第 38 讲 · 分裂域（I）

设 \(\deg f = n\)。若 \(n = 1\)：\(f(x) = x - a\)（\(a \in F\)），本来就有根 \(a\)，情形平凡；因此主要考虑 \(n \ge 2\)（更一般地 \(n>1\)）。⏱ 08:00

1. 商环是域：\(f\) 不可约 \(\Rightarrow\) \((f)\) 是 \(\mathbb{F}_x[x]\) 中的极大理想（前面已证：不可约多项式生成的理想是极大理想），因此商环
   \[ K := \mathbb{F}_x[x]\,/\,(f(x)) \]
   是一个域。⏱ 08:32
2. 元素形式：\(K\) 中的元素都可写成 \(\overline{g(x)}\) 的形式——即 \(\mathbb{F}_x[x]\) 中多项式 \(g(x)\) 在模 \((f)\) 的余类。⏱ 08:54
3. 嵌入 \(F \hookrightarrow K\)：把 \(F\) 中元素 \(a\) 映到余类 \(\overline{a}\)（\(a\) 加上理想 \((f)\)）。可以验证这是一个单同态（单射）：保持加法、乘法是直接的；单射性——若 \(\overline{a} = \overline{b}\)（\(a,b \in F\)），则 \(a-b \in (f)\)，即 \(a-b = f(x)g(x)\)。左边 \(a-b\) 是 \(F\) 中的常数，右边是次数 \(>1\) 的多项式 \(f\) 的倍数，只能是 \(0\)；故 \(a = b\)。⏱ 10:08
4. 把 \(K\) 看作 \(F\) 的扩域：在这个单同态意义下，\(F\) 同构于 \(K\) 的一个子域，于是可以把 \(K\) 直接视为 \(F\) 的扩域（常把 \(F\) 与它在同构像中「等同」起来写）。⏱ 13:08
5. \(\bar{x}\) 是 \(f\) 的根：记 \(\bar{x}\) 为 \(x\) 在 \((f)\) 中的余类。若 \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\)，则在 \(K\) 中把 \(x\) 替换为 \(\bar{x}\)：
   \[ f(\bar{x}) = a_0 + a_1\bar{x} + \cdots + a_n\bar{x}^{\,n}. \]
   其中 \(\bar{x} = x + (f)\)，且 \(f(x) \in (f)\)，故
   \[ f(\bar{x}) = f(x) + (f) = 0 + (f) = 0. \]
   即 \(\bar{x}\) 是 \(f\) 在 \(K\) 中的一个根。⏱ 14:14

于是我们找到了 \(F\) 的一个扩域 \(K\)，使得不可约多项式 \(f\) 在 \(K\) 中至少有一个根（就是 \(\bar{x}\)）。引理证毕。⏱ 17:01

归纳基础（\(n = 1\)）：\(f(x) = x - a\)（\(a \in F\)），它的根 \(a\) 本就在 \(F\) 中，因此包含 \(F\) 与 \(a\) 的最小域就是 \(F\) 本身——一次多项式的分裂域就是 \(F\)。⏱ 19:04

归纳假设：设结论对所有次数 \(\ge 1\) 且 严格小于 \(n\) 的多项式成立（即它们的分裂域都存在）。⏱ 20:24

归纳步骤（\(n\) 次）：考虑次数为 \(n\) 的 \(f\)。若 \(f\) 可约，则 \(f = f_1 f_2\)，其中 \(\deg f_1, \deg f_2 < n\)；对 \(f_1, f_2\) 分别用归纳假设（或逐次处理），即可得到 \(f\) 的分裂域。因此只需处理 \(f\) 不可约的情形：⏱ 21:23

