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◎学习目标
- 理解陪集的引入动机，掌握左陪集 \(aH\) 与右陪集 \(Ha\) 的定义；牢记陪集只是一个集合，不见得是群；
- 会在具体群（如 \(S_3\)）中写出子群的左、右陪集，观察一般情形下 \(aH \neq Ha\)；
- 掌握两个左陪集相等的充要条件 \(aH = bH \iff a^{-1}b \in H\)，并能完整证明（本讲核心，后面常用）；
- 掌握陪集的三个基本性质：各陪集元素个数相同、两个陪集要么相等要么不交、陪集把群划分；
- 理解指数 \([G:H]\) 的定义并会在例子中计算；
- 掌握拉格朗日定理：有限群时 \(|G| = |H|\cdot[G:H]\)，从而子群的阶整除群的阶。
0陪集的引入与定义 ⏱ 00:01
我们已经学过子群的概念。这一讲的想法是：先固定一个子群，然后用它把整个群「切分」开来——这就是陪集要做的事。老师特别提醒：陪集这个概念，不同课本的译名可能不同（若你的课本用了别的叫法，指的是同一个东西）。
- 左陪集 ⏱ 00:35：\[ aH = \{\, ah \mid h \in H \,\}, \] 即 \(a\) 左乘子群 \(H\) 中每个元素所得到的所有乘积组成的集合；
- 右陪集 ⏱ 01:08：\[ Ha = \{\, ha \mid h \in H \,\}, \] 即 \(H\) 中每个元素右乘 \(a\) 所得到的所有乘积组成的集合。
- 定义陪集之前必须先固定一个子群 \(H\)：陪集是「相对于某个子群」而言的。
- 自然的问题（本讲要回答）：这些集合和原来的群 \(G\) 有什么关系？两个陪集什么时候相等？
1例：\(S_3\) 中的左、右陪集 ⏱ 01:31
用前面已经熟悉的例子来看陪集到底长什么样。取 \(S_3\)（6 阶置换群，前面讲过它是非交换群），其元素为
取子群 \(H = \{e, x\}\)（前面已验证 \(H \le S_3\)），来看关于 \(H\) 的左、右陪集。
- 取 \(y\)：\[ yH = \{\, y\cdot e,\ y \cdot x \,\} = \{\, y,\ yx \,\}. \]
- 取 \(y^{2}\)：\[ y^{2}H = \{\, y^{2}\cdot e,\ y^{2}\cdot x \,\} = \{\, y^{2},\ y^{2}x \,\}. \]
- 当然还有 \(eH = H = \{e, x\}\) 本身。
1.1 观察：左陪集与右陪集一般不同 ⏱ 02:34
前面在 \(S_3\) 中已经算过：\(xy \neq yx\)。因此
同一个代表元 \(y\)，左陪集 \(yH\) 和右陪集 \(Hy\) 是不一样的集合。于是就有一个自然的问题：什么条件下左、右陪集是一样的？（本讲暂不回答，后面的讲次会处理。）
另外还可以看到，不同的左陪集之间也可以不同：\(yH \neq y^{2}H\)（对照 \(S_3\) 的元素与关系容易看出两个集合不一样）。⏱ 03:22 这引出第二个自然问题：给你两个（左）陪集，它们什么时候相等？这正是下一节的性质。
2性质1：两个左陪集什么时候相等 ⏱ 04:10
先看左陪集的情形；右陪集的相应结论可以完全类似地推导。
证明（点击展开）· 充要条件，两个方向都证 ⏱ 05:38
方向一（\(\Rightarrow\)）：若 \(aH = bH\)，证明 \(a^{-1}b \in H\)。⏱ 05:44
因为 \(H\) 是子群，单位元 \(e \in H\)，于是可以把 \(b\) 写成
又因为 \(bH = aH\)，所以 \(b \in aH\)，即存在 \(h \in H\) 使得 \(b = ah\)。两边同左乘 \(a^{-1}\)（\(H\) 中元素都有逆元，运算是合法的）：
这正是要证的右边。这里「用 \(e \in H\) 把 \(b\) 装进陪集 \(bH\)」是常用技巧。
方向二（\(\Leftarrow\)）：若 \(a^{-1}b \in H\)，证明 \(aH = bH\)。⏱ 07:29
证明两个集合相等的一般方法：互相包含——先证 \(bH \subseteq aH\)，再证 \(aH \subseteq bH\)。
(i) 证 \(bH \subseteq aH\)：任取 \(h \in H\)，考虑 \(bH\) 中的一般元素 \(bh\)。为了用上条件「\(a^{-1}b \in H\)」，在 \(bh\) 前面「添」一个 \(a^{-1}a = e\)：
由条件 \(a^{-1}b \in H\)，又 \(h \in H\)，而 \(H\) 对乘法封闭，故 \((a^{-1}b)h \in H\)；于是 \(bh = a\cdot\big((a^{-1}b)h\big)\) 具有 \(a \times (\text{\(H\) 中元素})\) 的形式，即 \(bh \in aH\)。由 \(h\) 的任意性，\(bH \subseteq aH\)。
