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◎学习目标
- 掌握环的定义：非空集合 \(R\) 配备两个运算（加法 \(+\)、乘法 \(\cdot\)），\((R,+)\) 是交换群，乘法满足结合律，乘法对加法满足分配律；
- 理解带单位元的环（幺环）与交换环的定义，明确「带单位元」「交换」永远指乘法侧；
- 会逐个验证经典环的例子：\(\mathbb{Z}\)、\(\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{R}\)、\(\mathbb{C}\)、\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)、\(M_n(\mathbb{R})\)、\(\mathrm{End}(M)\)、四元数环 \(\mathbb{H}\)；
- 认识矩阵环 \(M_n(\mathbb{R})\) 是非交换环，矩阵乘法的单位元是单位矩阵；
- 认识加法群 \(M\) 的自同态环 \(\mathrm{End}(M)\)：加法规则为 \((F+G)(x)=F(x)+G(x)\)，乘法为复合 \((F\circ G)(x)=F(G(x))\)，乘法单位元是 \(\mathrm{id}_M\)；
- 认识四元数环 \(\mathbb{H}\)：非交换但每个非零元都有乘法逆元，预告「除环」概念（本讲不给正式定义）。
1环的定义与三条公理 ⏱ 00:27
前面我们已经学过群：一个非空集合配一个运算，满足结合律、单位元、逆元、交换（可选）等条件就构成群。本讲开始学习新的代数结构——环。⏱ 00:32
定义 · 环（ring）
设 \(R\) 是一个非空集合，上面配备两个运算：加法 \(+\) 与乘法 \(\cdot\)。若满足以下三条公理，则称 \(R\) 是一个环，记作三元组 \((R, +, \cdot)\)。
- 加法：\((R, +)\) 是一个交换群。加法单位元记作 \(0\)（区别于乘法单位元），每个元素 \(a\) 有加法逆元 \(-a\)；
- 乘法结合律：对任意 \(a,b,c \in R\)，\((ab)c = a(bc)\)；
- 分配律（乘法对加法）：对任意 \(a,b,c \in R\)，
\[ a(b+c) = ab + ac \quad (\text{左分配律}), \qquad (a+b)c = ac + bc \quad (\text{右分配律}). \]
定义要点
- 「环」的英文是 ring，符号一般用 \(R\) 表示。⏱ 01:04
- 对加法要求它是交换群（有单位元 \(0\)、有逆元 \(-a\)、交换、结合）；⏱ 01:34
- 对乘法只要求满足结合律，不要求单位元，也不要求逆元，不要求交换；⏱ 02:51
- 乘法对加法要同时满足左、右分配律。⏱ 02:09
最熟悉的例子 ⏱ 00:51
整数集 \(\mathbb{Z}\) 在加法与乘法下面构成一个环：\((\mathbb{Z}, +)\) 是交换群；整数乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律——这些都是我们从小熟悉的事实。
2幺环与交换环 ⏱ 03:21
一般的环对乘法只要求结合律。若一个环还满足额外的条件，我们就给它起专门的名字。
2.1 带单位元的环（幺环）
定义 · 带单位元的环 ⏱ 03:53
若环 \(R\) 中存在元素 \(e \in R\)，使得对任意 \(a \in R\) 都有
\[ ae = ea = a, \]
则称 \(R\) 是带单位元的环（幺环），\(e\) 称为乘法单位元。
重要约定 ⏱ 03:30
说一个环「带单位元」，永远指的是乘法单位元。因为加法侧本来就是交换群，加法单位元 \(0\) 必然存在（且已经用 \(0\) 记了）；只有乘法单位元是需要额外说明的。若 \(1 \neq 0\)（即 \(R\) 不是零环），也直接称 \(R\) 为幺环。
2.2 交换环
定义 · 交换环 ⏱ 04:56
若环 \(R\) 的乘法也满足交换律，即对任意 \(a,b \in R\) 有
\[ ab = ba, \]
则称 \(R\) 为交换环。
术语澄清 ⏱ 05:15
说一个环是「交换环」，「交换」二字指的一定是乘法交换。加法侧本来就是交换群，永远交换，所以不需要再强调。
3环的例子总览 ⏱ 06:04
下面把本讲涉及的所有环例子列成一张表。每一条都会对照「加法交换群 / 乘法结合律 / 分配律」三条公理逐个验证。
| 环 | 加法单位元 \(0\) | 乘法单位元 \(1\) | 交换性（乘法） | 备注 |
|---|---|---|---|---|
| \(\mathbb{Z}\) | 整数 \(0\) | 整数 \(1\) | 交换 | 最熟悉例子 |
