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◎学习目标
- 理解域扩张（扩域） \(E \supseteq F\) 的定义：\(F\) 是 \(E\) 的子域；认识 \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) 与 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{R}\) 等例子；
- 掌握有限域 \(\mathbb{F}_q\) 的基本形态：\(q = p^r\)，有限域的元素个数必为素数的幂；
- 区分代数元（algebraic element）与超越元（transcendental element）：\(\alpha\) 是 \(F\) 上代数元 \(\Leftrightarrow\) 存在 \(F\) 上非零多项式 \(f\) 使 \(f(\alpha) = 0\)；
- 掌握单扩张（simple extension） \(F(\alpha)\) 的记号与「\(\alpha\) 为生成元（primitive element）」的含义，会写 \(F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)；
- 理解极小多项式 \(m_{\alpha,F}\)（首一、次数最小的零化多项式）的存在与不可约性，掌握定理 \(F[\alpha] \cong F[x]/(m_{\alpha})\)；
- 掌握向量空间视角：\(E\) 是 \(F\) 上的向量空间，次数 \([E:F]\) 即维数；\([F(\alpha):F] = \deg m_{\alpha,F}\)；
- 了解次数乘法公式 \([K:E][E:F] = [K:F]\)（有限扩张情形）。
1回顾域的定义 · 扩域与子域 ⏱ 00:00
本讲正式进入域论（field theory）。先快速回顾域的定义（前面讲环时已经出现过）。
定义 · 域（field） ⏱ 00:44
一个含幺交换环 \(F\) 若满足「每个非零元都有乘法逆元」，则称 \(F\) 为域。从两个运算的角度看就是三条：
- \((F, +)\) 是（阿贝尔）加法群；
- \((F', \cdot)\)（\(F' = F \setminus \{0\}\)，乘法单位元记为 \(1\)）是交换乘法群；
- 分配律：\((a+b)c = ac + bc\)（\(a, b, c \in F\) 任意）。
1.1 子域与扩域 ⏱ 02:44
定义 · 子域 / 扩域（field extension）
设 \(F \subseteq K\) 且 \(F, K\) 都是域，则称 \(F\) 是 \(K\) 的子域（subfield）；称 \(K\) 是 \(F\) 的扩域（扩张），记作 \(K \supset F\)。
常见例子
- \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)：有理数域 \(\subset\) 实数域 \(\subset\) 复数域；⏱ 04:04
- \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{ a + b\sqrt{2} : a, b \in \mathbb{Q} \}\)：每个元素都可写成 \(a + b\sqrt{2}\)（\(a, b \in \mathbb{Q}\)），它本身是一个域（\(\sqrt{2}\) 是代数元，后面会看到），因此有扩张序列 ⏱ 04:31
\[ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}. \]
例 · 直接验证 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 是域 ⏱ 05:10
不必用代数元理论，可以直接验证：含幺交换环这一条显然成立；关键是每个非零元都有逆元。设 \(a + b\sqrt{2} \neq 0\)（即 \(a, b\) 不全为 \(0\)，\(a, b \in \mathbb{Q}\)），把它「有理化」：
\[ \bigl(a + b\sqrt{2}\bigr) \cdot \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2} = 1, \]
即逆元为
\[ (a + b\sqrt{2})^{-1} = \frac{a}{a^2 - 2b^2} - \frac{b}{a^2 - 2b^2}\,\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}). \]
分母 \(a^2 - 2b^2 \neq 0\)（若为 \(0\) 则 \(a/b = \sqrt{2}\) 为有理数，矛盾），且系数仍是有理数，故逆元仍在 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 中。
本讲路线 ⏱ 07:12
扩域例子 \(\to\) 有限域 \(\mathbb{F}_q\) \(\to\) 代数元 / 超越元 \(\to\) 单扩张 \(F(\alpha)\) 与生成元 \(\to\) 极小多项式与同构定理 \(F[\alpha] \cong F[x]/(m_\alpha)\) \(\to\) 向量空间视角与次数 \([E:F]\) \(\to\) 次数公式与例子。
