抽象代数 · 课程学习笔记

第 29 讲 · 整环与分式域

Integral Domains and Fields of Fractions
音频时长 45:47 进度 29 / 38 讲 核心概念：整环 · 可除环/域 · 分式域 · Frac(Z)=Q
提示：数学公式渲染组件（KaTeX）加载失败，公式以源码形式显示，不影响阅读内容。联网后刷新即可正常渲染。

☰本讲目录

◎学习目标

  1. 掌握整环（integral domain）的定义：交换、含 \(1\)（\(1 \neq 0\)）且无零因子的环；理解其等价刻画——消去律；会判断 \(\mathbb{Z}\)、\(\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{R}\)、\(\mathbb{C}\)、\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素）、多项式环等是整环，以及 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（\(n\) 合数）含零因子、\(M_n\) 非交换等反例；
  2. 掌握可除环（division ring）与域（field）的定义：环中每个非零元都可逆；交换的除环即域；理解概念间的强度顺序「域 ⊂ 除环 ⊂ 整环 ⊂ 环」；
  3. 理解整环中周期元与周期的概念，掌握「整环若含周期元，则所有元都是周期元，且周期为同一素数 \(p\)，称 \(p\) 为该整环的特征（characteristic）」的定理；知道无周期元时特征记为 \(0\)；
  4. 掌握「有限整环必为域」的定理，会用乘积集合 \(aR\) 与消去律证明每个非零元可逆；
  5. 掌握分式域（field of fractions）\( \operatorname{Frac}(R) \)的构造：在 \(R \times R^\times\) 上定义 \((a,b) \sim (c,d) \iff ad = bc\) 的等价关系，给出等价类（分式）\(\frac{a}{b}\) 的加法、乘法定义，并验证运算 well-defined（与代表元选取无关）；
  6. 理解 标准嵌入 \(\varphi: R \to \operatorname{Frac}(R)\)，\(\varphi(r) = \frac{r}{1}\)，验证其为单同态，从而 \(R\) 可视为 \(\operatorname{Frac}(R)\) 的子域；理解普适性质：每个 \(\operatorname{Frac}(R)\) 中的元素都可写成 \(\frac{a}{b}\) 的形式；
  7. 会计算典型例子：\(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}\)、\(\operatorname{Frac}(\mathbb{R}[x]) = \mathbb{R}(x)\)（有理函数域）。

1回顾：整环、可除环与域 ⏱ 00:01

本讲的大致计划：先学习整环的一些基本性质，然后从一个带单位元的交换整环出发，构造出包含该整环的最小域。⏱ 00:07

定义 · 整环（integral domain） ⏱ 00:31 若一个环没有零因子——即任意两元素相乘为零，则至少其一为零——就称为整环。教材中进一步要求整环是交换且含 \(1\)（\(1 \neq 0\)）的环，常称这种环为「整区」（英文 integral domain）。
\[ a b = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0 \text{ 或 } b = 0. \]
例 ⏱ 00:49 \(\mathbb{Z}\)（整数环）是整环；模素数 \(p\) 的剩余类环 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（加法与乘法按模 \(p\) 运算）也是整环——任意两个非零元相乘仍非零。⏱ 01:09 更一般地，\(\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{R}\)、\(\mathbb{C}\)、整环上的多项式环 \(R[x]\) 等都是整环。
定义 · 可除环（division ring）与域（field） ⏱ 01:22
  • 若环 \(R\) 有单位元，且每个非零元都可逆，则称 \(R\) 为可除环（division ring）。注意：可除环并未要求乘法交换。
  • 若可除环的乘法进一步是交换的，则称其为域（field）。
\[ 域 \;\subset\; 可除环 \;\subset\; 整环 \;\subset\; 环 \] 条件从强到弱的包含关系。
例 · 四元数环 ⏱ 01:41 四元数环 \(\mathbb{H}\) 是一个可除环的例子（每个非零四元数都可逆），但它不是交换环，所以不是域。
本讲路线 ⏱ 02:09 回顾整环 / 可除环 / 域的概念 \(\to\) 周期元与周期 \(\to\) 整环的特征（定理：存在周期元 ⇒ 特征为某素数 \(p\)）\(\to\) 有限整环必为域 \(\to\) 分式域 \(\operatorname{Frac}(R)\) 的构造（等价关系 + 分式运算 + well-defined + 标准嵌入）\(\to\) 例子（\(\mathbb{Z}\mapsto\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{R}[x]\mapsto\mathbb{R}(x)\)）与作业。