| \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) | 各自 \(0\) | 各自 \(1\) | 交换 | 数域 |
| \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) | \(\bar{0}\) | \(\bar{1}\) | 交换 | 模 \(n\) 剩余类环 |
| \(M_n(\mathbb{R})\) | 零矩阵 \(\mathbf{0}\) | 单位矩阵 \(I_n\) | 非交换 | 矩阵环 |
| \(\mathrm{End}(M)\) | 零映射 \(0_M\)（\((F+G)(x)=0\)） | 恒等映射 \(\mathrm{id}_M\) | 一般非交换 | 自同态环 |
| \(\mathbb{H}\) | 四元数 \(0\) | 四元数 \(1 = 1+0i+0j+0k\) | 非交换 | 四元数环，每个非零元有逆元（预告除环） |
3.1 整数环 \(\mathbb{Z}\) ⏱ 06:14
验证三条公理
- \((\mathbb{Z}, +)\) 是交换群：加法交换、结合，单位元 \(0\)，逆元 \(-n\)——显然；
- 乘法结合律：\((mn)k = m(nk)\)——显然；
- 分配律：\(m(n+k) = mn + mk\)、\((m+n)k = mk + nk\)——熟悉的形式。
3.2 数域 \(\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{R}\)、\(\mathbb{C}\) ⏱ 07:17
验证
有理数域 \(\mathbb{Q}\)、实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\) 在加法与乘法下都是带 1 的交换环（事实上它们是域，每个非零元都有乘法逆元）。验证方式与 \(\mathbb{Z}\) 完全相同。
3.3 模 \(n\) 剩余类环 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ⏱ 07:50
构造与验证
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 的元素是模 \(n\) 的同余类，可写为
\[ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{\, \bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \dots, \bar{n-1} \,\}, \]
其中 \(\bar{i}\) 表示 \(i\) 的同余类（即 \(i + n\mathbb{Z}\)）。加法与乘法都定义为取模：
\[ \bar{i} \oplus \bar{j} = \overline{i+j \pmod{n}}, \qquad \bar{i} \otimes \bar{j} = \overline{i \cdot j \pmod{n}}. \]
验证（对任意 \(\bar{i}, \bar{j}, \bar{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)）：
- 加法构成交换群（继承自 \(\mathbb{Z}\) 的加法定理）；
- 乘法结合律：\((\bar{i} \otimes \bar{j}) \otimes \bar{k} = \bar{i} \otimes (\bar{j} \otimes \bar{k})\)——显然；
- 分配律：\(\bar{i} \otimes (\bar{j} \oplus \bar{k}) = (\bar{i} \otimes \bar{j}) \oplus (\bar{i} \otimes \bar{k})\)——显然。
3.4 矩阵环、自同态环、四元数环
下面三节分别展开 \(M_n(\mathbb{R})\)、\(\mathrm{End}(M)\)、\(\mathbb{H}\) 的详细验证。
4矩阵环 \(M_n(\mathbb{R})\) ⏱ 09:05
回顾 GL_n 与 M_n 的区别 ⏱ 09:15
前面讲群时提到过 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\)：\(\mathbb{R}\) 上所有行列式非零的 \(n\) 阶可逆矩阵构成乘法群，单位元是 \(n\) 阶单位矩阵 \(I_n\)（对角线上全为 1、其余为 0）。⏱ 10:00
而本例取的是 \(M_n(\mathbb{R})\)：\(\mathbb{R}\) 上所有 \(n\) 阶方阵（不要求行列式非零，即不要求可逆）。在矩阵乘法下，\(M_n(\mathbb{R})\) 不是群（因为一般找不到逆矩阵）；但配合矩阵加法，它构成一个环。