2有限域 \(\mathbb{F}_q\) ⏱ 07:21
定义 · 有限域 ⏱ 07:27
元素个数有限的域称为有限域。若 \(F\) 是域且 \(|F| < \infty\)，则称 \(F\) 为有限域。
2.1 例子：\(\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) ⏱ 08:04
设 \(p\) 为素数。剩余类环 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 中每个非零元都有逆元（前面已证），故它是一个域，记作 \(\mathbb{F}_p\)，共有 \(p\) 个元素。
2.2 有限域的一般形态 ⏱ 08:46
命题（预告）· 有限域的阶 ⏱ 08:57
若 \(q = p^r\)（\(p\) 为素数，\(r\) 为正整数），则存在恰有 \(q\) 个元素的有限域 \(\mathbb{F}_q\)；反过来，任何有限域的元素个数都必是某个素数的幂。本讲先建立「有限域长什么样」的粗印象，后续章节会给出完整证明。
记号
有限域通常记作 \(\mathbb{F}_q\)（\(q = p^r\)）。例如 \(\mathbb{F}_4\) 有 \(4\) 个元素、\(\mathbb{F}_9\) 有 \(9\) 个元素。
3代数元与超越元 ⏱ 09:40
设 \(K \supset F\) 是一个域扩张。对 \(K\) 中的某个元素 \(\alpha\)，我们关心它「相对于 \(F\) 有多复杂」——是否存在 \(F\) 上的非零多项式以它为根。
定义 · 代数元（algebraic element） ⏱ 10:23
若存在 \(F\) 上的非零多项式 \(f \in F[x]\) 使得 \(f(\alpha) = 0\)，则称 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的代数元。
定义 · 超越元（transcendental element） ⏱ 11:29
若 \(F[x]\) 中不存在任何非零多项式以 \(\alpha\) 为根，则称 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的超越元。
3.1 代数元的例子 ⏱ 13:03
- \(\sqrt{2}\)：在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中存在 \(x^2 - 2\) 以 \(\sqrt{2}\) 为根，故 \(\sqrt{2}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元；⏱ 13:35
- \(\mathrm{i}\)（\(\sqrt{-1}\)）：\(\mathbb{Q}[x]\) 中 \(x^2 + 1\) 以 \(\mathrm{i}\) 为根，故 \(\mathrm{i}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元。
3.2 超越元的例子 ⏱ 14:15
\(\pi\) 和 \(e\) 都是 \(\mathbb{Q}\) 上的超越元（不满足任何有理系数非零多项式）。
小结
代数元与超越元的区分是后续单扩张、极小多项式、次数 \([E:F]\) 等概念的基础。若 \(\alpha\) 是代数元，则 \(F(\alpha)\) 作为 \(F\) 的向量空间是有限维的；若 \(\alpha\) 是超越元，则 \(F(\alpha)\) 与 \(\alpha\) 关于 \(F\) 的多项式环（自由）同构，维数无限。
4单扩张 \(F(\alpha)\) 与生成元 ⏱ 14:46
设 \(K \supset F\) 为域扩张，\(\alpha \in K\)。考虑「包含 \(F\) 和 \(\alpha\) 的最小的域」。
定义 · 单扩张 / 由一个元素生成的扩域 ⏱ 15:13
记 \(F[\alpha]\) 为包含 \(F\) 与 \(\alpha\) 的最小环（即 \(F\) 关于 \(\alpha\) 的多项式环，形如 \(a_0 + a_1\alpha + \cdots + a_n\alpha^n\)，\(a_i \in F\)）。
则 \(F(\alpha)\) 记包含 \(F\) 与 \(\alpha\) 的最小域，即 \(F[\alpha]\) 的分式域（field of fractions of \(F[\alpha]\)）。
\[ F(\alpha) \;=\; \text{包含 } F \text{ 和 } \alpha \text{ 的最小域}. \]
称这种「由添加一个元素生成」的扩张为单扩张（simple extension），称 \(\alpha\) 为 生成元（primitive element，本原元）。⏱ 18:03
推广 · 多个生成元 ⏱ 19:15
若 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \in K\)，则记
