抽象代数 · 课程学习笔记

第 34 讲 · 素理想

Prime Ideals
音频时长 41:53 进度 34 / 38 讲 核心概念：素理想 · 极大理想 · R/P 整环/域 · 不可约元对应
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◎学习目标

  1. 掌握素理想（prime ideal）的定义：理想 \(P \subsetneq R\)，且 \(ab \in P \Rightarrow a \in P \text{ 或 } b \in P\)；理解其与素数的类比；
  2. 会验证具体环中的素理想：\(\mathbb{Z}\) 中 \(p\mathbb{Z}\)（\(p\) 为素数）、\(F[x]\) 中不可约多项式生成的理想；
  3. 掌握核心定理：\(P\) 是素理想 \(\Longleftrightarrow\) 商环 \(R/P\) 是整环，并会写出双向证明；
  4. 掌握等价刻画：\(P\) 是极大理想 \(\Longleftrightarrow\) \(R/P\) 是域（域是整环），从而极大理想必是素理想；
  5. 理解「极大 ⇒ 素」但「素 ⇏ 极大」：用 \(\mathbb{Z}[x]\) 中 \((2)\) 是素理想但非极大理想的反例说明；
  6. 回顾偏序关系、偏序集、全序子集（链）、极大元、上界等概念，并掌握Zorn 引理的陈述；
  7. 会用 Zorn 引理证明：含 \(1\) 的交换环中，任一不等于 \(R\) 的理想必包含在某个极大理想中；
  8. 认识思考题：\(\mathfrak{N}_R\)（所有幂零元构成的集合）是理想，且 \(\bigcap_{P \text{ 素}} P = \mathfrak{N}_R\)（\(\mathfrak{r}(R)\)，nil radical / 零根）。

1素理想的定义 ⏱ 00:26

素理想在环论中扮演的角色，类似于素数在数论中的角色。它帮助我们理解环的分解、环的结构，以及环的一些重要性质。⏱ 00:09

定义 · 素理想（prime ideal） ⏱ 00:38 设 \(R\) 是含单位元的交换环，\(P\) 是 \(R\) 的理想，且 \(P \neq R\)。若对任意 \(a, b \in R\)：
\[ ab \in P \;\Longrightarrow\; a \in P \ \text{或}\ b \in P, \]
则称 \(P\) 是 \(R\) 的素理想。英文 prime ideal，习惯用大写字母 \(P\) 表示。⏱ 01:24
类比 这个定义是素数性质的直接推广：素数 \(p\) 满足 \(p \mid mn \Rightarrow p \mid m \text{ 或 } p \mid n\)。素理想把「整除」换成「属于理想」。
等价刻画 · 素理想与商环（预告） \(P\) 是 \(R\) 的素理想 \(\Longleftrightarrow\) 商环 \(R/P\) 是整环。这是本讲最重要的定理，将在第 4 节证明。

2例 1：\(\mathbb{Z}\) 中由素数生成的理想 ⏱ 02:13

整数环 \(\mathbb{Z}\) 是我们已经非常熟悉的例子。取一个素数（例如 \(5\)），由它生成的理想 \(5\mathbb{Z} = \{5k \mid k \in \mathbb{Z}\}\) 就是 \(\mathbb{Z}\) 的一个素理想。⏱ 02:23

验证 · \(5\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的素理想 ⏱ 02:57 要证 \(5\mathbb{Z}\) 是素理想，需证：\(\forall\, m, n \in \mathbb{Z}\)，若 \(mn \in 5\mathbb{Z}\)，则 \(m \in 5\mathbb{Z}\) 或 \(n \in 5\mathbb{Z}\)。
  • \(mn \in 5\mathbb{Z}\) 意味着 \(5 \mid mn\)；
  • 由 \(5\) 是素数，\(5 \mid mn \Rightarrow 5 \mid m\) 或 \(5 \mid n\)（Euclid 引理）；
  • 即 \(m \in 5\mathbb{Z}\) 或 \(n \in 5\mathbb{Z}\)。
结论：\(5\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的素理想。把 \(5\) 换成任意素数 \(p\) 都可以。⏱ 04:32
推广 \(\mathbb{Z}\) 的素理想恰好是 \(p\mathbb{Z}\)（\(p\) 为素数）。另外，\(\mathbb{Z}\) 中 \(\{0\} = 0\mathbb{Z}\) 也是素理想（因为 \(\mathbb{Z}\) 是整环）。