4.1 加法与乘法的定义 ⏱ 10:30
定义
对 \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\)，
- 加法：矩阵加法，\((A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)；
- 乘法：矩阵乘法，\((AB)_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\)（\(A\) 的第 \(i\) 行与 \(B\) 的第 \(j\) 列对应相乘再求和）。⏱ 11:00
4.2 验证三条公理（折叠） ⏱ 11:20
逐条验证 M_n(R) 是环
- 加法交换群：\((M_n(\mathbb{R}), +)\) 是交换群——矩阵加法交换、结合；单位元是零矩阵 \(\mathbf{0}\)；逆元是 \(-A\)（逐元取负）。
- 乘法结合律：矩阵乘法本身满足结合律（\((AB)C = A(BC)\)）。
- 分配律：矩阵乘法对矩阵加法满足左右分配律（\((A+B)C = AC + BC\) 与 \(A(B+C) = AB + AC\)），这是矩阵代数中早已验证过的结论。
三条公理全部满足，故 \(M_n(\mathbb{R})\) 是环。⏱ 11:50
4.3 单位元与交换性 ⏱ 11:55
- 加法单位元：零矩阵 \(\mathbf{0}\)；
- 乘法单位元：\(n\) 阶单位矩阵 \(I_n\)（对角线全为 1、其余全为 0），对任意 \(A\) 有 \(AI_n = I_nA = A\)；
- 非交换：矩阵乘法不满足交换律（例如 \(n=2\) 时 \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)），所以 \(M_n(\mathbb{R})\) 是非交换环。⏱ 12:15
注意：M_n 与 GL_n 的区别
千万不要把 \(M_n(\mathbb{R})\) 与 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) 混淆。\(M_n(\mathbb{R})\) 包含所有 \(n\) 阶方阵（含不可逆矩阵），是一个环；\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) 只含可逆矩阵，在乘法下是群。
5自同态环 \(\mathrm{End}(M)\) ⏱ 13:00
定义 · 加法群的自同态环
设 \(M\) 是一个加法群。记 \(\mathrm{End}(M)\) 为 \(M \to M\) 的全体群同态的集合（即 \(M\) 的自同态集合）。在 \(\mathrm{End}(M)\) 上定义两个运算：
- 加法：\((F + G)(x) = F(x) + G(x)\)（逐点相加）；
- 乘法（复合）：\((F \circ G)(x) = F(G(x))\)（先 \(G\) 后 \(F\)）。
5.1 验证加法封闭 ⏱ 13:30
证明 F + G 仍是 M 的自同态
设 \(F, G: M \to M\) 都是群同态（保持加法）。对任意 \(x, y \in M\)：
\[ (F+G)(x+y) = F(x+y) + G(x+y) = (F(x)+F(y)) + (G(x)+G(y)) = (F(x)+G(x)) + (F(y)+G(y)) = (F+G)(x) + (F+G)(y). \]
用了 \(F, G\) 各自是同态 + \(M\) 中加法交换律与结合律。所以 \(F+G\) 也是 \(M\) 的自同态，加法封闭。⏱ 14:00
5.2 验证乘法封闭 ⏱ 14:05
证明 F ∘ G 仍是 M 的自同态
对任意 \(x, y \in M\)：
\[ (F \circ G)(x+y) = F(G(x+y)) = F(G(x) + G(y)) = F(G(x)) + F(G(y)) = (F \circ G)(x) + (F \circ G)(y). \]
两次用到 \(G, F\) 是同态。所以 \(F \circ G\) 也是 \(M\) 的自同态，乘法封闭。⏱ 14:30
5.3 验证三条公理（折叠） ⏱ 14:35
逐条验证 End(M) 是环
- 加法交换群：
- 加法交换：\((F+G)(x) = F(x)+G(x) = G(x)+F(x) = (G+F)(x)\)；
- 加法结合：\(((F+G)+H)(x) = (F(x)+G(x))+H(x) = F(x)+(G(x)+H(x)) = (F+(G+H))(x)\)；
- 加法单位元：零映射 \(0_M\)（\(0_M(x)=0\) 对一切 \(x\)），有 \((F+0_M)(x) = F(x) + 0 = F(x)\)；
- 加法逆元：\((-F)(x) = -F(x)\)，有 \((F+(-F))(x) = 0_M(x)\)。