\[ F(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) \]
为 \(K\) 中包含 \(F\) 与全部 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 的最小（子）域（加法和乘法仍取自 \(K\)）。
例 · 单扩张
- \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)：有理数域添加 \(\sqrt{2}\) 生成；
- \(\mathbb{Q}(\mathrm{i})\)：有理数域添加虚数单位 \(\mathrm{i}\) 生成；
- \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\)：有理数域同时添加 \(\sqrt{2}\) 与 \(\sqrt{3}\) 生成（双生成元，非单扩张）。
结构与 \(\alpha\) 的类型有关 ⏱ 17:33
\(F(\alpha)\) 与 \(F[\alpha]\) 之间的关系取决于 \(\alpha\) 是代数元还是超越元：
- \(\alpha\) 为超越元：\(F(\alpha) \cong F(x)\)（\(F\) 上 \(x\) 的有理函数域），且 \(F[\alpha] \cong F[\alpha]\)（自由多项式环）；
- \(\alpha\) 为代数元：\(F[\alpha] = F(\alpha)\)（已经是一个域）——下一条定理给出。
5极小多项式与同构定理 ⏱ 20:35
设 \(K \supset F\)，\(\alpha \in K\) 是 \(F\) 上的代数元。在 \(F[x]\) 中所有以 \(\alpha\) 为根的非零多项式中，取次数最小的，并把首项系数化为 \(1\)（乘以首系数的逆），得到唯一的首一、次数最小的多项式。
定义 · 极小多项式（minimal polynomial） ⏱ 21:04
设 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的代数元。满足 \(m_{\alpha,F}(\alpha) = 0\) 的次数最小、首一的 \(F[x]\) 中多项式，称为 \(\alpha\) 关于 \(F\) 的极小多项式（minimal polynomial，亦称最小多项式），记作 \(m_{\alpha,F}\)（或 \(m_\alpha\)）。
\[ m_{\alpha,F} \in F[x], \quad \deg m_{\alpha,F} > 0, \quad m_{\alpha,F}(\alpha) = 0, \quad \text{首项系数 } = 1. \]
命题 · 极小多项式一定不可约 ⏱ 38:10
\(m_{\alpha,F}\) 在 \(F[x]\) 中不可约。
证明（点击展开）
反证：设 \(m_{\alpha,F}\) 可约，则可写为 \(m_{\alpha,F} = gh\)（\(g, h \in F[x]\)，\(\deg g, \deg h < \deg m_{\alpha,F}\) 且都非零）。代入 \(\alpha\)：\(g(\alpha)h(\alpha) = m_{\alpha,F}(\alpha) = 0\)。由于 \(F\) 是域（\(K\) 是整环、无零因子），必有 \(g(\alpha) = 0\) 或 \(h(\alpha) = 0\)；但 \(g, h\) 的次数都严格小于 \(m_{\alpha,F}\)，与 \(m_{\alpha,F}\) 的「次数最小」矛盾。故 \(m_{\alpha,F}\) 不可约。
5.1 同态与核 ⏱ 25:44
定义满同态 \(\varphi: F[x] \to F[\alpha]\)，\(\varphi(f) = f(\alpha)\)（把 \(x\) 换成 \(\alpha\)）。核为
\[ \ker \varphi = \{\, f \in F[x] : f(\alpha) = 0 \,\}. \]
分两种情况：
- \(\ker \varphi = (0)\)：找不到非零多项式以 \(\alpha\) 为根 \(\Rightarrow\) \(\alpha\) 是超越元；由同态基本定理 \(F[x] / (0) \cong F[\alpha]\)；⏱ 27:34
- \(\ker \varphi \neq (0)\)：\(F[x]\) 是主理想整环，\(\ker \varphi\) 由某个多项式生成，且该生成元正是 \(m_{\alpha,F}\)：⏱ 28:37
\[ \ker \varphi = \bigl( m_{\alpha,F} \bigr). \]
5.2 定理：代数元情形下的同构 ⏱ 41:47
定理 ⏱ 42:07
设 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的代数元，极小多项式 \(m_{\alpha,F}\)。则
\[ F[x] \,/\, \bigl(m_{\alpha,F}\bigr) \;\cong\; F(\alpha) \quad (\text{作为域的同构}). \]
且 \(F[\alpha] = F(\alpha)\)（在代数元情形下，「最小环」已经是「最小域」）。
证明思路（点击展开）