2周期元与周期 ⏱ 03:26

定义 · 周期元（torsion element） 设 \(R\) 为整环。若存在非零元 \(a \in R\) 及正整数 \(m\)，使得
\[ m \cdot a = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{m \text{ 个}} = 0, \]
则称 \(a\) 为 \(R\) 的一个周期元。⏱ 03:35
例 · \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) 中的 \(1\) ⏱ 04:00 取 \(p = 5\)，\(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) 是整环。在模 \(5\) 的加法下，\(5\) 个 \(1\) 相加：
\[ 5 \cdot 1 = \underbrace{1 + 1 + 1 + 1 + 1}_{5 \text{ 个}} \equiv 0 \pmod{5}. \]
所以 \(1\) 是 \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) 中的周期元。同时 \(10\) 个 \(1\) 相加也等于 \(0\)，即 \(10\) 也满足 \(m \cdot 1 = 0\)；\(5\) 与 \(10\) 都是使 \(m \cdot 1 = 0\) 的正整数。⏱ 04:30
定义 · 周期（order） ⏱ 04:50 使 \(m \cdot a = 0\) 成立的最小正整数 \(m\)，称为 \(a\) 的周期。 在上面的例子中，\(1, 2, 3, 4\) 个 \(1\) 相加都不等于 \(0\)，而 \(5\) 个 \(1\) 相加首次等于 \(0\)，故 \(1\) 的周期为 \(5\)（虽然 \(10\) 也满足条件，但不是最小的那个）。

3整环的特征 ⏱ 05:51

定理 · 整环若含周期元则特征为素数 ⏱ 06:00 设 \(R\) 为整环。若 \(R\) 中存在周期元，则存在一个素数 \(p\)，使得对 \(R\) 中任意元素 \(r\) 都有
\[ p \cdot r = 0. \]
称这个 \(p\) 为 \(R\) 的特征（characteristic），记作 \(\operatorname{char}(R) = p\)。 特别地：只要 \(R\) 中存在周期元，那么 \(R\) 中所有元素都是周期元，且它们共同的（最小）周期都是同一个素数 \(p\)。⏱ 06:40

3.1 证明 ⏱ 07:00

证明（点击展开）

分两步。

第一步：所有元素都是周期元。设 \(P\) 为 \(R\) 中全体周期元的周期的最小值。由最小性，存在非零元 \(a\) 使 \(P a = 0\)（且 \(a\) 的周期恰为 \(P\)）。对 \(R\) 中任意 \(b\)：由分配律，

\[ P a \cdot b = \underbrace{(a+\cdots+a)}_{P} \cdot b = \underbrace{ab + \cdots + ab}_{P} = a \cdot (P b). \]
左边 \(P a = 0\)，故 \(a \cdot (P b) = 0\)。因 \(R\) 是整环且 \(a \neq 0\)，由消去律得 \(P b = 0\)。即 \(R\) 中任意 \(b\) 满足 \(P b = 0\)，所有元素都是周期元。⏱ 10:00

第二步：\(P\) 是素数。反设 \(P\) 不是素数，则 \(P = m_1 m_2\)，其中 \(1 < m_1, m_2 < P\)。 记 \(b = m_2 a\)。由 \(P\) 的最小性，\(m_2 < P\)，故 \(b = m_2 a \neq 0\)（否则 \(a\) 的周期比 \(P\) 小，矛盾）。 另一方面，\(0 = P a = m_1 m_2 a = m_1 b\)，而 \(m_1 < P\) 且 \(b \neq 0\)，再次与 \(P\) 的最小性矛盾。⏱ 13:00