3例 2：\(F[x]\) 中不可约多项式生成的理想 ⏱ 05:05

考虑有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的多项式环 \(\mathbb{Q}[x]\)。若 \(f(x)\) 是 \(\mathbb{Q}[x]\) 中的不可约多项式，则 \(f(x)\) 生成的理想 \((f)\) 是 \(\mathbb{Q}[x]\) 的素理想。⏱ 05:18

例 · \((x^2 - 2)\) 是 \(\mathbb{Q}[x]\) 的素理想 ⏱ 05:42 取 \(f(x) = x^2 - 2\)（在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中不可约，因为 \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)）。该理想中的元素形如
\[ (x^2 - 2) \cdot g(x), \quad g(x) \in \mathbb{Q}[x]. \]
要证它是素理想：取 \(g(x), h(x) \in \mathbb{Q}[x]\)，若 \(g(x)h(x) \in (x^2-2)\)，则
  • \(x^2 - 2 \mid g(x)h(x)\)（由理想定义）；
  • 因为 \(x^2 - 2\) 不可约，故 \(x^2 - 2 \mid g(x)\) 或 \(x^2 - 2 \mid h(x)\)；
  • 即 \(g(x) \in (x^2-2)\) 或 \(h(x) \in (x^2-2)\)。⏱ 08:09
所以 \((x^2 - 2)\) 是 \(\mathbb{Q}[x]\) 的素理想。把 \(x^2-2\) 换成任意不可约多项式即可。⏱ 08:25
一般结论 在域 \(F\) 上，\(F[x]\) 是 PID（主理想整环），不可约多项式生成的理想既是素理想，也是极大理想（后面会详细讨论）。

4定理：\(P\) 是素理想 \(\Longleftrightarrow\) \(R/P\) 是整环 ⏱ 09:05

先回顾一下：含单位元的交换环关于极大理想的商环是域（上上已证）。本讲把这个条件弱化为素理想，得到商环是整环的结论。⏱ 09:35

回顾 · 整环与整区（整域）
  • 整环（integral domain）：无零因子的交换环；
  • 整区 / 整域（integral domain with 1）：含单位元的整环；
  • 域（field）：非零元素都有逆元的含单位元交换环。
域一定是整环（因为 \(xy=0\)，若 \(x\neq 0\) 则 \(y = x^{-1}\cdot 0 = 0\)），所以「域 ⇒ 整环」。⏱ 09:59
定理 · 素理想与商环 ⏱ 10:35 设 \(R\) 是含单位元的交换环，\(P \subsetneq R\) 是理想。则
\[ P \text{ 是 } R \text{ 的素理想} \;\Longleftrightarrow\; R/P \text{ 是整环}. \]
这是充要条件（「当且仅当」）。

4.1 证明 \(P\) 素 \(\Rightarrow\) \(R/P\) 整环 ⏱ 10:20

证明方向一：\(P\) 是素理想 \(\Longrightarrow\) \(R/P\) 是整环（点击展开）

已知 \(P\) 是素理想。需证 \(R/P\) 是整环，即 \(R/P\) 是无零因子的含单位元交换环。

含单位元和交换性是显然的（商环继承自 \(R\)）。只需证无零因子：⏱ 11:04

  1. 在 \(R/P\) 中取两个陪集 \(\bar{a}, \bar{b}\)；
  2. 若 \(\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{0}\)，即 \(\bar{ab} = \bar{0}\)，则 \(ab \in P\)（商环基本性质）；⏱ 11:37
  3. 由 \(P\) 是素理想：\(ab \in P \Rightarrow a \in P\) 或 \(b \in P\)；
  4. 即 \(\bar{a} = \bar{0}\) 或 \(\bar{b} = \bar{0}\)。⏱ 12:27