- 定义满同态 \(\varphi: F[x] \to F[\alpha]\)，\(\varphi(f) = f(\alpha)\)；
- \(\ker\varphi = (m_{\alpha,F})\)（主理想整环中非零理想由唯一的首一生成元生成，该生成元必为极小多项式）；
- \(m_{\alpha,F}\) 不可约 \(\Rightarrow\) \((m_{\alpha,F})\) 是极大理想 \(\Rightarrow\) 商环 \(F[x]/(m_{\alpha,F})\) 是域；
- 由同态基本定理 \(F[x]/(m_{\alpha,F}) \cong F[\alpha]\)；左边是域，右边也必须是域，故 \(F[\alpha] = F(\alpha)\)。
例 · \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2 - 2)\)
\(\sqrt{2}\) 关于 \(\mathbb{Q}\) 的极小多项式为 \(x^2 - 2\)，于是
\[ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \;\cong\; \mathbb{Q}[x] / (x^2 - 2). \]
5.3 推广到多个代数元 ⏱ 43:01
推论（对 \(n\) 用归纳法）
设 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 都是 \(F\) 上的代数元，则
\[ F[\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n] \;=\; F(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) \]
即多个代数元生成的「最小环」也已是「最小域」。
归纳法证明思路（点击展开）
基础 \(n = 1\)：由上面定理，\(F[\alpha_1] = F(\alpha_1)\)。
归纳假设：设 \(F[\alpha_1, \dots, \alpha_{r-1}] = F(\alpha_1, \dots, \alpha_{r-1})\)。
归纳步：把 \(F[\alpha_1, \dots, \alpha_{r-1}]\) 看作一个新的（域）「基域」，记为 \(E\)。由于 \(\alpha_r\) 也是代数元，由 \(n=1\) 的结论
\[ E[\alpha_r] = E(\alpha_r), \]
而 \(E[\alpha_r] = F[\alpha_1, \dots, \alpha_r]\)，\(E(\alpha_r) = F(\alpha_1, \dots, \alpha_r)\)。故归纳成立。
6向量空间视角 · 次数 \([E:F]\) ⏱ 46:47
核心观察 ⏱ 47:00
设 \(E \supset F\) 为域扩张。把 \(F\) 里的元素当作「标量」、\(E\) 里的元素当作「向量」，则 \(E\) 天然是一个 \(F\) 上的向量空间：
- 加法：\(E\) 作为域的加法；
- 数乘：\(k \in F\)，\(u \in E\)，定义 \(k \cdot u\) 为 \(E\) 中通常的乘法。验证 \((k+\ell)u = ku + \ell u\)、\(k(\ell u) = (k\ell)u\)、\(1 \cdot u = u\) 都成立——因为它们都发生在同一个域 \(E\) 内。
定义 · 扩张次数 / 维数 ⏱ 50:11
把 \(E\) 看作 \(F\) 上的向量空间，其维数记作
\[ [E : F] \;=\; \dim_F E. \]
称之为域扩张 \(E \supset F\) 的次数（degree of the extension）。若 \([E:F] = n < \infty\)，称 \(E\) 为 \(F\) 的有限扩张（finite extension）。
6.1 例子 ⏱ 51:30
例 1 · \([\mathbb{C} : \mathbb{R}] = 2\)
复数域 \(\mathbb{C}\) 作为实数域 \(\mathbb{R}\) 上的向量空间，基为 \(\{1, \mathrm{i}\}\)（每个复数 \(a + b\mathrm{i}\) 唯一写成 \(a \cdot 1 + b \cdot \mathrm{i}\)），故维数（次数）为 \(2\)。
例 2 · \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2\)
每个元素可唯一写成 \(a + b\sqrt{2}\)（\(a, b \in \mathbb{Q}\)），基为 \(\{1, \sqrt{2}\}\)，次数为 \(2\)。
6.2 极小多项式与次数 ⏱ 53:05
定理 · \([F(\alpha) : F] = \deg m_{\alpha,F}\)
设 \(\alpha\) 为 \(F\) 上的代数元，极小多项式 \(m_{\alpha,F}\) 次数为 \(n\)。则 \(F(\alpha)\) 作为 \(F\) 上的向量空间维数恰为 \(n\)，基为
\[ \{\, 1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{n-1} \,\}, \qquad [F(\alpha) : F] = n = \deg m_{\alpha,F}. \]