两个矛盾说明 \(P\) 必为素数。定理证毕。

例 · \(\operatorname{char}(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) = 5\) ⏱ 14:43 \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) 是带单位元的交换整环（整区），由上述定义，它的特征为 \(5\)。
特征为 0 的情形 ⏱ 15:40 若整环 \(R\) 中不存在任何周期元，则称 \(R\) 的特征为 \(0\)，记 \(\operatorname{char}(R) = 0\)。 典型例子：整数环 \(\mathbb{Z}\)——任意非零元的任意正整数倍都不等于 \(0\)，故 \(\operatorname{char}(\mathbb{Z}) = 0\)。⏱ 15:50

4有限整环必为域 ⏱ 16:26

背景 在正式构造分式域之前，先看一个可以让「带单位元的交换整环」升级为域的一个简单条件：若该环只有有限个元素，则它必为域。⏱ 17:42
定理 · 有限整环是域 ⏱ 18:00 设 \(R\) 为带单位元的交换整环，且 \(R\) 只有有限个元素。则 \(R\) 是域。
证明（点击展开）

要证 \(R\) 是域，只需证 \(R\) 中每个非零元都可逆（环的交换、含 \(1\) 等条件已具备）。⏱ 18:10

任取 \(a \in R\)，\(a \neq 0\)。考虑集合

\[ a R = \{ a r \mid r \in R \}. \]
由乘法的封闭性，\(a R \subseteq R\)。 关键一步：\(a\) 非零且 \(R\) 是整环，故映射 \(r \mapsto a r\) 是单射——若 \(a r_1 = a r_2\)，则 \(a(r_1 - r_2) = 0\)，由消去律（\(a \neq 0\)）得 \(r_1 = r_2\)。⏱ 19:20

于是 \(a R\) 中元素个数与 \(R\) 相同。又 \(a R \subseteq R\)，有限且个数相等，故 \(a R = R\)。 特别地，单位元 \(1 \in R = a R\)，故存在 \(b \in R\) 使 \(a b = 1\)，即 \(a\) 可逆。⏱ 20:30

由 \(a\) 任意，\(R\) 中每个非零元都可逆，故 \(R\) 是域。

小结：有限整环（有限整区）必为域。⏱ 21:26 例如 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素）既是有限整环也是域。

5分式域 \(\operatorname{Frac}(R)\) 的构造 ⏱ 21:43

主定理 ⏱ 21:43 设 \(R\) 为带单位元的交换整环（整区）。则存在一个域 \(F\)，使得 \(R\) 可以嵌入到 \(F\) 中——即存在环的单同态 \(\varphi: R \to F\)；所谓嵌入指 \(R\) 的结构在 \(F\) 中仍保持。\(F\) 就是 \(R\) 的分式域，记作 \(\operatorname{Frac}(R)\)，是包含 \(R\) 的最小域（类比 \(\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}\)）。

5.1 构造基本集与等价关系 ⏱ 22:50

记 \(R^\times = R \setminus \{0\}\)（非零元集合）。考虑笛卡尔积 \(R \times R^\times\)，其元素为有序对 \((a, b)\)，其中 \(a \in R\)、\(b \in R^\times\)（分式 \(\frac{a}{b}\) 的分子与分母，分母必须非零）。⏱ 23:07

