理 · 环的第一同态定理 ⏱ 14:45 设 \(f:R\to S\) 是环同态，记 \(I=\ker f\)（\(R\) 的理想）。则存在唯一的环同态 \(\bar f:R/I\to S\)，使得
\[ f = \bar f \circ \pi, \]
其中 \(\pi:R\to R/I\) 是典范同态。特别地：
  • \(\bar f\) 是单射（\(\ker\bar f=\{0+I\}\)）；
  • 若 \(f\) 满（\(\operatorname{im} f=S\)），则 \(\bar f\) 满，从而是同构：
    \[ \boxed{\,R/\ker f \ \cong\ S\,} \]
    更一般地，即使 \(f\) 不满，也有 \(R/\ker f\cong\operatorname{im} f\)。

用「交换图」的语言说：给定 \(f:R\to S\) 与 \(\pi:R\to R/I\)，存在唯一的 \(\bar f\) 使图交换——「直接 \(R\xrightarrow{f}S\)」与「先 \(\pi\) 上商环、再 \(\bar f\) 到 \(S\)」两条路径一致。⏱ 15:35

第一同态定理的构造与验证（存在性 + 唯一性） ⏱ 17:17

构造（定义 \(\bar f\)）：商环中每个元素都形如 \(a+I\)，最自然的定义就是「把 \(a\) 映到 \(f(a)\)」：

\[ \bar f(a+I) := f(a), \qquad I=\ker f. \]

第一步 · 有意义（well-defined）：若 \(a+I=b+I\)，则 \(a-b\in I=\ker f\)，故 \(f(a-b)=0\)。因 \(f\) 是环同态保持加法，\(f(a)-f(b)=0\)，即 \(f(a)=f(b)\)。所以不同代表元给出同一个像，\(\bar f\) 定义合理。⏱ 20:23

第二步 · \(\bar f\) 是环同态（形式上直接验证，分别保持加法与乘法）：

\[ \bar f\big((a+I)+(b+I)\big)=\bar f\big((a+b)+I\big)=f(a+b)=f(a)+f(b)=\bar f(a+I)+\bar f(b+I). \]
乘法保持同理（\(f(ab)=f(a)f(b)\)），此处略写。⏱ 22:10

第三步 · 满足交换条件 \(f=\bar f\circ\pi\)：对任意 \(a\in R\)，

\[ (\bar f\circ\pi)(a)=\bar f(\pi a)=\bar f(a+I)=f(a). \]
对每个 \(a\) 都成立，故 \(f=\bar f\circ\pi\)。

第四步 · 唯一性：设另有环同态 \(g:R/I\to S\) 也满足 \(f=g\circ\pi\)。对任意 \(a+I\in R/I\)，

\[ g(a+I)=g\big(\pi(a)\big)=f(a)=\bar f(a+I), \]
用到 \(g\circ\pi=f\)。故对每个 \(a+I\) 都有 \(g(a+I)=\bar f(a+I)\)，即 \(g=\bar f\)，唯一性得证。⏱ 28:29

单射性（关键推论）：可验证 \(\bar f\) 是单射。若 \(\bar f(a+I)=\bar f(b+I)\)，则 \(f(a)=f(b)\Rightarrow f(a-b)=0\Rightarrow a-b\in\ker f=I\Rightarrow a+I=b+I\)。所以 \(\ker\bar f=\{0+I\}\)，\(\bar f\) 单。⏱ 31:28

推论 · \(f\) 单射 ⟺ 核平凡 ⏱ 31:55 对环同态 \(f:R\to S\)：
\[ f\ \text{是单射}\ \Longleftrightarrow\ \ker f=\{0\}. \]
若 \(f(a)=f(b)\)，则 \(f(a-b)=0\)；所以 \(f\) 单 ⟺「\(f(x)=0\Rightarrow x=0\)」⟺ \(\ker f=\{0\}\)。这条对群、对环都成立（保持运算的同态的核平凡 ⇔ 单射）。
第二同构定理（同态对应定理）· 预告 ⏱ 32:45 由一个满同态 \(f:R\to S\)（核为 \(I\)），可以诱导「\(R\) 中包含 \(I\) 的子环」全体 \(\leftrightarrow\)「\(S\) 的子环」全体之间的一一对应（对应方式是「取原像 / 取像」）。这就是同态对应定理（correspondence theorem，又称第二同构定理），它揭示商环的结构——下一讲（环的同态定理 (ii)）会系统给出并用于研究具体环的结构。

5商环结构定理与例子 ⏱ 33:00

有了商环与同态定理，就可以「反过来」研究商环的结构：商环总是对应到某个同态的像。看几个经典例子。

例 1 · \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（满同态，核 \(n\mathbb{Z}\)） ⏱ 33:20 取典范同态 \(\pi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\ a\mapsto a+n\mathbb{Z}\)。它是满同态，\(\ker\pi=n\mathbb{Z}\)。由第一同态定理：
\[ \mathbb{Z}/\ker\pi=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\ \cong\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \ \text{（满同态的像）}. \]
这里「商环」\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 与「像」都是模 \(n\) 的剩余类环。