反之，若 \(F(\alpha)\) 作为 \(F\) 上的向量空间是有限维的，则 \(\alpha\) 必为 \(F\) 上的代数元。
证明：[F(α):F] = deg m_α（点击展开）
（1）生成性：设 \(m_{\alpha,F}(x) = x^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1 x + b_0\)（首一）。代入 \(\alpha\)：
\[ \alpha^n = -b_{n-1}\alpha^{n-1} - \cdots - b_1\alpha - b_0, \]
故 \(\alpha^n\) 可用 \(1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\) 表示。递推下去，\(\alpha^k\)（\(k \ge n\)）都可表示为 \(1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\) 的 \(F\) 线性组合。所以 \(F(\alpha)\) 中每个元素 \(a_0 + a_1\alpha + \cdots\) 都可用 \(1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\) 线性表达。
（2）线性无关性：假设 \(\sum_{i=0}^{n-1} c_i \alpha^i = 0\)（\(c_i \in F\)，不全为 \(0\)），则对应多项式 \(g(x) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i x^i\) 满足 \(g(\alpha) = 0\) 且 \(\deg g \le n-1 < n = \deg m_{\alpha,F}\)，与 \(m_{\alpha,F}\) 的「次数最小」矛盾。故系数必全为 \(0\)，即 \(\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}\) 线性无关。⏱ 57:02
（3）维数：生成且线性无关 \(\Rightarrow\) 基，维数 \(= n\)。
（4）反之：设 \(\dim_F F(\alpha) = n < \infty\)，则 \(1, \alpha, \dots, \alpha^n\) 共 \(n+1\) 个元素必线性相关，存在不全为 \(0\) 的 \(a_0, \dots, a_n \in F\) 使 \(\sum_{i=0}^n a_i \alpha^i = 0\)，即非零多项式 \(h(x) = \sum a_i x^i\) 满足 \(h(\alpha) = 0\)，故 \(\alpha\) 为代数元。
6.3 极小多项式的次数依赖于底域 ⏱ 53:22
例 · 同一个元素在不同底域上极小多项式不同
以 \(\sqrt{2}\) 为例：
- 相对 \(\mathbb{Q}\)：\(m_{\sqrt{2},\,\mathbb{Q}} = x^2 - 2\)，次数 \(2\)；
- 相对 \(\mathbb{R}\)：\(m_{\sqrt{2},\,\mathbb{R}} = x - \sqrt{2}\)，次数 \(1\)（因为 \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) 本身）。
7次数乘法公式与例子 ⏱ 60:00
命题 · 次数乘法公式（有限扩张）
若 \(K \supset E \supset F\) 为域扩张且 \([K:E]\)、\([E:F]\) 都有限，则
\[ [K : F] \;=\; [K : E] \cdot [E : F]. \]
证明思路（点击展开）
设 \(\{e_1, \dots, e_m\}\) 为 \(E\) 作为 \(F\) 的向量空间的一组基（\(m = [E:F]\)），\(\{k_1, \dots, k_n\}\) 为 \(K\) 作为 \(E\) 的向量空间的一组基（\(n = [K:E]\)）。则 \(\{k_i e_j : 1 \le i \le n,\ 1 \le j \le m\}\) 为 \(K\) 作为 \(F\) 的向量空间的一组基（共 \(nm\) 个），故 \([K:F] = n \cdot m = [K:E][E:F]\)。
（有限维数情形；若某段次数为无穷，公式自然约定为无穷。）
例 · \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2\)
基 \(\{1, \sqrt{2}\}\)，次数 \(2\)；
\[ m_{\sqrt{2},\,\mathbb{Q}} = x^2 - 2 \quad (\text{不可约}). \]
例 · \([\mathbb{Q}(\mathrm{i}) : \mathbb{Q}] = 2\)
基 \(\{1, \mathrm{i}\}\)，次数 \(2\)；
\[ m_{\mathrm{i},\,\mathbb{Q}} = x^2 + 1. \]