所以 \(R/P\) 无零因子，是整环。证毕。

4.2 证明 \(R/P\) 整环 \(\Rightarrow\) \(P\) 素 ⏱ 13:25

证明方向二：\(R/P\) 是整环 \(\Longrightarrow\) \(P\) 是素理想（点击展开）

已知 \(R/P\) 是整环。需证 \(P\) 是素理想，即 \(\forall\, a, b \in R\)，\(ab \in P \Rightarrow a \in P\) 或 \(b \in P\)。⏱ 13:38

  1. 设 \(a, b \in R\)，且 \(ab \in P\)；
  2. 在 \(R/P\) 中：\(\bar{a}\cdot\bar{b} = \overline{ab} = \bar{0}\)；
  3. 因为 \(R/P\) 是整环（无零因子），所以 \(\bar{a} = \bar{0}\) 或 \(\bar{b} = \bar{0}\)；⏱ 14:11
  4. 即 \(a \in P\) 或 \(b \in P\)。

所以 \(P\) 是素理想。证毕。⏱ 14:34

总结关系图
\[ P \text{ 素理想} \;\Longleftrightarrow\; R/P \text{ 整环} \quad\quad M \text{ 极大理想} \;\Longleftrightarrow\; R/M \text{ 域} \]
由于域是整环，极大理想 ⇒ 素理想（下节详证）。

5推论：极大理想必是素理想 ⏱ 15:33

推论 ⏱ 15:44 设 \(R\) 是含单位元的交换环，\(M\) 是 \(R\) 的极大理想，则 \(M\) 是 \(R\) 的素理想。
证明（点击展开）

设 \(M\) 是极大理想。由已证定理「极大理想 \(M\) \(\Leftrightarrow\) \(R/M\) 是域」：⏱ 16:10

  1. \(R/M\) 是域；
  2. 域是整环（非零元素均有逆，故无零因子）；
  3. 由本讲定理「\(P\) 素 \(\Leftrightarrow\) \(R/P\) 整环」，\(M\) 是素理想。⏱ 16:42

证毕。所以任一含 \(1\) 的交换环中，极大理想一定是素理想。⏱ 16:58

注意方向 极大理想 ⇒ 素理想（单向成立），但素理想 ⇏ 极大理想。反例见下节。

6反例：素理想不见得是极大理想 ⏱ 16:58

考虑整系数多项式环 \(\mathbb{Z}[x]\)（交换环、含 \(1\)）。⏱ 17:08

反例 · \((2)\) 是 \(\mathbb{Z}[x]\) 的素理想但非极大理想 ⏱ 17:26

考虑理想 \((2) = \{2f(x) \mid f(x) \in \mathbb{Z}[x]\}\)。该理想中的多项式所有系数都是偶数。

证明 \((2)\) 是素理想：取 \(f, g \in \mathbb{Z}[x]\)，若 \(f \cdot g \in (2)\)，则 \(2 \mid f(x)g(x)\)（即 \(f(x)g(x)\) 的所有系数都是偶数）。由 \(2\) 是素数，\(2 \mid f(x)\) 或 \(2 \mid g(x)\)，即 \(f \in (2)\) 或 \(g \in (2)\)。所以 \((2)\) 是素理想。这与 \(\mathbb{Z}\) 中 \(5\mathbb{Z}\) 的验证方式完全类似。⏱ 18:09

证明 \((2)\) 不是极大理想：考虑更大的理想 \((2, x) = \{2f(x) + x \cdot g(x) \mid f, g \in \mathbb{Z}[x]\}\)。

  • \((2) \subsetneq (2, x)\)：因为 \(x \in (2,x)\) 但 \(x \notin (2)\)（\(x\) 的系数是 \(1\)，不是偶数）；
  • \((2,x) \neq \mathbb{Z}[x]\)：\((2,x)\) 中所有多项式的常数项都是偶数（\(2f\) 的常数项是偶数，\(x g\) 无常数项），所以 \(1 \notin (2,x)\)。⏱ 18:43

所以 \((2) \subsetneq (2,x) \subsetneq \mathbb{Z}[x]\)，\((2)\) 不是极大理想。⏱ 19:22

结论 \((2)\) 是 \(\mathbb{Z}[x]\) 的素理想，但不是极大理想。所以「素理想 ⇒ 极大理想」不成立。
\[ \text{极大理想} \;\Longrightarrow\; \text{素理想} \quad\quad \text{（不可逆！）} \]