定义 · 等价关系 ⏱ 23:56 定义 \(R \times R^\times\) 上的二元关系 \(\sim\)：
\[ (a, b) \sim (c, d) \;\;\Longleftrightarrow\;\; a d = b c \quad (a,c \in R,\; b,d \in R^\times). \]
因 \(a,b,c,d\) 都在 \(R\) 中，交叉相乘 \(ad = bc\) 是有定义的。
验证 \(\sim\) 是等价关系（自反 · 对称 · 传递）（点击展开）
  • 自反：\(a b = b a\)（乘法交换），故 \((a,b) \sim (a,b)\)；
  • 对称：若 \(a d = b c\)，则 \(c b = d a\)，故 \((c,d) \sim (a,b)\)；
  • 传递：若 \((a,b)\sim(c,d)\sim(e,f)\)，即 \(ad = bc\)、\(cf = de\)。交叉相乘得 \(ad \cdot cf = bc \cdot de\)；因 \(c \neq 0\)（在 \(R^\times\) 中）且 \(R\) 是整环，消去 \(c\) 得 \(af = be\)，故 \((a,b)\sim(e,f)\)。
课堂上说明此验证「比较简单的细节就不写了」，直接作为等价关系使用。⏱ 24:35

5.2 分式记号与等价类 ⏱ 25:40

例 · 类比有理数 ⏱ 26:10 取 \(R = \mathbb{Z}\)。分式 \(\frac{2}{3}\) 的等价类 \(\bigl[\frac{2}{3}\bigr]\) 包含所有与之等价的整数分式：\(\frac{4}{6}\)、\(\frac{6}{9}\)、\(\frac{8}{12}\)……因为它们都满足「交叉相乘相等」（如 \(2 \cdot 6 = 3 \cdot 4\)）。这正是 \(\mathbb{Q}\) 中构造有理数的方式。

等价类 \(\bigl[\frac{a}{b}\bigr]\) 的完整描述为

\[ \Bigl[ \frac{a}{b} \Bigr] = \bigl\{ (c,d) \in R \times R^\times \;\big|\; (c,d) \sim (a,b) \bigr\} = \bigl\{ (c,d) \in R \times R^\times \;\big|\; a d = b c \bigr\}. \]
所有等价类的集合记作
\[ F \;=\; \operatorname{Frac}(R) \;=\; \bigl\{ \text{所有等价类} \bigr\} = (R \times R^\times)/{\sim}. \]
这就是我们要构造的分式域 \(F\) 的底层集合。⏱ 27:44

5.3 加法与乘法的定义 ⏱ 28:18

定义 · 分式加法与乘法 ⏱ 28:24 对 \(F\) 中两个分式（等价类）\(\frac{a}{b}\)、\(\frac{c}{d}\)（\(b, d \in R^\times\)），定义
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \;=\; \frac{ad + bc}{bd}, \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \;=\; \frac{ac}{bd}. \]
这与有理数加法 \(\frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{n p + q m}{n q}\) 完全同构。
为什么要验证 well-defined ⏱ 29:24 分式只是一种记法，真正操作的是等价类（集合）。同一个等价类可以有无数种代表元：例如 \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{8}{12}\)。我们定义的加法、乘法必须与代表元选取无关——若换用等价类中另一个代表元，算出的结果应仍落在同一个等价类里。这就是「运算有意义」（well-defined）的要求。⏱ 30:20
分式域加法 well-defined 的完整论证（点击展开）

要证：若 \(\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\)（即 \(a b' = a' b\)）且 \(\frac{c}{d} = \frac{c'}{d'}\)（即 \(c d' = c' d\)），则

\[ \frac{ad + bc}{bd} = \frac{a'd' + b'c'}{b'd'}. \]

按等价关系的定义，上式等价于

\[ b'd'(ad + bc) = bd(a'd' + b'c'). \]

左边展开：\(b'd'ad + b'd'bc = abb'd + bb'd'c\)。利用已知条件 \(ab' = a'b\) 与 \(cd' = c'd\)：

\[ b'd'(ad + bc) = a(b'b d) + b(b'd'c) = a(a'b d) + b(b' c'd) = a'b d \cdot b + b' b \cdot c'd. \]
即左边 \(= a b' \cdot d + b b' \cdot c'\)（整理后）。