5.1 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 的剩余类结构

元素可写成陪集形式 \(\bar i = i+n\mathbb{Z}\)（\(i\in\mathbb{Z}\)）。但每个整数都能按「带余除法定理」写成 \(i=qn+r,\ 0\le r\(n\) 个不同的陪集。运算为：⏱ 09:30

\[ \bar i + \bar j = \overline{i+j}, \qquad \bar i \cdot \bar j = \overline{ij}, \qquad i,j\in\{0,1,\dots,n-1\}. \]
例 2 · \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 为素数时是域） ⏱ 10:55 当 \(n=p\) 为素数时，\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 是有限域（\(p\) 阶域，记 \(\mathbb{F}_p\)）。因为它只有平凡理想 \(\{0\}\) 与自身（由「域 ⟺ 只有平凡理想」：非零元素都可逆，任何非零理想都含逆元从而含 \(1\)，等于整个环）。验证方法见「自测与作业」第 1 题。
例 3 · \(\mathrm{M}_2(F)\) 的「取左上角 \(1\times1\) 块」商环 ⏱ 12:00 取 \(\mathrm{M}_2(F)\) 中形如「仅左上角 \(1\times1\) 块非零」的矩阵全体
\[ I = \left\{\, \begin{pmatrix} c & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid c\in F \,\right\}, \]
容易验证 \(I\) 是 \(\mathrm{M}_2(F)\) 的理想（对加法封闭，且 \(\mathrm{M}_2(F)\cdot I\subseteq I\)、\(I\cdot \mathrm{M}_2(F)\subseteq I\)——只有左上块保留）。商环 \(\mathrm{M}_2(F)/I\) 由典范同态 \(\pi\) 映到其像；由第一同态定理，\(\mathrm{M}_2(F)/I\) 与 \(I\) 同构（而 \(I\cong F\)，通过 \(c\leftrightarrow\operatorname{diag}(c,0)\) 是环同构）。这展示了「取左上角 \(1\times1\) 块」如何在矩阵环上给出一个商环结构。
小结 ⏱ 33:50 这些商环、同态、同构结论，在研究具体环的结构（如有限域、矩阵环、多项式环）时非常有用——下一讲起会反复用到第一同态定理与（预告的）同态对应定理。

6理想在环中的地位 = 正规子群在群中的地位 ⏱ 33:55

把本讲（及上一讲「子环与理想」）主线收拢成一张对照表。它解释了「为什么商运算必须用理想」，也是整个环论的纲。

群论（\(G\)）环论（\(R\)）说明
正规子群 \(N\trianglelefteq G\)理想 \(I\trianglelefteq R\)「才能作商」的对象；群要求左右陪集相等，环要求吸收性
商群 \(G/N\)（\(gN\)）商环 \(R/I\)（\(a+I\)）对陪集定义运算，well-defined 依赖「正规 / 理想」
群同态 \(f:G\to H\)，\(\ker f\trianglelefteq G\)，\(\operatorname{im} f\le H\)环同态 \(f:R\to S\)，\(\ker f\) 是理想，\(\operatorname{im} f\) 是子环同态保持运算；核 / 像是正规 / 理想 / 子环
典范同态 \(G\to G/N\)，核 \(=N\)，满典范同态 \(\pi:R\to R/I\)，核 \(=I\)，满把元素映到陪集
第一同态定理 \(G/\ker f\cong\operatorname{im} f\)；\(G/N\cong H\)（满）第一同态定理 \(R/\ker f\cong\operatorname{im} f\)；\(R/I\cong S\)（\(f\) 满）完全平行
同态对应定理（正规子群 lattice）同态对应定理（含核子环 lattice）下一讲系统给出

一句话：「理想」之于「环」，就是「正规子群」之于「群」。上一讲已经铺垫「只有理想才能定义商环 \(R/I\)」；本讲把 \(R/I\) 的环结构、典范同态、第一同态定理完整建立起来，并给出 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)、\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)、矩阵环等例子。