- 乘法结合律：函数复合天然结合：\((F \circ G) \circ H = F \circ (G \circ H)\)。
- 分配律：
- 左分配：\((F \circ (G+H))(x) = F(G(x)+H(x)) = F(G(x)) + F(H(x)) = (F \circ G)(x) + (F \circ H)(x) = ((F \circ G) + (F \circ H))(x)\)；
- 右分配：\(((F+G) \circ H)(x) = (F+G)(H(x)) = F(H(x)) + G(H(x)) = (F \circ H)(x) + (G \circ H)(x) = ((F \circ H) + (G \circ H))(x)\)。
5.4 乘法单位元 ⏱ 15:15
单位元 = 恒等映射
\(\mathrm{End}(M)\) 中乘法的单位元是 \(M\) 上的恒等映射 \(\mathrm{id}_M\)（\(\mathrm{id}_M(x) = x\)）。对任意 \(F \in \mathrm{End}(M)\)：
\[ (F \circ \mathrm{id}_M)(x) = F(\mathrm{id}_M(x)) = F(x), \qquad (\mathrm{id}_M \circ F)(x) = \mathrm{id}_M(F(x)) = F(x). \]
所以 \(\mathrm{End}(M)\) 是一个带 1 的环（1 = \(\mathrm{id}_M\)）。
记号与使用
本讲起，凡是「加法群 \(M\) 上的全体自同态」配上「逐点加法 + 复合乘法」，都构成一个环，记作 \(\mathrm{End}(M)\)，称为加法群 \(M\) 的自同态环。这个结论后面可以直接引用，不必每次重新验证。
6四元数环 \(\mathbb{H}\) ⏱ 15:30
回顾：Hamilton 四元数群 \(Q_8\) ⏱ 15:30
学群时我们见过 Hamilton 四元数群 \(Q_8\)（也叫四元数群）：8 个元素 \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\)，乘法满足
\[ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, \qquad ij = k,\ jk = i,\ ki = j, \]
且 \(ij = -ji\)、\(jk = -kj\)、\(ki = -ik\)。记忆口诀：按 \(i \to j \to k \to i\) 顺时针为正，反方向多一个负号。
6.1 元素形式 ⏱ 16:30
四元数
四元数环 \(\mathbb{H}\) 的元素形如
\[ q = a_0 + a_1 i + a_2 j + a_3 k, \qquad a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}. \]
其中 \(a_0\) 是实部，\(a_1 i + a_2 j + a_3 k\) 是虚部（用「向量」记号 \(\vec{a} = a_1 i + a_2 j + a_3 k\) 时常写 \(q = a_0 + \vec{a}\)）。
6.2 加法 ⏱ 17:30
加法：逐系数相加
对 \(A = a_0 + a_1 i + a_2 j + a_3 k\)、\(B = b_0 + b_1 i + b_2 j + b_3 k\)：
\[ A + B = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)i + (a_2 + b_2)j + (a_3 + b_3)k. \]
加法显然构成交换群（类似多项式加法），单位元是 \(0 = 0 + 0i + 0j + 0k\)。
6.3 乘法 ⏱ 18:00
乘法：逐项相乘 + 分配律整理
利用 \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)、\(ij = k\)、\(ij = -ji\) 等关系，把两个四元数逐项相乘（分配律展开 16 项），再按 \(1, i, j, k\) 收集同类项，得到
\[
\begin{aligned}
A \cdot B \;=\; & (a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3) \\
&+ (a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3 - a_3 b_2)\, i \\
&+ (a_0 b_2 - a_1 b_3 + a_2 b_0 + a_3 b_1)\, j \\
&+ (a_0 b_3 + a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_0)\, k.