右边展开：\(bd(a'd' + b'c') = bda'd' + bdb'c'\)。利用 \(ab' = a'b\)：\(bda'd' = b(a'b)d' = (ab')d'd\)；利用 \(cd' = c'd\)：\(bdb'c' = b b' (c'd)/(d) \cdot d\)……更直接地：

\[ bda'd' + bdb'c' = (ab')d'd + b b'(c'd) = a b' d' d + b b' c' d. \]

把左边 \(= a b' d' d + b b' c' d\)（整理），与右边完全一致。故等价类加法与代表元选取无关。⏱ 32:45

乘法 well-defined 的论证方式完全类似（用 \(ad + bc\) 换成 \(ac\)，交叉相乘后同样可约去），课堂上留给读者自行验证。⏱ 33:07

6\(\operatorname{Frac}(R)\) 是一个域 ⏱ 35:21

在 \(F\) 上定义了（well-defined 的）加法和乘法后，要说明 \(F\) 确实构成一个域。验证要点：

6.1 加法单位元 ⏱ 35:33

\[ 0_F \;=\; \frac{0}{a} \quad (\text{任意 } a \in R^\times). \]
验证：对任意 \(\frac{c}{d} \in F\)，\(\frac{0}{a} + \frac{c}{d} = \frac{0 \cdot d + a c}{a d} = \frac{ac}{ad}\)。而 \(\frac{ac}{ad} \sim \frac{c}{d}\) 因为 \(ac \cdot d = c \cdot ad\)，故和仍回到 \(\frac{c}{d}\)。加法交换使另一侧同样成立。⏱ 37:00

6.2 乘法单位元 ⏱ 37:31

\[ 1_F \;=\; \frac{a}{a} \quad (\text{任意 } a \in R^\times). \]
对任意非零 \(a, b\)，\(\frac{a}{a} \sim \frac{b}{b}\)（因 \(a \cdot b = b \cdot a\)），故 \(\frac{a}{a}\) 的写法唯一对应同一个等价类。验证：\(\frac{a}{a} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{ad} \sim \frac{c}{d}\)（因 \(ac \cdot d = c \cdot ad\)），单位元性质成立。⏱ 38:22
例 · \(\frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \cdots = 1\) ⏱ 38:20 类比 \(\mathbb{Z}\) 中的整数分式：\(\frac{2}{2}\) 与 \(\frac{3}{3}\) 是同一个等价类（\(2 \cdot 3 = 3 \cdot 2\)），即都是乘法单位元 \(1\)。

6.3 非零元的逆元 ⏱ 39:11

设 \(\frac{a}{b} \in F\) 为非零元（即 \(\frac{a}{b} \not\sim \frac{0}{1}\)）。因分母 \(b \in R^\times\) 已保证 \(b \neq 0\)，分式非零还须 \(a \neq 0\)。此时 \(\frac{a}{b}\) 的逆元为

\[ \Bigl( \frac{a}{b} \Bigr)^{-1} \;=\; \frac{b}{a}. \]
验证：\(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{ab}{ba} \sim \frac{a}{a} = 1_F\)（因 \(ab \cdot a = a \cdot ba\)）。故每个非零元都有逆元，\(F\) 是域。⏱ 40:17

小结 ⏱ 40:24 \(F = \operatorname{Frac}(R)\) 是一个带单位元的交换环，且每个非零元都可逆，即 \(F\) 是域；同时 \(R\) 是其（交换）整环子结构。