7回顾：偏序关系、偏序集、Zorn 引理 ⏱ 20:28

为了证明「理想包含于极大理想」的定理，先回顾偏序集相关的概念。⏱ 20:31

7.1 偏序关系与偏序集

定义 · 偏序关系与偏序集 ⏱ 20:53 设 \(A\) 是非空集合，\(\precccurlyeq\) 是 \(A\) 上的二元关系。若满足以下三条，则称 \(\precccurlyeq\) 是 \(A\) 上的偏序关系，\((A, \preccurlyeq)\) 是偏序集：
  1. 自反性：\(a \preccurlyeq a\)，\(\forall\, a \in A\)；⏱ 21:35
  2. 反对称性：\(a \preccurlyeq b\) 且 \(b \preccurlyeq a\) \(\Rightarrow a = b\)；⏱ 21:48
  3. 传递性：\(a \preccurlyeq b\) 且 \(b \preccurlyeq c\) \(\Rightarrow a \preccurlyeq c\)。⏱ 22:06

7.2 例子 ⏱ 22:33

7.3 全序子集（链）⏱ 26:32

定义 · 全序子集 / 链 设 \((S, \preccurlyeq)\) 是偏序集，若 \(S\) 中任意两个元素都可以比较大小（即 \(\forall\, a, b \in S\)，\(a \preccurlyeq b\) 或 \(b \preccurlyeq a\)），则称 \(S\) 是全序集（totally ordered set / linearly ordered set）。偏序集中的全序子集称为该偏序集的一个链（chain）。

7.4 极大元、上界 ⏱ 27:59

定义 · 极大元与上界
  • 极大元（maximal element）：\(c \in S\) 是极大元，若不存在 \(a \in S\) 使得 \(c \prec a\)（严格小于，即 \(c \preccurlyeq a\) 且 \(c \neq a\)）。⏱ 28:16
  • 上界（upper bound）：\(A\) 是 \(S\) 的子集，\(c \in S\) 是 \(A\) 的上界，若 \(\forall\, a \in A\)，\(a \preccurlyeq c\)。上界一般不唯一。⏱ 29:30
注意：极大元 ≠ 最大元。最大元要求对所有元素都 \(\preccurlyeq\)；极大元只要求不存在比它「严格更大」的元素（不要求跟所有元素可比）。

7.5 Zorn 引理 ⏱ 30:37

Zorn 引理（Zorn's Lemma） 设 \(S\) 是偏序集。若 \(S\) 的每一个链都有上界（在 \(S\) 中），则 \(S\) 有极大元。
说明 Zorn 引理等价于选择公理（AC），是数学中常用的非构造性工具。本讲用它来证明极大理想的存在性。

8定理：理想必包含在某个极大理想中（Zorn 引理证明） ⏱ 32:52

定理 · 极大理想的存在性 ⏱ 33:39 设 \(R\) 是含单位元 \(1\) 的交换环，\(I\) 是 \(R\) 的理想，且 \(I \neq R\)（即 \(I\) 是真理想），则 \(I\) 一定包含在某个极大理想中。
证明（Zorn 引理，点击展开）

构造偏序集：取 \(\Sigma = \{J \mid J \text{ 是 } R \text{ 的真理想且 } I \subseteq J\}\)，按包含关系 \(J_1 \preccurlyeq J_2 \iff J_1 \subseteq J_2\) 偏序。⏱ 33:50

  1. \(\Sigma\) 非空：\(I\) 本身就是真理想（\(I \neq R\)）且 \(I \subseteq I\)，故 \(I \in \Sigma\)。⏱ 35:21
  2. 每个链都有上界：设 \(\{J_\alpha\}\) 是 \(\Sigma\) 的一条链（任意两个 \(J_\alpha, J_\beta\) 有包含关系）。考虑并集 \(J^* = \bigcup_\alpha J_\alpha\)。
    • \(J^*\) 是 \(R\) 的理想（任意有限个元素的加法与乘法仍落在某个 \(J_\alpha\) 中）；
    • 每个 \(J_\alpha\) 是真理想（\(1 \notin J_\alpha\)），故 \(1 \notin J^*\)，所以 \(J^*\) 也是真理想；
    • \(J_\alpha \subseteq J^*\) 对所有 \(\alpha\) 成立，所以 \(J^*\) 是这条链的上界，且 \(J^* \in \Sigma\)。⏱ 36:25
  3. 应用 Zorn 引理：\(\Sigma\) 非空且每个链都有上界，故 \(\Sigma\) 有极大元 \(M\)。⏱ 37:12
  4. \(M\) 是极大理想：\(M\) 是 \(R\) 的真理想（\(1 \notin M\)）且包含 \(I\)。若存在理想 \(K\) 满足 \(M \subsetneq K \subsetneq R\)，则 \(K \in \Sigma\) 且 \(M \prec K\)，与 \(M\) 极大矛盾。所以 \(M\) 是极大理想。

