抽象代数 · 第41讲 · 域的自同构群与 Galois 群

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◎学习目标

掌握域 \(F\) 的自同构群 \(\operatorname{Aut}(F)\) 的定义与基本性质：\(F\) 上全部自同构在复合下构成群；
理解\(F\)-自同构（限制在子域 \(F\) 上为恒等）的定义，并定义 Galois 群 \(\operatorname{Gal}(K/F)\)；
认识共轭（conjugates）：\(\alpha\) 在 \(F\) 上的共轭是其极小多项式在代数闭包中各不同的根；自同构把 \(\alpha\) 映到它的某个共轭；
理解 Galois 扩张（normal + separable）：\(E\) 是 \(F\) 的分裂域且可分；此时 \(|\operatorname{Gal}(E/F)| = [E:F]\)；
掌握不动域（fixed field）\(E^{G} = \{x \in E \mid \sigma(x) = x,\ \forall \sigma \in G\}\) 的定义；
了解 Galois 对应（Galois 理论基本定理）：中间域与 \(\operatorname{Gal}(E/F)\) 的子群之间建立反序的双射；
通过若干例子（\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)、\(\mathbb{Q}(i)\)、\(\mathbb{Q}(\omega)\)、\(\mathbb{C}/\mathbb{R}\)）动手计算 Galois 群，并验证 \(\mathbb{Q}\) 与 \(\mathbb{R}\) 的自同构群都只有恒等映射。

1回顾与引入：从环的自同构到域的自同构 ⏱ 00:00

今天我们来看域的自同构群和 Galois 群，简单地看它们的定义和几个简单的例子就好。⏱ 00:05

前面学习环的自同构群时，已经知道环的自同构群是怎么定义的。现在把域看作一种特殊的环，自然也可以考虑域的自同构群。⏱ 00:13

本讲路线回顾 \(\operatorname{Aut}(F)\) 的定义 \(\to\) 引入 \(F\)-自同构与 Galois 群 \(\operatorname{Gal}(K/F)\) \(\to\) 多项式的 Galois 群 \(\to\) 共轭 \(\to\) Galois 扩张与 \(\lvert\operatorname{Gal}(E/F)\rvert = [E:F]\) \(\to\) 不动域 \(E^G\) 与 Galois 对应（预告） \(\to\) 具体例子（\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)、\(\mathbb{Q}(i)\)、\(\mathbb{Q}(\omega)\)、\(\mathbb{C}/\mathbb{R}\)），并回顾 \(\mathbb{Q}\) 与 \(\mathbb{R}\) 的自同构群都只有恒等映射。

为什么先看「平凡」的域？在动手算 Galois 群之前，先明确两个基本事实：有理数域 \(\mathbb{Q}\) 的自同构群只有恒等映射；它的扩域实数域 \(\mathbb{R}\) 的自同构群也只有恒等映射。这两个结论在证明 Galois 群「足够多」的时候会反复用到（例如 \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\) 只有共轭一个非平凡 \(R\)-自同构）。

2域的自同构群 \(\operatorname{Aut}(F)\) ⏱ 00:31

我们沿用环上的记号，域 \(F\) 到自身的全部自同构（既保持加法、又保持乘法的同构映射），在复合运算下构成一个群，称为 \(F\) 的自同构群，记作 \(\operatorname{Aut}(F)\)。⏱ 00:40

定义 · 域的自同构群 ⏱ 01:06 \[ \operatorname{Aut}(F) = \{\,\sigma : F \to F \mid \sigma \text{ 是域同构（自同构）}\,\}, \] 在复合运算下构成群（这个群结构比较容易验证：恒等映射是单位元，逆映射满足封闭性）。

特别地，我们要考虑的是一种特别的自同构：限制在某个子域上为恒等映射的自同构。⏱ 01:28

2.1 回顾：\(\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}) = \{1\}\) ⏱ 06:25