(ii) 证 \(aH \subseteq bH\)：条件里出现的是 \(a^{-1}b\)，而 \(aH\) 的元素形如 \(ah\)，里面只有 \(a\) 没有 \(b\)。所以先做一件事：因为 \(a^{-1}b \in H\) 且 \(H\) 是子群，它的逆元也在 \(H\) 中；由「乘积的逆元 = 逆元反序相乘」（第 1 讲性质 4），
于是对任意 \(h \in H\)，同样地「添」一个 \(b^{-1}b = e\)：
因为 \((b^{-1}a)h \in H\)。故 \(aH \subseteq bH\)。
两个方向合起来即得 \(aH = bH\)。
- 证两个集合相等 \(\to\) 证互相包含；
- 「加加减减」技巧：在乘积中插入 \(a^{-1}a = e\)（或 \(b^{-1}b = e\)），凑出想要的因子（如 \(a^{-1}b\)）再消掉多余的因子；
- 利用 \(e \in H\) 把元素「装进」某个陪集（\(b = be \in bH\)）；
- 利用子群对逆元封闭：\(a^{-1}b \in H \Rightarrow (a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H\)。
3性质2：所有陪集的元素个数相同 ⏱ 12:45
证明（点击展开）· 构造双射 ⏱ 13:23
把 \(a, b \in G\) 固定下来，构造两个陪集之间的映射
注意：这里 \(a, b\) 是固定的，变化的只是 \(h \in H\)（课上老师专门更正了这一点：是「小 \(h\)」在 \(H\) 中变动）。
单射：若 \(\varphi(ah_1) = \varphi(ah_2)\)，即 \(bh_1 = bh_2\)，两边同左乘 \(b^{-1}\) 得 \(h_1 = h_2\)，从而 \(ah_1 = ah_2\)。
满射：\(bH\) 中任一元素 \(bh\) 都是 \(ah \in aH\) 的像。
所以 \(\varphi\) 是一一对应（双射），两个陪集的元素个数相同。由 \(a, b\) 的任意性，每个陪集都与 \(H\) 本身等势。
4性质3：两个陪集要么相等，要么不交 ⏱ 14:38
证明（点击展开）· 用性质1 ⏱ 15:07
设 \(aH \cap bH \neq \varnothing\)，取交集中一个元素 \(g \in aH \cap bH\)。由陪集的定义，存在 \(h_1, h_2 \in H\) 使得
（这就是「交集」的意思：\(aH\) 里的元素形如 \(ah\)，\(bH\) 里的元素形如 \(bh\)，同一个 \(g\) 同时有两种写法。）
在等式 \(ah_1 = bh_2\) 两边同左乘 \(a^{-1}\)、同右乘 \(h_2^{-1}\)：
因为 \(h_1, h_2 \in H\) 且 \(H\) 是子群（对逆元、乘法封闭），\(h_1 h_2^{-1} \in H\)，于是 \(a^{-1}b \in H\)。由性质 1 立刻推出
这是一个非常重要的信息：它说明陪集之间「没有部分重叠」——只要碰上一点，就整个重合。
5陪集分解：陪集把群划分 ⏱ 16:45
陪集分解是前面三个性质的合奏。先一览这三个性质（设 \(G\) 为群，\(H \le G\)，\(a, b \in G\)）：
| 性质 | 结论 | 证明关键 |
|---|---|---|
| 性质 1 ⏱ 04:10 | \(aH = bH \iff a^{-1}b \in H\) | 互相包含；插入 \(a^{-1}a = e\) 凑出 \(a^{-1}b\) |
| 性质 2 ⏱ 12:45 | \(|aH| = |bH| = |H|\) | 双射 \(\varphi(ah) = bh\)（\(a,b\) 固定，\(h\) 变动） |
| 性质 3 ⏱ 14:38 | \(aH \cap bH \neq \varnothing \Rightarrow aH = bH\) | 取 \(g = ah_1 = bh_2\)，得 \(a^{-1}b = h_1h_2^{-1} \in H\)，用性质 1 |
5.1 所有陪集并起来就是整个群
让代表元 \(a\) 取遍大群 \(G\) 的所有元素，把所有陪集并起来：
这是显然的：一方面每个 \(aH \subseteq G\)；另一方面，因为 \(e \in H\)，每个元素 \(a = a e \in aH\) 都出现在某个陪集里，所以并起来一定等于 \(G\)。
5.2 可以写成不相交的并 ⏱ 17:58
上面的并里，\(a\) 取遍 \(G\) 时陪集会大量重复。由性质 3：两个陪集交集非空就完全一样，所以相交的只取一个代表元就好，不相交的都要取进来。于是可以写成