证毕。⏱ 38:21

推论 · 极大理想存在 ⏱ 38:37 在上面的定理中取 \(I = \{0\}\)，立即得到：
\[ \text{含单位元 } 1 \text{ 的交换环 } R \text{ 必有极大理想.} \]
（因为 \(\{0\}\) 是 \(R\) 的理想且 \(\{0\} \neq R\)，所以 \(\{0\}\) 包含在某个极大理想中。）

9思考题：\(\mathfrak{N}_R\) 与 \(\mathfrak{r}(R)\) ⏱ 39:31

思考题（课后自证） ⏱ 39:41 设 \(R\) 是交换环，定义
\[ \mathfrak{N}_R = \{\, a \in R \mid \exists\, n \in \mathbb{N},\; a^n = 0 \,\} \]
（即 \(R\) 中所有幂零元（nilpotent element）的集合）。
  1. 证明 \(\mathfrak{N}_R\) 是 \(R\) 的一个理想；
  2. 证明：\(\bigcap_{P \text{ 是 } R \text{ 的素理想}} P = \mathfrak{N}_R\)。
这个理想有一个名字：\(\mathfrak{N}_R\) 被称为 \(R\) 的零根（nil radical / \(\mathfrak{r}(R)\)），有时也记为 \(\sqrt{0}\)。它与素理想有深刻的关系：\(R\) 的所有素理想的交集恰好是 \(\mathfrak{N}_R\)。这个结论将在下一讲继续。⏱ 41:11
预告 · 下一讲 下一讲将证明 \(\bigcap P = \mathfrak{N}_R\)（素理想交集 = 零根），并进一步讨论素理想与不可约元在 PID 中的对应关系。