我们在前面证明过：有理数域的自同构群只有恒等映射。证明思路（本讲再次梳理）：

设 \(\sigma\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的自同构。因为要保持乘法，考虑 \(1 = 1^2\)，有 \(\sigma(1) = \sigma(1)^2\)，所以 \(\sigma(1) = 1\)；⏱ 07:17
保持加法：\(2 = 1+1\)，故 \(\sigma(2) = 2\)；类似地对任意正整数 \(n\)，\(n = \underbrace{1+\cdots+1}_{n} \)，故 \(\sigma(n) = n\)；⏱ 08:17
\(0\) 必须映到 \(0\)；负整数：\(\sigma(-n) = -\sigma(n) = -n\)；⏱ 09:47
对整数倒数 \(1/n\)：\(\sigma(m) = \sigma(n \cdot \tfrac{m}{n}) = n\,\sigma(\tfrac{m}{n})\)，因为 \(\sigma(m) = m\)，得 \(\sigma(\tfrac{m}{n}) = \tfrac{m}{n}\)；⏱ 11:23
因此对任意 \(r \in \mathbb{Q}\) 都有 \(\sigma(r) = r\)，即 \(\operatorname{Aut}(\mathbb{Q})\) 只有恒等映射。⏱ 12:58

2.2 证明：\(\operatorname{Aut}(\mathbb{R}) = \{1\}\) ⏱ 13:29

证明思路分两步：单调性 + 有理数在实数轴上的稠密性。

关键引理 · 自同构保序 ⏱ 14:34 设 \(\sigma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是实数域的自同构。若 \(x > 0\)，则 \(\sigma(x) > 0\)；若 \(a > b\)，则 \(\sigma(a) > \sigma(b)\)。

证明（点击展开）

若 \(x > 0\)，可写 \(x = (\sqrt{x})^2\)。因为 \(\sigma\) 保持乘法，\(\sigma(x) = \sigma(\sqrt{x})^2\)，它作为实数的平方必然 \(\ge 0\)；又 \(x > 0\)，故 \(\sigma(x) > 0\)。于是若 \(a > b\)，则 \(a - b > 0\)，所以 \(\sigma(a) - \sigma(b) = \sigma(a-b) > 0\)，即 \(\sigma(a) > \sigma(b)\)。⏱ 14:58

现在用反证法：假设 \(\sigma(s) = t \ne s\)，不妨设 \(t > s\)。因为 \(\mathbb{Q}\) 在 \(\mathbb{R}\) 中稠密，存在有理数 \(r\) 满足 \(s < r < t\)。由保序性：\(r - s > 0 \Rightarrow \sigma(r-s) > 0\)；但 \(r\) 是有理数，\(\sigma(r) = r\)，且已假设 \(\sigma(s) = t\)，故 \(r - t > 0\)。这与 \(r < t\) 矛盾。所以 \(t = s\)，即任意实数 \(s\) 都被 \(\sigma\) 映到自身，\(\operatorname{Aut}(\mathbb{R})\) 只有恒等映射。⏱ 17:28

小观察 ⏱ 19:08 这两个结论都是「平凡的自同构群」：\(\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}) = \operatorname{Aut}(\mathbb{R}) = \{1\}\)。它们是后面 Galois 群讨论中反复出现的参照系——一旦基域是 \(\mathbb{Q}\) 或 \(\mathbb{R}\)，自同构的「自由度」就很有限。

3\(F\)-自同构与 Galois 群 \(\operatorname{Gal}(K/F)\) ⏱ 01:33

设 \(K\) 是 \(F\) 的扩域（记作 \(K/F\)，或 \(K \supseteq F\)），考虑大域 \(K\) 上的自同构。要求满足一个额外的条件：限制在子域 \(F\) 上为恒等映射——即把 \(F\) 中的任何一个元素都映到自身。⏱ 02:07

定义 · \(F\)-自同构（F-automorphism） ⏱ 02:25 若 \(\sigma : K \to K\) 是 \(K\) 的自同构，且 \(\sigma\big|_{F} = \mathrm{id}_{F}\)（即 \(\sigma\) 把 \(F\) 中的每个元素都映到它自身），则称 \(\sigma\) 是\(F\)-自同构。