★重点回顾

1
理想 = 环中的正规子群：\(I\) 是 \(R\) 的理想 ⟺ \(I\) 是加法子群 + 吸收性 \(r a\in I,\ a r\in I\)；只有理想才能构造商环（类比群中正规子群作商群）。
2
环同态 \(f:R\to S\) 保持加法与乘法：\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)、\(f(ab)=f(a)f(b)\)；核 \(\ker f\) 是 \(R\) 的理想，像 \(\operatorname{im} f\) 是 \(S\) 的子环。
3
商环 \(R/I\)：\(R/I=\{a+I\}\)，\((a+I)+(b+I)=(a+b)+I\)、\((a+I)(b+I)=(ab)+I\)；加法 well-defined 靠「\(I\) 加法子群」，乘法 well-defined 靠「\(I\) 吸收性」（吸收性是本讲最关键条件）。
4
典范同态 \(\pi:R\to R/I,\ a\mapsto a+I\)：满同态，\(\ker\pi=I\)（零元是陪集 \(I\)）。
5
第一同态定理：\(f:R\to S\)（核 \(I\)）⟹ 唯一 \(\bar f:R/I\to S\) 使 \(f=\bar f\circ\pi\)；\(\bar f\) 单射；\(f\) 满时 \(R/I\cong S\)，一般 \(R/\ker f\cong\operatorname{im} f\)。类比群的同构基本定理。
6
单射判据：\(f\) 单射 ⟺ \(\ker f=\{0\}\)（与群论结论一致）。
7
典型例子：\(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（满，核 \(n\mathbb{Z}\)，故 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)）；\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素）是域；\(\mathrm{M}_n\) 取左上角 \(1\times1\) 块同态。共 \(n\) 个剩余类，唯一最小非负代表元 \(0,\dots,n-1\)。
8
同态对应定理（预告）：由满同态 \(f:R\to S\)（核 \(I\)）导出「含 \(I\) 的 \(R\) 的子环」与「\(S\) 的子环」的一一对应——下讲（环的同态定理 (ii)）系统给出，用于研究商环 / 具体环的结构。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 以为任意子环都能作商：只有理想（具吸收性）才保证 \(R/I\) 的乘法 well-defined；用子环时 \(a j_1,\ i_1 b\) 可能跑到 \(I\) 外，商结构崩塌。这是本讲最容易踩的坑。
  2. 定义商环乘法时跳过 well-defined：陪集有不同代表元，必须证明「换等价代表元后结果仍是同一陪集」（利用吸收性把 \(a j_1+i_1 b+i_1 j_1\) 判进 \(I\)）。漏掉这一步等于没证。
  3. 把核当普通子集而非理想：\(\ker f\) 不只是子集，它是 \(R\) 的理想（靠吸收性 \(f(ra)=f(r)f(a)=f(r)\cdot0=0\)）；后面「核作商」全靠它。
  4. 误判典范同态的核：\(\pi:R\to R/I\) 的核是 \(I\) 本身（映到 \(R/I\) 的零元 \(I\) 的原像），不是 \(\{0\}\)。若误写成 \(\{0\}\)，第一同态定理的「\(R/\{0\}\) 同构于 \(R/I\)」就全错了。
  5. \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 的核当成 \(n\)：核是理想 \(n\mathbb{Z}\)（\(n\) 的全体整数倍），不是整数 \(n\) 本身。第一同态定理写 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)。
  6. 把「\(f\) 满」漏掉却写 \(R/\ker f\cong S\)：一般只能 \(R/\ker f\cong\operatorname{im} f\)；仅当 \(f\) 满（\(\operatorname{im} f=S\)）才有 \(R/\ker f\cong S\)。
  7. 「\(f\) 单射 ⟺ 核 \(\{0\}\)」忘记只对同态成立：该判据依赖 \(f\) 保持运算；对普通映射不成立。

✎自测与作业

  1. 验证 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素）是域。提示：任取 \(0\notin a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（即 \(p\nmid a\)），由 \(\gcd(a,p)=1\) 得 \(u a+v p=1\)，故 \(\bar a\) 有逆 \(\bar u\)；又 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 只有平凡理想，故是有限域 \(\mathbb{F}_p\)。或：直接验证每个非零剩余类可逆。
  2. 求 \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)（典范商同态）的核与像。提示：\(f(a)=a+6\mathbb{Z}\)。像为 \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) 全部（满）；核为 \(a+6\mathbb{Z}=0+6\mathbb{Z}\iff a\in 6\mathbb{Z}\)，故 \(\ker f=6\mathbb{Z}\)。由第一同态定理 \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)。
  3. 说明 \(\ker f=\{0\}\) ⟺ \(f\) 单射（对环同态 \(f:R\to S\)）。提示：\(f\) 单射 ⟹ 若 \(f(a)=0\) 则 \(a=0\)，核平凡；核平凡 ⟹ \(f(a)=f(b)\Rightarrow f(a-b)=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\)。
  4. 设 \(f:R\to S\) 是环同态、\(I=\ker f\)。证明存在唯一的环同态 \(\bar f:R/I\to S\) 使 \(f=\bar f\circ\pi\)（即第一同态定理的完整证明：定义 \(\bar f(a+I)=f(a)\) → 证 well-defined → 证同态 → 证交换 → 证唯一）。并在 \(f\) 满时推出 \(R/I\cong S\)。
  5. 证明典范同态 \(\pi:R\to R/I,\ a\mapsto a+I\) 是满同态且 \(\ker\pi=I\)。
  6. 对例 3 中 \(I=\{\operatorname{diag}(c,0)\mid c\in F\}\subset\mathrm{M}_2(F)\)：先验证 \(I\) 是 \(\mathrm{M}_2(F)\) 的理想，再用第一同态定理说明 \(\mathrm{M}_2(F)/I\) 同构于其典范同态的像（并指出 \(I\cong F\)）。
下一讲预告 第 28 讲 · 环的同态定理 (ii)：同态对应定理（correspondence theorem，又称第二同构定理）——由满同态 \(f:R\to S\)（核 \(I\)）导出的「\(R\) 中含 \(I\) 的子环」与「\(S\) 的子环」之间的一一对应；并展开研究具体环（商环）的结构。