★重点回顾

1
素理想定义：\(P \subsetneq R\)，\(\forall\, a,b \in R\)，\(ab \in P \Rightarrow a \in P\) 或 \(b \in P\)。类比素数：\(p \mid mn \Rightarrow p \mid m\) 或 \(p \mid n\)。
2
核心定理：\(P\) 素理想 \(\Longleftrightarrow\) \(R/P\) 是整环。两个方向分别用「素性 ⇒ 无零因子」和「无零因子 ⇒ 素性」证明。
3
极大理想等价刻画：\(M\) 极大 \(\Longleftrightarrow\) \(R/M\) 是域。由于域是整环，极大理想 ⇒ 素理想（单向）。
4
反例：\(\mathbb{Z}[x]\) 中 \((2)\) 是素理想但非极大理想（\((2) \subsetneq (2,x) \subsetneq \mathbb{Z}[x]\)）。
5
\(\mathbb{Z}\) 的素理想：恰好是 \(p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素数）和 \(\{0\}\)。在 \(F[x]\) 中，不可约多项式生成的理想是素理想（也是极大理想）。
6
Zorn 引理：偏序集中若每条链都有上界，则存在极大元。用于证明「任一真理想包含在某个极大理想中」以及「含 1 的交换环必有极大理想」。
7
零根 \(\mathfrak{N}_R\)：所有幂零元构成理想，且 \(\bigcap_{P \text{ 素}} P = \mathfrak{N}_R\)（nil radical / \(\mathfrak{r}(R)\)）。
8
关系图：极大理想 \(\Rightarrow\) 素理想（不可逆）；素理想 \(\Leftrightarrow\) 商环整环；极大理想 \(\Leftrightarrow\) 商环域。在 PID 中：不可约元 \(\Leftrightarrow\) 极大理想 \(\Leftrightarrow\) 素理想。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 把「素理想」误记为「极大理想」：极大理想必是素理想，但素理想不一定是极大理想（\(\mathbb{Z}[x]\) 中 \((2)\) 的反例）。两者方向不可逆。
  2. 混淆「零因子」与「幂零元」：零因子是 \(a \neq 0\) 但 \(ab = 0\)（某个 \(b \neq 0\)）；幂零元是 \(a^n = 0\)（某个 \(n\)）。零根 \(\mathfrak{N}_R\) 包含的是幂零元，不是所有零因子。
  3. 验证 \((2)\) 是 \(\mathbb{Z}[x]\) 素理想时，误以为「\(2 \mid f(x)g(x)\) 推出 \(2 \mid f(x)\) 或 \(2 \mid g(x)\)」需要 \(f, g\) 是常数：这里 \(2\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的素数，\(f(x)g(x)\) 的所有系数都是偶数（即 \(2f(x)g(x) = h(x)\) 中 \(h\) 的系数全为偶数），由 \(\mathbb{Z}\) 中素数性质，存在某个系数使 \(2 \mid f\) 的该系数……实际上更干净的做法是用商环：\(\mathbb{Z}[x]/(2) \cong \mathbb{F}_2[x]\) 是整环，所以 \((2)\) 是素理想。
  4. Zorn 引理的条件写错：是「每条链都有上界」，不是「每个子集都有上界」，也不是「每条链都有最大元」。
  5. 把极大元（maximal）与最大元（greatest）混淆：极大元只要求「不存在严格更大的」，不要求跟所有元素可比；最大元要求 \(\preccurlyeq\) 所有元素。偏序集中极大元不一定唯一。
  6. 证明 \(\Sigma\) 非空时，忘记验证 \(I\) 本身是 \(R\) 的真理想：需要 \(I \neq R\) 且 \(I\) 是理想（题设已给），所以 \(I \in \Sigma\)。
  7. 把「含 1 的交换环必有极大理想」误推为「含 1 的环（非交换）必有极大理想」：本讲假设 \(R\) 是交换环；非交换环的情形需要额外条件（例如 Zorn 引理对右/左理想版本）。

✎自测与作业

  1. 证明 \(\mathbb{Z}\) 的理想 \(6\mathbb{Z}\) 是素理想当且仅当 \(6\) 是素数（即证 \(6\mathbb{Z}\) 不是素理想，举例说明）。
  2. 证明：在域 \(F\) 上，\(F[x]\) 中不可约多项式 \(f(x)\) 生成的理想 \((f)\) 既是素理想，也是极大理想（提示：用 \(\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)\) 的思路，或直接用定理 \(P\) 素 \(\Leftrightarrow\) \(R/P\) 整环与 \(M\) 极大 \(\Leftrightarrow\) \(R/M\) 域）。
  3. 验证 \(\mathbb{Z}[x]\) 中 \((2, x)\) 是真理想（即 \((2,x) \neq \mathbb{Z}[x]\)），并证明 \((2) \subsetneq (2,x)\)。
  4. 用 Zorn 引理证明：设 \(R\) 是含 \(1\) 的交换环，\(I \subsetneq R\) 是理想，则存在极大理想 \(M\) 使得 \(I \subseteq M\)。（完整写出 \(\Sigma\) 的构造、非空性、每个链的上界存在性。）
  5. （思考题）设 \(R\) 是交换环，\(\mathfrak{N}_R = \{a \in R : \exists\, n \in \mathbb{N},\; a^n = 0\}\)。证明 \(\mathfrak{N}_R\) 是 \(R\) 的理想（提示：验证加法封闭和乘法封闭时利用 \(R\) 交换）。
  6. （进阶）证明：\(R\) 是整环 \(\Longleftrightarrow\) \(\{0\}\) 是 \(R\) 的素理想。并由此推出：\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 是整环 \(\Longleftrightarrow\) \(n\) 是素数。
下一讲预告 第 35 讲将证明 \(\bigcap_{P \text{ 素}} P = \mathfrak{N}_R\)（零根 = 所有素理想交集），并进一步讨论 PID 中不可约元与素理想、极大理想的对应关系。