定义 · Galois 群 ⏱ 02:55 扩域 \(K\) 上全体 \(F\)-自同构构成的集合（在复合运算下）构成 \(K\) 的自同构群的一个子群，记作 \[ \operatorname{Gal}(K/F) = \{\,\sigma \in \operatorname{Aut}(K) \mid \sigma\big|_{F} = \mathrm{id}_{F}\,\}. \] 这个群就称为（\(K\) 在 \(F\) 上的）Galois 群。

性质 · \(\operatorname{Gal}(K/F) \le \operatorname{Aut}(K)\) ⏱ 03:42 \(K\) 上全体 \(F\)-自同构构成 \(\operatorname{Aut}(K)\) 的一个子群（验证：恒等映射限制在 \(F\) 上仍是恒等；两个 \(F\)-自同构的复合、逆映射仍限制在 \(F\) 上为恒等）。

3.1 多项式的 Galois 群 ⏱ 04:25

特别地，若 \(K\) 取为 \(F[x]\) 中某个多项式的分裂域，那么对应的 Galois 群 \(\operatorname{Gal}(K/F)\) 就称为这个多项式的 Galois 群。⏱ 05:02

意义 ⏱ 05:41 后面学习 Galois 理论时，会经常用到「多项式对应的 Galois 群」这个对象：它把多项式的根之间的对称结构用群来编码。

折叠：为什么 \(\operatorname{Gal}(K/F)\) 是子群（补充说明）

设 \(\sigma, \tau \in \operatorname{Gal}(K/F)\)。对任意 \(a \in F\)：\((\sigma \circ \tau)(a) = \sigma(\tau(a)) = \sigma(a) = a\)，所以 \(\sigma \circ \tau\) 仍限制在 \(F\) 上为恒等。逆映射同理。恒等映射显然在 \(F\)-自同构集合中。因此这是 \(\operatorname{Aut}(K)\) 的子群。

4多项式的 Galois 群 ⏱ 05:41

回到 \(F[x]\) 中多项式 \(f(x)\) 的分裂域 \(K\)（即 \(K\) 是 \(f\) 在 \(F\) 上代数扩张的分裂域）。那么 \(\operatorname{Gal}(K/F)\) 就称为多项式 \(f\) 的 Galois 群。这是「Galois 群」一词最常用的用法——后面 Galois 理论里几乎所有例子（比如高次方程可解性、\(x^5 - 2\) 的根域等）都会通过「多项式的 Galois 群」来描述。

为什么分裂域？把 \(f\) 的所有根都放在 \(K\) 里后，\(K\) 的自同构「有东西可以动」——每个 \(\sigma \in \operatorname{Gal}(K/F)\) 都会把 \(f\) 的根集合整体置换，从而得到一个 \(\operatorname{Gal}(K/F) \to S_n\)（\(n\) 是 \(f\) 的次数）的群同态。研究这个同态的像与核，就是 Galois 理论核心的一部分（后面会详细展开）。

5共轭（conjugates） ⏱ 05:41

定义 · 共轭 ⏱ 05:41 设 \(\alpha \in K\) 在 \(F\) 上代数，其极小多项式为 \(m_{\alpha}(x) = \prod_{j}(x - \beta_j)\)（\(\beta_j\) 是 \(m_\alpha\) 在代数闭包 \(\overline{F}\) 中不同的根）。这些 \(\beta_j\) 就称为 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的共轭。

性质 · 自同构映到共轭若 \(\sigma \in \operatorname{Gal}(K/F)\)（或更一般地，\(\sigma \in \operatorname{Aut}(K)\) 且 \(\sigma\big|_F = \mathrm{id}\)），则 \(\sigma(\alpha)\) 必是 \(\alpha\) 的某个共轭。换句话说，自同构只能在共轭之间「重新分配」元素，不能跳出极小多项式的根集合。

直观理解：\(\alpha\) 与 \(\sigma(\alpha)\) 满足同一个极小多项式，因此它们「在 \(F\) 看来无法区分」，都是 \(m_\alpha\) 的根。