例 · \([\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) : \mathbb{Q}] = 4\)
先 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)（次数 \(2\)），再 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})\)。因为 \(\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)（若 \(\sqrt{3} = a + b\sqrt{2}\) 平方得 \(3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}\)，故 \(ab = 0\)；\(b=0\) 时 \(3 = a^2\) 矛盾；\(a=0\) 时 \(3 = 2b^2\) 矛盾），故 \(\sqrt{3}\) 关于 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 仍是代数元且极小多项式 \(x^2 - 3\) 次数 \(2\)。由乘法公式 \([\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}] = 2 \cdot 2 = 4\)，基为 \(\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\}\)。
预告 · 本原元素定理 ⏱ 61:30
下一讲将给出：有限可分扩张（finite separable extension）必为单扩张，即存在一个元素（本原元素 primitive element）生成整个扩张。本讲只建立了「单扩张」的框架；本原元素定理把「多生成元」情形收束到「单生成元」，是域论中一个里程碑式的结论。
★重点回顾
1
域扩张（field extension）\(E \supseteq F\)：\(F\) 为 \(E\) 的子域；常见例子 \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)、\(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{R}\)。
2
有限域 \(\mathbb{F}_q\)：\(q = p^r\)（\(p\) 为素数，\(r\) 为正整数）；最简单的有限域 \(\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)。
3
代数元 \(\Leftrightarrow\) 存在 \(F\) 上非零多项式 \(f\) 使 \(f(\alpha)=0\)；超越元 \(\Leftrightarrow\) 不存在这样的多项式（例：\(\pi, e\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的超越元；\(\sqrt{2}, \mathrm{i}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元）。
4
单扩张 \(F(\alpha)\)：由 \(F\) 和 \(\alpha\) 生成的最小域；\(\alpha\) 称为生成元（primitive element）；推广到 \(F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)\)。
5
极小多项式 \(m_{\alpha,F}\)：\(F[x]\) 中零化 \(\alpha\) 的次数最小、首一多项式；必不可约；\(\ker(f \mapsto f(\alpha)) = (m_{\alpha,F})\)。
6
代数元情形：\(F[x]/(m_{\alpha,F}) \cong F(\alpha)\)（域同构），且 \(F[\alpha] = F(\alpha)\)；\(\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}\) 是 \(F(\alpha)\) 作为 \(F\)-向量空间的基，\([F(\alpha):F] = n = \deg m_{\alpha,F}\)。
7
向量空间视角：\(E\) 作为 \(F\)-向量空间，次数 \([E:F] = \dim_F E\)；有限扩张 = 维数有限。
8
次数乘法公式：\(K \supset E \supset F\) 时 \([K:F] = [K:E]\,[E:F]\)（有限维数情形）。
9
例子：\([\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2\)、\([\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2\)、\([\mathbb{Q}(\mathrm{i}):\mathbb{Q}]=2\)、\([\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4\)。
10
预告：本原元素定理——有限可分扩张必为单扩张（由一个元素生成）。
⚠易错点提醒
常见错误
- 混淆「代数元」与「超越元」：判据是「是否存在 \(F\) 上非零多项式以 \(\alpha\) 为零」。零多项式不算——任何 \(\alpha\) 都使 \(0 \cdot \alpha = 0\)。