7标准嵌入与普适性质 ⏱ 40:42

标准嵌入 ⏱ 40:42 定义映射
\[ \varphi: R \longrightarrow \operatorname{Frac}(R), \qquad r \longmapsto \frac{r}{1}. \]
\(\varphi\) 是环的单同态（embedding）：
  • 保持加法：\(\varphi(r_1 + r_2) = \frac{r_1 + r_2}{1} = \frac{r_1 \cdot 1 + 1 \cdot r_2}{1 \cdot 1} = \frac{r_1}{1} + \frac{r_2}{1} = \varphi(r_1) + \varphi(r_2)\)；
  • 保持乘法：\(\varphi(r_1 r_2) = \frac{r_1 r_2}{1} = \frac{r_1}{1} \cdot \frac{r_2}{1} = \varphi(r_1) \varphi(r_2)\)；
  • 单射：\(\varphi(r) = \frac{r}{1} = 0_F = \frac{0}{1}\) 当且仅当 \(r = 0\)（因 \(r \cdot 1 = 1 \cdot 0 = 0\)）。故 \(\ker(\varphi) = \{0\}\)，\(\varphi\) 是单同态。⏱ 41:40
由单同态基本定理，\(R \cong \varphi(R) \subseteq \operatorname{Frac}(R)\)，故可以把 \(R\) 视为 \(\operatorname{Frac}(R)\) 中的一个子环（子结构），且 \(R\) 中原本的加、乘运算在 \(\operatorname{Frac}(R)\) 中完全保持。⏱ 42:58
普适性质 · \(\operatorname{Frac}(R)\) 是「最小」的域 ⏱ 43:20
  • 每个元素形如 \(a/b\)：\(\operatorname{Frac}(R)\) 中任意元素都可写成 \(\frac{a}{b}\)（\(a \in R\)，\(b \in R^\times\)）——这是定义直接给出的；
  • 最小性：\(\operatorname{Frac}(R)\) 是包含 \(R\)（经 \(\varphi\) 嵌入）的最小域——任何包含 \(R\) 的域 \(K\) 都必然包含 \(R\) 中形如 \(a \cdot b^{-1}\) 的「分式」（因域中非零元可逆），而 \(\operatorname{Frac}(R)\) 恰好由这些分式构成；故存在唯一的域嵌入 \(\operatorname{Frac}(R) \hookrightarrow K\) 在 \(\varphi\) 上与之相容。
\(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Q}\)（点击展开）

按上述构造，取 \(R = \mathbb{Z}\)，\(R^\times = \mathbb{Z} \setminus \{0\}\)。则

\[ \operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) = \bigl\{ [m/n] \;\big|\; m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\},\ (m,n) \sim (m',n') \iff mn' = mn' \cdots \text{即 } mn' = m'n \bigr\}. \]
这正是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 的标准定义：\(\mathbb{Q} = \{ m/n \mid m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \}\)，等价关系为 \(m/n = m'/n' \iff mn' = m'n\)。 加法 \(\frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + pn}{nq}\)、乘法 \(\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{mp}{nq}\) 与 \(\mathbb{Q}\) 中通常定义完全一致。故
\[ \operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Q}. \]
标准嵌入 \(\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}\)：\(n \mapsto \frac{n}{1}\)。

8例子与作业 ⏱ 44:13

整区 \(R\)分式域 \(\operatorname{Frac}(R)\)说明
\(\mathbb{Z}\)\(\mathbb{Q}\)有理数域，每个元素 \(m/n\)（\(n \neq 0\)）
\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素）\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 本身有限整环，故已为域，分式域是其自身
\(\mathbb{R}[x]\)（实系数多项式）\(\mathbb{R}(x)\)（有理函数域）元素形如 \(f(x)/g(x)\)，\(f, g \in \mathbb{R}[x]\)，\(g \neq 0\) 多项式 ⏱ 44:53
\(\mathbb{C}[x_1, \dots, x_n]\)\(\mathbb{C}(x_1, \dots, x_n)\)有理函数域（类比推广）
\(M_2(\mathbb{R})\)（二阶实矩阵）—反例：非交换环，且含零因子（奇异矩阵相乘可为零），不是整环，无分式域
\(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)—反例：\(2 \cdot 2 = 0\)（模 4），含零因子，不是整环
例 · \(\mathbb{R}[x]\) 的分式域是有理函数域 ⏱ 44:53 \(\mathbb{R}[x]\) 是带单位元的交换整环（整区），故是整环。其分式域即「\(\mathbb{R}[x]\) 中元素的分式形式」构成的集合，记为 \(\mathbb{R}(x)\)：
\[ \mathbb{R}(x) = \biggl\{ \frac{f(x)}{g(x)} \;\bigg|\; f, g \in \mathbb{R}[x],\; g \text{ 不是零多项式} \biggr\}. \]
这就是高等代数/微积分中熟悉的「有理函数」集合。
作业提示 验证 \(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Q}\)：按等价关系 \(m/n \sim m'/n' \iff mn' = m'n\) 直接对照 \(\mathbb{Q}\) 的定义，并确认加法、乘法一致。下一讲将研究欧氏整区与主理想整区（第 32 讲），进一步刻画整环的结构。