折叠：共轭与自同构的对应（详细论证）

\(\alpha \in K\) 在 \(F\) 上代数，设 \(m_\alpha(x)\) 是它的极小多项式，\(m_\alpha(\alpha) = 0\)。
对任意 \(\sigma \in \operatorname{Aut}(K)\)（假设 \(\sigma\big|_F = \mathrm{id}\)），把多项式系数用 \(\sigma\) 作用：因为系数在 \(F\) 中、被 \(\sigma\) 固定，得到 \(m_\alpha(\sigma(\alpha)) = \sigma(m_\alpha(\alpha)) = 0\)。即 \(\sigma(\alpha)\) 仍是 \(m_\alpha\) 的根。
因此 \(\sigma(\alpha)\) 是 \(m_\alpha\) 在 \(\overline{F}\) 中的某个根——即 \(\alpha\) 的某个共轭。
反过来，若 \(K\) 是 \(m_\alpha\) 的分裂域（\(K\) 正常且可分），则对每个共轭 \(\beta\)，存在 \(\sigma \in \operatorname{Aut}(K)\)（限制在 \(F\) 上为恒等）使得 \(\sigma(\alpha) = \beta\)。也就是说，「\(F\)-自同构的轨道 = 共轭集合」在分裂域情形是双射的。

总结：共轭是「代数信息」，自同构是「对称操作」；Galois 群在共轭上自由作用——这是 Galois 理论基本定理的核心动机。

6Galois 扩张与 \(\lvert\operatorname{Gal}(E/F)\rvert = [E:F]\)

定义 · Galois 扩张（Galois extension）扩域 \(E/F\) 称为 Galois 扩张，若它同时满足两个条件：

正规（normal）：\(E\) 是 \(F\) 中某个多项式的分裂域（等价：\(E\) 中任何在 \(F\) 上极小多项式有一个根在 \(E\) 内的，则全部根都在 \(E\) 中）；
可分（separable）：\(E\) 中每个元素在 \(F\) 上的极小多项式在 \(\overline{F}\) 中都是单根（即无重根）。

即 \(E/F\) 是分裂域且可分的扩张。

核心公式 · Galois 群阶 = 扩张次数若 \(E/F\) 是有限 Galois 扩张，则 \[ \lvert \operatorname{Gal}(E/F) \rvert = [E : F]. \] 这是 Galois 理论中最基础也最重要的结论之一。

折叠：\(\lvert\operatorname{Gal}(E/F)\rvert = [E:F]\) 在可分分裂域下的论证

设 \(E\) 是 \(F\) 上可分多项式 \(f(x)\) 的分裂域（\(f\) 无重根）。

第一步 · 上界（\(\lvert\operatorname{Gal}(E/F)\rvert \le [E:F]\)）：

把 \(E\) 看成 \(F\)-向量空间，维数 \([E:F]\)。每个 \(\sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)\) 把 \(E\) 映入自身；若 \(\sigma = \mathrm{id}\) 在 \(E\) 上，则它作为 \(F\)-线性映射是零元。由「自同构群 ≤ 域扩张维数对应的映射个数」的一般论证（用极小多项式的根数），可得上界。更严格地，若 \(E\) 是 \(n\) 次可分多项式的分裂域，由可分性每个 \(F\)-嵌入进代数闭包都有不同的像，共 \(n\) 个不同的 \(F\)-嵌入，即 \(\operatorname{Gal}(E/F)\) 最多 \(n\) 个元素。

第二步 · 下界（\(\lvert\operatorname{Gal}(E/F)\rvert \ge [E:F]\)）：

用「正规 + 可分」的关键性质：若 \(E/F\) 是 Galois 扩张，则「\(F\)-嵌入进 \(\overline{F}\)」恰好 \([E:F]\) 个，且每个嵌入的像都落在 \(E\) 中（正规性保证分裂域在共轭嵌入下封闭）。因此 所有 \(F\)-嵌入都是 \(E \to E\) 的自同构，即 \(\operatorname{Hom}_F(E,E) = \operatorname{Gal}(E/F)\)。