\end{aligned}
\]
常数项是 \(a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3\)（注意四个项里只有第一个是正的，后三个是负的——这正是 \(i^2=j^2=k^2=-1\) 带来的）。
6.4 验证三条公理（折叠） ⏱ 19:20
逐条验证 H 是环
- 加法交换群：逐系数相加，交换、结合、单位元 \(0\)、逆元 \(-A\) 都显然成立。
- 乘法结合律：可以由 \(Q_8\) 中 \(i,j,k\) 的乘法表直接验证（展开成 16 项后逐项验证，或用 \(2\times2\) 复矩阵模型 \(i \mapsto \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}\) 等）。⏱ 19:40
- 分配律：由「逐项相乘 + 分配律展开」的定义直接保证。
6.5 单位元与非交换性 ⏱ 20:00
- 乘法单位元是 \(1 = 1 + 0i + 0j + 0k\)；
- 非交换：因为 \(ij = k\) 而 \(ji = -k\)，所以 \(ij \neq ji\)，故 \(\mathbb{H}\) 不是交换环。⏱ 20:15
6.6 每个非零元都有逆元（预告除环） ⏱ 21:00
性质 · 非零四元数的乘法逆元
设 \(A = a_0 + a_1 i + a_2 j + a_3 k \in \mathbb{H}\) 是非零元（即 \(a_0, a_1, a_2, a_3\) 不全为 0）。记
\[ B = a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \neq 0. \]
则 \(A\) 的乘法逆元可以显式写出为
\[ A^{-1} = \frac{1}{B}\bigl(a_0 - a_1 i - a_2 j - a_3 k\bigr) = \frac{1}{B}\,\bar{A}, \]
其中 \(\bar{A} = a_0 - a_1 i - a_2 j - a_3 k\) 是 \(A\) 的共轭（虚部变号）。⏱ 21:30
验证思路：\(A \cdot \bar{A} = a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = B\)（常数项为 \(B\)，虚部全部抵消），所以 \(A \cdot \bar{A} = B \cdot 1\)，从而 \(A^{-1} = B^{-1}\bar{A}\)。计算较长但繁琐而不难。⏱ 22:00
预告 · 除环（division ring）
\(\mathbb{H}\) 是一个非交换环，但每个非零元都有乘法逆元。这种环（非交换、每个非零元可逆）叫做除环（division ring / skew field）。本讲只作预告，不给正式定义，也不讨论其与其他环类（整环、域、零因子）的关系——这些内容将在下一讲（第 24(ii) 讲）展开。
★重点回顾
1
环的定义：非空集合 \(R\) 配两个运算 \(+\) 与 \(\cdot\)；\((R,+)\) 是交换群（加法单位元 \(0\)、加法逆元 \(-a\)）；乘法满足结合律；乘法对加法满足左、右分配律。三元组 \((R, +, \cdot)\) 记作环。
2
幺环：若环存在乘法单位元 \(e\) 使 \(ae = ea = a\) 对所有 \(a\) 成立，称为带单位元的环（幺环）。说「带单位元」永远指乘法单位元；加法单位元 \(0\) 必然存在。
3
交换环：若乘法也交换（\(AB = BA\) 对所有 \(A,B\)），称为交换环。说「交换」永远指乘法交换；加法侧永远交换。
4
例 1 \(\mathbb{Z}\)：加法群、乘法结合、分配律显然；乘法单位元 \(1\)；交换。是带 1 的交换环。
5
例 2 \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)：每个数域在加法乘法下都是带 1 的交换环。
6
例 3 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)：元素 \(\{\bar{0}, \bar{1}, \dots, \bar{n-1}\}\)；加法 \(\bar{i} \oplus \bar{j} = \overline{i+j}\)、乘法 \(\bar{i} \otimes \bar{j} = \overline{i j}\) 都取模；单位元 \(\bar{1}\)；交换。
7
例 4 \(M_n(\mathbb{R})\)：\(\mathbb{R}\) 上所有 \(n\) 阶方阵（不要求可逆）；加法矩阵加法、乘法矩阵乘法 \((AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}\)；加法单位元零矩阵、乘法单位元 \(I_n\)；矩阵乘法不交换 → 非交换环。
8
例 5 \(\mathrm{End}(M)\)：\(M\) 为加法群，\(M \to M\) 的群同态集合；加法 \((F+G)(x) = F(x)+G(x)\)；乘法 \((F\circ G)(x) = F(G(x))\)（复合）；加法交换群、乘法结合、分配律都验证过；乘法单位元 \(\mathrm{id}_M\)。是带 1 的环。
9
例 6 \(\mathbb{H}\)（四元数环）：元素 \(a_0 + a_1 i + a_2 j + a_3 k\)（系数实数）；加法逐系数相加；乘法规律：
\[ (a_0+a_1 i+a_2 j+a_3 k)(b_0+b_1 i+b_2 j+b_3 k) \]