★重点回顾

1
整环（integral domain）：交换、含 \(1\)（\(1 \neq 0\)）且无零因子的环；等价于消去律：\(a \neq 0, ab = ac \Rightarrow b = c\)。例：\(\mathbb{Z}\)、\(\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{R}\)、\(\mathbb{C}\)、\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（\(p\) 素）、\(R[x]\)；反例：\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（\(n\) 合数）含零因子、\(M_n\) 非交换。
2
可除环 / 域：每个非零元可逆的环为可除环；交换的除环为域。概念强度：域 ⊂ 除环 ⊂ 整环 ⊂ 环。四元数环 \(\mathbb{H}\) 是「可除环但不是域」的典型例子。
3
周期元与周期：\(m a = 0\)（\(m\) 个 \(a\) 相加为 0）称 \(a\) 周期元；最小这样的 \(m\) 称周期。例：\(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) 中 \(1\) 的周期为 5。
4
特征（characteristic）：整环若含周期元，则所有元皆为周期元，且共同周期为同一素数 \(p\)，称 \(\operatorname{char}(R) = p\)；若无周期元，则 \(\operatorname{char}(R) = 0\)。证法：取全体周期元周期的最小值 \(P\)，用分配律 + 消去律证 \(P\) 对所有元起作用；用反证（\(P\) 合数分解为 \(m_1 m_2\)）证 \(P\) 必素。
5
有限整环必为域：有限整环中，对任意非零 \(a\)，映射 \(r \mapsto ar\) 单射（消去律）且有限 ⇒ \(aR = R\) ⇒ \(1 \in aR\) ⇒ \(a\) 可逆。
6
分式域构造：在 \(R \times R^\times\) 上定义 \((a,b)\sim(c,d) \iff ad = bc\)（等价关系）；等价类记为 \(\frac{a}{b}\)；加法 \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\)、乘法 \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)；必须验证运算 well-defined（与代表元选取无关）；加法单位元 \(\frac{0}{a}\)、乘法单位元 \(\frac{a}{a}\)、非零元 \(\frac{a}{b}\) 的逆 \(\frac{b}{a}\)。
7
标准嵌入 \(\varphi(r) = \frac{r}{1}\)：是单同态，\(R \cong \varphi(R) \subseteq \operatorname{Frac}(R)\)；普适性质：\(\operatorname{Frac}(R)\) 是包含 \(R\) 的最小域，每个元素形如 \(a/b\)，且任何含 \(R\) 的域都含 \(\operatorname{Frac}(R)\)（在 \(\varphi\) 上相容的嵌入）。
8
典型例子：\(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}\)；\(\operatorname{Frac}(\mathbb{R}[x]) = \mathbb{R}(x)\)（有理函数域）；\(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)（有限域自身）。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆「可除环」与「域」：可除环只要求每个非零元可逆，不要求乘法交换；域 = 交换的可除环。四元数环 \(\mathbb{H}\) 是可除环但不是域，不要因为「都有逆元」就当成域。
  2. 把 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 一律当作整环：仅当 \(n\) 为素数时才是整环（且为域）；\(n\) 为合数时存在零因子（如 \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) 中 \(2 \cdot 2 = 0\)）。
  3. 特征 \(p\) 不等于「环中只有 \(p\) 个元素」：特征是「最小正整数 \(p\) 使 \(p r = 0\) 对所有 \(r\) 成立」，\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 恰好有 \(p\) 个元素是因为它是环 \(\mathbb{Z}\) 模 \(p\) 的剩余类；但特征为 \(p\) 的整环可以有很多个元素（如 \(\mathbb{F}_p[x]\) 是特征 \(p\) 的整环，元素无限多）。
  4. 忘记整环中「周期元必所有元都是周期元」：由分配律 + 消去律可推出，不能只验证某个元是周期元就停在局部。
  5. 分式域运算忘记 well-defined：等价类是「集合」，\(\frac{2}{3}\)、\(\frac{4}{6}\)、\(\frac{8}{12}\) 是同一等价类的不同代表元；必须先证「换代表元结果不变」，否则加法和乘法定义非法。
  6. 分母不能为 0：\(\operatorname{Frac}(R)\) 中分母必须来自 \(R^\times\)（非零元），这是构造一开始就规定的；分母为 0 的「分式」不存在。
  7. 混淆 Frac(R) 与 R 自身：有限整环 \(R\) 已是域，\(\operatorname{Frac}(R) \cong R\)；但一般无限整环（如 \(\mathbb{Z}\)）的 \(\operatorname{Frac}(R)\) 是严格更大的域（如 \(\mathbb{Q}\)）。
  8. 「单同态」漏证：嵌入 \(\varphi(r) = \frac{r}{1}\) 是单同态，要单独证 \(\ker \varphi = \{0\}\)：\(\frac{r}{1} = \frac{0}{1} \iff r \cdot 1 = 1 \cdot 0 = 0 \iff r = 0\)。