关键定理（嵌入计数）：若 \(E\) 是 \(F\) 上 \(n\) 次可分多项式的分裂域，则 \(E\) 到 \(\overline{F}\) 的 \(F\)-嵌入恰好 \(n\) 个（即 \([E:F]\) 个）。

综合两步：\(\lvert\operatorname{Gal}(E/F)\rvert = [E:F]\)。等号成立当且仅当 \(E/F\) 既是可分的、又是正规的——也就是 Galois 扩张。

非可分情形：若 \(E/F\) 不可分，会有重根，嵌入数少于 \([E:F]\)，等式不再成立；这正是「Galois 扩张」定义中把可分性单列出来的原因。

直觉 \([E:F]\) 是「代数层」的信息（扩张的维数）；\(\lvert\operatorname{Gal}(E/F)\rvert\) 是「对称层」的信息（自同构的个数）。Galois 扩张的奇迹：两层信息完全等价——群的大小恰好把扩张的复杂度编码了。非可分扩张则群更小，对称性「退化」。

7不动域 \(E^{G}\) 与 Galois 对应（预告）

定义 · 不动域（fixed field）设 \(G\) 是域 \(E\) 上自同构群。定义 \[ E^{G} = \{\, x \in E \mid \sigma(x) = x,\ \forall \sigma \in G \,\}. \] 即「在 \(G\) 作用下保持不变的所有元素」构成 \(E\) 的子域，称为 \(E\) 关于 \(G\) 的不动域。

性质 · \(E^G\) 是子域，且 \(E/E^G\) 是 Galois 扩张 \(E^G\) 对加法和乘法封闭（因为 \(\sigma, \tau \in G\) 都固定 \(E^G\) 中元素，它们的乘积、和也都被固定）。事实上，\(E/E^G\) 是 Galois 扩张，且 \(\operatorname{Gal}(E/E^G) = G\)。

Galois 理论基本定理（Galois 对应，预告）设 \(E/F\) 是有限 Galois 扩张，\(G = \operatorname{Gal}(E/F)\)。则「\(E\) 与 \(F\) 之间的中间域」和「\(G\) 的子群」之间建立一个反序的双射： \[ \left\{\,F \subseteq K \subseteq E\,\right\} \longleftrightarrow \left\{\,G \supseteq H \supseteq 1\,\right\} \] 对应关系： \[ H = \operatorname{Gal}(E/H), \qquad K = E^{H}. \] 且这个对应是反序的：中间域包含关系越大，对应子群越小；反之亦然。

本讲定位 Galois 理论基本定理是本讲预告/展开的「下一讲核心」。本讲重点是先建立 Galois 群、共轭、不动域这些概念；定理的完整证明（包括对应确实是双射、子群正规性与交换性对应等）会在下一讲系统给出。

8具体例子

8.1 例 1 · \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\)：复数域上的 \(\mathbb{R}\)-自同构群 ⏱ 20:41

\(\mathbb{C}\) 是 \(\mathbb{R}\) 的扩域。考虑 \(\mathbb{C}\) 上全体 \(\mathbb{R}\)-自同构（即限制在 \(\mathbb{R}\) 上为恒等）。

求解 ⏱ 21:35 任意 \(z \in \mathbb{C}\) 可写为 \(a + b i\)（\(a, b \in \mathbb{R}\)）。把 \(\mathbb{C}\) 看成 \(\mathbb{R}\)-向量空间，基为 \(\{1, i\}\)。一个 \(\mathbb{R}\)-自同构 \(\sigma\) 由它在 \(i\) 上的像决定（\(1\) 被固定）。

\(i^2 = -1\) 在 \(\mathbb{R}\) 中，故 \(\sigma(i)^2 = \sigma(i^2) = \sigma(-1) = -1\)；
在 \(\mathbb{C}\) 中 \(\sigma(i)^2 = -1\) 只有两个解：\(\sigma(i) = i\) 或 \(\sigma(i) = -i\)。

因此 \(\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})\) 恰好两个元素：

\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = \{\,\mathrm{id},\ \sigma \}, \qquad \sigma(a+bi) = a - bi.