1. 由前面的引理，存在 \(F\) 的扩域 \(K\)，使得 \(f\) 在 \(K\) 中有一个根，记作 \(\alpha_1\)。⏱ 22:19
2. 于是 \(f(x)\) 在 \(K\) 中可写为
   \[ f(x) = (x - \alpha_1)\, q(x), \qquad q(x) \in K[x],\ \deg q = n-1. \]
3. 对 \(q(x)\)（次数 \(n-1 < n\)）应用归纳假设，\(q\) 在 \(K\) 上存在分裂域 \(E\)。由定义，\(E\) 是包含 \(K\) 以及 \(q\) 的所有根 \(\alpha_2, \dots, \alpha_n\) 的最小域，即 \(E = K(\alpha_2, \dots, \alpha_n)\)。⏱ 23:48
4. 由于 \(K\) 包含 \(F\) 与 \(\alpha_1\)，故 \(E = F(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\)，恰好是包含 \(F\) 与 \(f\) 的全部根 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 的最小域。而这 \(n-1\) 个根既是 \(q\) 的根，也是 \(f\) 的根，再加上 \(\alpha_1\) 即全部。

于是 \(E\) 就是 \(f\) 的分裂域。归纳完成：任意次数 \(\ge 1\) 的多项式都存在分裂域。⏱ 25:06

设 \(E = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)\) 与 \(E' = F(\beta_1, \dots, \beta_n)\) 分别为 \(f\) 的两个分裂域（\(\alpha_i\)、\(\beta_i\) 为 \(f\) 的全部根，按某个顺序排列）。证明分「逐次匹配根 + 归纳」两步：

1. 单根匹配：先构造 \(F(\alpha_1) \to F(\beta_1)\) 的（固定 \(F\) 的）同构。设 \(m_\alpha, m_\beta\) 分别是 \(\alpha_1, \beta_1\) 的极小多项式（在 \(F\) 上）。由于 \(f\) 在 \(F\) 上不变，\(m_\alpha\) 与 \(m_\beta\) 都整除 \(f\) 在 \(F\) 上的某个不可约因子；通过把 \(\alpha_1\) 映到 \(\beta_1\)，可以定义 \(\varphi: F(\alpha_1) \to F(\beta_1)\) 使 \(\varphi|_F = \mathrm{id}\)（因为 \(F(\alpha_1) \cong F[x]/(m_\alpha)\)，把 \(x\) 映到 \(\beta_1\) 即得同构）。⏱ 25:52（完整论证在后续讲次展开）
2. 逐层归纳：在已构造的 \(F(\alpha_1, \dots, \alpha_k)\) 与 \(F(\beta_1, \dots, \beta_k)\) 之间的同构 \(\varphi_k\) 上，把剩余多项式 \(\alpha_{k+1}\) 的极小多项式（在 \(F(\alpha_1,\dots,\alpha_k)\) 中）经由 \(\varphi_k\) 拉成 \(\beta_{k+1}\) 的极小多项式，再添加一个根，把同构延拓到 \(F(\alpha_1, \dots, \alpha_{k+1}) \to F(\beta_1, \dots, \beta_{k+1})\)。归纳到 \(k = n\) 即得 \(E \cong_F E'\)。
3. 次数无关：同构 \(\varphi: E \to E'\) 固定 \(F\)，因此把 \(E\) 当作 \(F\)-向量空间时，同构保持维数：⏱ 26:10
   \[ [E : F] = [E' : F]. \]
   而 \([E:F]\) 恰好等于「逐次添加根」过程中每步极小多项式次数之积。若换一种顺序添加根（例如先加 \(\alpha_2\) 再加 \(\alpha_1\)），得到的中间域彼此在 \(F\) 上同构、维数相同，最终得到的分裂域仍满足 \([E:F]\) 不变——这就是「根的添加顺序与扩张次数无关」的唯一性论证。因此无论怎么添加，最终都得到同一个（同构意义下的）分裂域、同一个次数。

（注：本讲录音到此为止，上述「唯一性在 \(F\) 上同构」与「次数无关」的完整证明将在后续相关章节（与伽罗瓦群、扩张次数相关的部分）中展开；本讲确立了命题与目标，并把它放到有限域构造等应用场景中预告。）