✎自测与作业

  1. 判断下列环是否为整环、是否为域，并说明理由：\(\mathbb{Z}\)、\(\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)、\(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\)、\(M_2(\mathbb{R})\)、\(\mathbb{H}\)（四元数环）、\(\mathbb{R}[x]\)、\(\mathbb{C}[x_1, x_2]\)。
  2. 证明：整环 \(R\) 中消去律 \(a \neq 0, ab = ac \Rightarrow b = c\) 等价于「无零因子」（两个方向都要证）。
  3. 设 \(R\) 为整环，元素 \(a\) 的周期为 \(p\)。证明：若 \(m \cdot a = 0\)（\(m > 0\)），则 \(p \mid m\)（提示：用带余除法的 \(m = qp + r\)）。
  4. 证明「有限整环必为域」的定理：对非零元 \(a\)，构造映射 \(r \mapsto ar\)，验证其为单射，再用有限性推出 \(aR = R\)，从而 \(a\) 可逆。
  5. （作业）验证 \(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Q}\)：按定义写出等价关系 \(m/n \sim m'/n' \iff mn' = m'n\)，验证 \(\mathbb{Q}\) 的加法 \(\frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + pn}{nq}\) 与 \(\mathbb{Z}\) 在 \(\mathbb{Q}\) 中的标准嵌入 \(n \mapsto \frac{n}{1}\) 相容。
  6. （作业）验证分式加法 well-defined：设 \(\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\)（即 \(a b' = a' b\)）且 \(\frac{c}{d} = \frac{c'}{d'}\)（即 \(c d' = c' d\)）。证明 \(\frac{ad + bc}{bd} = \frac{a'd' + b'c'}{b'd'}\)，即 \(b'd'(ad + bc) = bd(a'd' + b'c')\)（展开后利用已知等式约简）。乘法 well-defined 用完全类似的方法自证。
下一讲预告 第 30 讲将进入整环的进一步结构；第 32 讲研究欧氏整区与主理想整区，第 34 讲讨论素理想，最终把分式域思想推广到任意整环上的多项式环与分式域扩张。