这是一个 2 阶循环群 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。

8.2 例 2 · \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)

设 \(E = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。元素形如 \(a + b\sqrt{2}\)（\(a, b \in \mathbb{Q}\)），\([E:\mathbb{Q}] = 2\)。

求解一个 \(\mathbb{Q}\)-自同构 \(\sigma\) 由 \(\sigma(\sqrt{2})\) 决定。因为 \((\sqrt{2})^2 = 2\)，有 \(\sigma(\sqrt{2})^2 = 2\)，即 \(\sigma(\sqrt{2})\) 是 \(x^2 - 2\) 在 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 中的根，只能是 \(\sqrt{2}\) 或 \(-\sqrt{2}\)。

\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}) = \{\, \mathrm{id},\ \tau \,\}, \qquad \tau(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}.

2 阶循环群，\(\lvert\operatorname{Gal}\rvert = 2 = [E:\mathbb{Q}]\)——是 Galois 扩张（\(x^2 - 2\) 的分裂域且可分）。

8.3 例 3 · \(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}\)

元素形如 \(a + bi\)（\(a, b \in \mathbb{Q}\)），\([E:\mathbb{Q}] = 2\)。极小多项式 \(x^2 + 1\)，根 \(i, -i\)。

求解 \(\sigma(i) \in \{i, -i\}\)，给出

\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}) = \{\, \mathrm{id},\ \sigma \,\}, \qquad \sigma(a+bi) = a - bi.

2 阶循环群。

8.4 例 4 · \(\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}\)，\(\omega\) 是 \(x^3 - 1\) 的根

\(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\)。取 \(\omega = e^{2\pi i/3}\)（\(\omega^3 = 1\)，\(\omega \ne 1\)），则 \(\mathbb{Q}(\omega)\) 是二次域（\(\omega\) 的极小多项式是 \(x^2 + x + 1\)）。元素形如 \(a + b\omega\)（\(a, b \in \mathbb{Q}\)），\([E:\mathbb{Q}] = 2\)。

求解 \(x^2 + x + 1\) 的根是 \(\omega, \omega^2\)（因为 \(\omega + \omega^2 = -1\)，\(\omega\omega^2 = 1\)）。所以 \(\sigma(\omega) \in \{\omega, \omega^2\}\)：

\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}) = \{\, \mathrm{id},\ \sigma \,\}, \qquad \sigma(\omega) = \omega^2.

2 阶循环群。注意虽然 \(x^3 - 1\) 是三次的，但 \(x^3 - 1\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上因式分解后只剩 \(x^2 + x + 1\) 是极小多项式，所以 \(\mathbb{Q}(\omega)\) 仍是二次域。

例子	\([E:F]\)	\(\lvert\operatorname{Gal}(E/F)\rvert\)	Galois 群	是否 Galois 扩张
\(\mathbb{C}/\mathbb{R}\)	2	2	\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)	是
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)	2	2	\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)	是
\(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}\)	2	2	\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)	是
\(\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}\)	2	2	\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)	是

★重点回顾

\(\operatorname{Aut}(F)\) 是 \(F\) 上全体自同构在复合下的群；\(\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}) = \operatorname{Aut}(\mathbb{R}) = \{1\}\)（由保序性 + 有理数稠密性可证 \(\mathbb{R}\) 平凡）。

\(F\)-自同构：限制在子域 \(F\) 上为恒等的 \(K\)-自同构；全体 \(F\)-自同构构成 Galois 群 \(\operatorname{Gal}(K/F) \le \operatorname{Aut}(K)\)。

若 \(K\) 是 \(f(x) \in F[x]\) 的分裂域，\(\operatorname{Gal}(K/F)\) 称为多项式 \(f\) 的 Galois 群。

共轭：\(\alpha\) 在 \(F\) 上的共轭是 \(m_\alpha\) 在 \(\overline{F}\) 中不同根；自同构把 \(\alpha\) 映到某个共轭；分裂域 + 可分时「\(F\)-自同构的轨道 = 共轭集合」是双射。