即：\(G\) 可以分解为有限个（或若干个）两两不相交的陪集的并——这就是 \(G\) 关于子群 \(H\) 的陪集分解。陪集把群 \(G\) 整齐地「切」成了大小相同、互不重叠的块。
6指数与拉格朗日定理 ⏱ 19:23
7课堂答疑：\(S_3\) 陪集分解的完整计算 ⏱ 21:26
有同学提问：陪集到底该怎么写？重复出现的陪集怎么处理？老师借 \(S_3\) 的例子把过程完整演示了一遍。
7.1 先列出 \(S_3\) 的全部元素 ⏱ 22:18
并注意与前面讲次一致的记号：\(y^{2}x = xy\)（即 \(y^2H = \{y^2, xy\}\)）。
7.2 用 6 个元素分别作代表元算左陪集
| 代表元 \(a\) | 左陪集 \(aH\) 的计算 | 结果 |
|---|---|---|
| \(e\) | \(eH = \{e, x\}\) | 就是 \(H\) 本身 |
| \(x\) | \(xH = \{x, x^{2}\} = \{x, e\}\) | \(= H\)，重复，不再取 ⏱ 24:03 |
| \(y\) | \(yH = \{y, yx\}\) | 新陪集 |
| \(y^{2}\) | \(y^{2}H = \{y^{2}, y^{2}x\} = \{y^{2}, xy\}\) | 新陪集 |
| \(yx\) | \((yx)H = \{yx, yx^{2}\} = \{yx, y\}\) | \(= yH\)，重复，不再取 |
| \(xy\) | \((xy)H = \{xy, xyx\} = \{xy, y^{2}\}\) | \(= y^{2}H\)，重复，不再取 |
（表中用到 \(x^{2} = e\)，以及由 \(xy = y^{2}x\) 推出的 \(xyx = y^{2}x^{2} = y^{2}\)。）可以看到：6 个代表元算出来的陪集「有很多是一样的」，真正不同的只有 3 个。
7.3 结论与要点
- 陪集分解：\[ S_3 = H \cup yH \cup y^{2}H = \{e,x\} \cup \{y, yx\} \cup \{y^{2}, xy\}, \] 三个陪集两两不交，每个含 2 个元素；\([S_3 : H] = 3\)，\(6 = 2 \times 3\)。
- 要点 ⏱ 24:31：一旦发现 \(a_1H\) 与 \(a_2H\) 是一样的，在并集里只取其中一个代表元就好，不用两个都取——重复了就不用取了。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 把陪集当成群：\(aH\) 只是一个集合；当 \(a \notin H\) 时它连单位元都不含，不构成群。
- 左右陪集不分：非交换群里一般 \(aH \neq Ha\)；性质 \(aH = bH \iff a^{-1}b \in H\) 说的是两个左陪集，右陪集的相应判据是 \(Ha = Hb \iff ab^{-1} \in H\)（类似可推），不要混用。
- 记错判据：是 \(a^{-1}b \in H\)，不是「\(ab \in H\)」也不是「\(b^{-1}a \in H\)」（后者是前者的逆元，判断时方向别搞反）。
- 陪集分解时重复取陪集：两个陪集相等时只取一个代表元（如 \(xH = H\)，算并集时 \(xH\) 就不用再取了）。
- 忽略拉格朗日定理的条件：公式 \(|G| = |H|\cdot[G:H]\) 要求 \(G\) 是有限群。
- 双射证明中搞混变量：映射 \(ah \mapsto bh\) 中 \(a, b\) 是固定的，变动的是 \(h \in H\)；证单射时由 \(bh_1 = bh_2\) 要两边同左乘 \(b^{-1}\) 才能消去 \(b\)。
✎自测与作业
- （课上布置）对 \(S_3\) 的子群 \(H = \{e, x\}\)，把每个元素作为代表元算一遍左陪集（\(xH,\ yH,\ y^{2}H,\ (yx)H,\ (xy)H\) 等），指出哪些陪集相同，并把 \(S_3\) 写成不相交陪集的并。
- （课上布置）对 \(S_3\) 的子群 \(H' = \{e, y, y^{2}\}\) 做同样的事：写出不同的陪集，数出每个陪集的元素个数，观察「陪集等势、要么相等要么不交」。
- 计算指数 \([S_3 : H]\) 与 \([S_3 : H']\)，并用拉格朗日定理验证 \(|S_3| = |H|\cdot[S_3:H]\)。
- 模仿性质 1 的证明，推导右陪集的判据：\(Ha = Hb \iff ab^{-1} \in H\)。
- 补算 \(S_3\) 中 \(H = \{e, x\}\) 的右陪集 \(Hy^{2}\)，并与左陪集 \(y^{2}H\) 比较，再次体会「左、右陪集一般不同」。
- 思考：在 \(S_3\) 中 \(yH \neq Hy\)。子群满足什么条件时，它的左、右陪集都一样？（本讲提出的问题，后续讲次回答。）