- 极小多项式必须首一：若只取「次数最小」而忘了首一化，结果不唯一（可以乘以任意非零标量）。一定要乘以首系数的逆，得到首项系数为 \(1\) 的唯一多项式。
- 极小多项式的次数依赖底域：\(m_{\sqrt{2},\,\mathbb{Q}} = x^2-2\)，但 \(m_{\sqrt{2},\,\mathbb{R}} = x-\sqrt{2}\)；写极小多项式时必须同时指明底域。
- \(F[\alpha]\) 与 \(F(\alpha)\) 不同：\(F[\alpha]\) 是最小环（多项式环），\(F(\alpha)\) 是最小域（分式域）。仅当 \(\alpha\) 是代数元时才有 \(F[\alpha] = F(\alpha)\)；超越元时 \(F(\alpha) = F(\alpha)_{\text{frac}}\)，是 \(F[\alpha]\) 的分式域。
- 次数有限 \(\Leftrightarrow\) 代数元：\([F(\alpha):F] < \infty\) 时 \(\alpha\) 必为代数元；反之若 \(\alpha\) 为代数元则 \([F(\alpha):F]\) 有限。两个方向都要记。
- 次数乘法公式只对有限扩张成立：若 \([K:E]\) 或 \([E:F]\) 无穷，则 \([K:F]\) 也无穷，公式意义有限。
- \(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\) 次数是 \(4\) 不是 \(2\)：两个 \(\sqrt{}\) 不能合并成一个生成元（本讲尚未证明本原元素定理；有限可分情形下才是 \(4\)，由本原元素定理生成——下预告）。
- 基的个数 = 次数：\(\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}\) 共 \(n\) 个基，维数 \(n = \deg m_{\alpha,F}\)，不要写多一个 \(\alpha^n\)。
✎自测与作业
- 判断下列元素是否是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元：\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt[3]{2}\)、\(\pi\)、\(e\)、\(2\pi\)；对代数元请写出一个 \(\mathbb{Q}[x]\) 中以其为根的非零多项式。
- 求 \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) 关于 \(\mathbb{Q}\) 的极小多项式 \(m_{\alpha,\mathbb{Q}}\)（提示：设 \(\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3}\)，逐步消去根号），并求 \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}): \mathbb{Q}]\)。
- 证明：若 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元且 \(m_{\alpha,F}\) 次数为 \(n\)，则 \(F(\alpha)\) 作为 \(F\) 上的向量空间维数为 \(n\)，基为 \(\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}\)（即完成「\([F(\alpha):F] = \deg m_{\alpha}\)」的完整证明）。
- 设 \(K \supset E \supset F\) 为域扩张且 \([K:E] = 3\)、\([E:F] = 4\)。利用次数乘法公式求 \([K:F]\)；若 \(E\) 作为 \(F\)-向量空间基为 \(\{e_1, e_2, e_3, e_4\}\)、\(K\) 作为 \(E\)-向量空间基为 \(\{k_1, k_2, k_3\}\)，写出 \(K\) 作为 \(F\)-向量空间的一组基。
- 验证 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 中每个元素可唯一写成 \(a + b\sqrt{2}\)（\(a, b \in \mathbb{Q}\)）；并求 \((a + b\sqrt{2})^{-1}\) 的显式表达（\(a, b\) 不全为 \(0\)）。
- 判断 \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]\) 等于多少；写出 \(\sqrt[3]{2}\) 关于 \(\mathbb{Q}\) 的极小多项式，并说明为什么它的次数为 \(3\)（而不是 \(1\) 或 \(2\)）。
下一讲预告
第 36 讲 · 有限可分扩张与本原元素：有限可分扩张（finite separable extension）必为单扩张（存在本原元素 primitive element 生成整个扩张），即 \([E:F]\) 有限可分时 \(E = F(\theta)\)；共轭共轭（conjugate）根的关系。