\[ = (a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3) + (a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3 - a_3 b_2)i + (a_0 b_2 - a_1 b_3 + a_2 b_0 + a_3 b_1)j + (a_0 b_3 + a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_0)k. \]
非交换（\(ij = k \neq -k = ji\)）；每个非零元有显式逆元 \(A^{-1} = B^{-1}\bar{A}\)（\(B = a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\)，\(\bar{A}\) 为共轭）。10
除环预告：\(\mathbb{H}\) 提示了「每个非零元可逆的非交换环」这个概念，称为除环。正式定义留到第 24(ii) 讲。
⚠易错点提醒
常见错误
- 把「带单位元」理解成加法单位元：加法单位元 \(0\) 是交换群自带的，必然存在；「带单位元」专指乘法单位元是否存在。
- 把「交换环」理解成加法交换：加法永远交换（交换群要求）；「交换环」专指乘法交换。
- 混淆 \(M_n(\mathbb{R})\) 与 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\)：\(M_n(\mathbb{R})\) 含所有 \(n\) 阶方阵（含不可逆的），是环；\(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) 只含可逆矩阵，是群。两者加法侧都是 \((M_n(\mathbb{R}), +)\) 的交换群，但乘法侧不同。
- 把矩阵环当成交换环：矩阵乘法不交换（\(AB \neq BA\) 一般），所以 \(M_n(\mathbb{R})\) 是非交换环。
- End(M) 乘法单位元写错：是 \(M\) 上的恒等映射 \(\mathrm{id}_M\)（不是零映射！零映射是加法单位元）。
- 四元数乘法公式符号记错：常数项 \(a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3\) 中只有第一项正（来自 \(i^2=j^2=k^2=-1\)）；虚部里 \(i\) 项中 \(-a_3 b_2\) 项的负号（来自 \(ij=k, ji=-k\)），\(j\) 项中 \(-a_1 b_3\) 项的负号，\(k\) 项中 \(-a_2 b_1\) 项的负号——这些负号对应 \(jk=-kj, ik=-ki\)。
- 把 \(\mathbb{H}\) 当成交换环：\(ij = k \neq ji = -k\)，非交换。但它每个非零元都有逆元——这是除环的特征，本讲只预告。
- 四元数共轭写反符号：\(\bar{A} = a_0 - a_1 i - a_2 j - a_3 k\)，是虚部全部变号，不是系数全部变号。
✎自测与作业
- 验证 \((M_2(\mathbb{R}), +, \cdot)\) 构成带 1 环：逐条验证（a）\((M_2(\mathbb{R}), +)\) 是交换群（写出加法单位元与逆元）；（b）矩阵乘法结合律；（c）左、右分配律；（d）乘法单位元 \(I_2\)；（e）举一个具体的 \(2\times2\) 矩阵对，说明 \(AB \neq BA\)，从而说明它是非交换的带 1 环。
- 验证 \(\mathrm{End}(M)\) 是环，且单位元是 \(\mathrm{id}_M\)：设 \(M\) 为任意加法群，证明（a）\(F+G\) 与 \(F\circ G\) 仍是 \(M\) 的自同态；（b）三条公理逐一验证；（c）\(\mathrm{id}_M\) 是乘法单位元；（d）\(\mathrm{End}(M)\) 一般非交换（取一个具体的 \(M\)，例如 \(M = \mathbb{Z}^2\)，构造两个不同的 \(F, G\) 使 \(F\circ G \neq G\circ F\)）。
- 说明四元数环为何非交换但每个非零元有逆元：（a）由 \(ij = k\) 与 \(ji = -k\) 说明 \(ij \neq ji\)；（b）设 \(A = a_0 + a_1 i + a_2 j + a_3 k\) 非零，令 \(B = a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\)，\(\bar{A} = a_0 - a_1 i - a_2 j - a_3 k\)，直接计算 \(A \cdot \bar{A} = B\)，从而 \(A^{-1} = B^{-1}\bar{A}\)；（c）由此说明 \(\mathbb{H}\) 符合「每个非零元可逆」的性质（预告除环，不展开定义）。
- （选做）直接验证 \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) 在模 5 加法乘法下是带 1 交换环，并写出乘法单位元与 \(\bar{2}\) 的乘法逆元。
下一讲预告 · 第 24(ii) 讲
第 24(ii) 讲将讨论环的性质：
- 二项式展开 \((A+B)^n\) 需要环是交换的（非交换环下二项式不成立）；
- \(nA\)（标量倍）的运算律；
- 多元素分配律 \(\left(\sum A_i\right)\left(\sum B_j\right) = \sum_{i,j} A_i B_j\)；
- \(A \cdot 0 = 0\)、\((-A)B = -(AB)\)；
- 零因子、整环、消去律；
- 除环 / 域的正式定义，\(\mathbb{Z}_p\)（\(p\) 为素数）是域的证明。