Galois 扩张 = 正规 + 可分 = 分裂域 + 可分；此时 \(\lvert\operatorname{Gal}(E/F)\rvert = [E:F]\)。

不动域 \(E^G = \{x \in E \mid \sigma(x) = x,\ \forall \sigma \in G\}\)；Galois 对应（基本定理，预告）：中间域 ↔ \(G\) 的子群（反序双射）。

具体例子：\(\mathbb{C}/\mathbb{R}\)、\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}\)、\(\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}\) 的 Galois 群都是 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。

计算 Galois 群「万能套路」：把 \(E\) 看成 \(F\)-向量空间，基的像决定自同构；每个基元的像必须满足「同一个极小多项式」（落在共轭里）。

⚠易错点提醒

常见错误

把「\(F\)-自同构」与「一般自同构」混淆：\(F\)-自同构必须限制在 \(F\) 上为恒等；\(\operatorname{Gal}(K/F)\) 是 \(\operatorname{Aut}(K)\) 的子群，不是全部。
认为任意 \(\sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)\) 把 \(\alpha\) 映到「任意一个共轭」：实际上 \(\sigma(\alpha)\) 只能是 \(m_\alpha\) 的根之一，不能脱离共轭集合；且并非每个共轭都能被同一个 \(\sigma\) 命中——要看共轭之间的 Galois 群轨道。
在非 Galois 扩张上套用 \(\lvert\operatorname{Gal}\rvert = [E:F]\)：该等式只在「正规 + 可分」（即 Galois 扩张）时成立。例如 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}\) 不可分（其实这里是三次实根，极小多项式三次，但不是可分的分裂域），Gal 群更小。
把 \(x^3 - 1\) 直接当作 \(\mathbb{Q}(\omega)\) 的极小多项式：\(x^3 - 1\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上可分解为 \((x-1)(x^2+x+1)\)，\(\mathbb{Q}(\omega)\) 的极小多项式是 \(x^2 + x + 1\)（二次），所以 \(\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}\) 仍是二次域。
误以为 \(\operatorname{Aut}(\mathbb{R})\) 有非平凡元素：实数域的自同构只有恒等映射（保序 + 有理数稠密性）。
不动域 \(E^G\) 与「\(G\) 的固定域」混淆：\(E^G\) 是域（封闭），而 \(G\) 不是「固定域」，\(G\) 是群——它们是不同层次的物体。
Galois 对应方向搞反：中间域包含关系越大，对应子群越小（反序双射）；不是顺序。

✎自测与作业

设 \(E = \mathbb{Q}(\sqrt{3})\)。写出 \(\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})\) 的全部元素，并验证 \(\lvert\operatorname{Gal}\rvert = [E:\mathbb{Q}]\)。
设 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的极小多项式是 \(m(x) = (x-a)(x-b)(x-c)\)（\(a, b, c\) 不同）。证明对任意 \(\sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)\)（\(E\) 包含 \(a,b,c\)），\(\sigma(\alpha)\) 只能是 \(a, b, c\) 之一。
证明 \(\operatorname{Aut}(\mathbb{R}) = \{1\}\)（使用保序性 + 有理数稠密性的反证法，见第 2.2 节）。
设 \(E = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\)。计算 \([E:\mathbb{Q}]\)，并说明为什么 \(\lvert\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})\rvert \ne [E:\mathbb{Q}]\)（提示：\(E\) 不是 \(\mathbb{Q}\) 的分裂域）。
（作业）设 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\)。计算 \([K:\mathbb{Q}]\) 并求 \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)（提示：考虑基 \(\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\}\)；每个 \(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\) 都可独立变号，共 4 个自同构）。
设 \(G\) 是域 \(E\) 的自同构群，\(H \le G\)。验证 \(E^{H}\) 是 \(E\) 的子域（即对加法、乘法、求逆封闭）。

下一讲预告下一讲将系统给出 Galois 理论基本定理 的完整证明（中间域与 \(\operatorname{Gal}(E/F)\) 子群的对应双射、子群正规性与交换性的对应、以及应用），并给出高次方程可解性的 Galois 判据。