抽象代数 · 课程学习笔记

第 32 讲 · 欧氏整区与主理想整区

Euclidean Domains and Principal Ideal Domains
音频时长 40:02 进度 32 / 38 讲 核心概念：主理想整环 · 欧氏整环 · 高斯整环 Z[i] · 不可约/素元
提示：数学公式渲染组件（KaTeX）加载失败，公式以源码形式显示，不影响阅读内容。联网后刷新即可正常渲染。

☰本讲目录

◎学习目标

  1. 掌握欧氏整环（Euclidean domain）的定义：存在欧氏范数 \(N:R\setminus\{0\}\to\mathbb{N}_0\) 满足带余除法（除法性质），并理解第二个（子乘性）条件的作用；
  2. 会用定义验证 \(\mathbb{Z}\)（范数 = 绝对值）与 \(F[x]\)（范数 = 次数）是欧氏整环；
  3. 掌握高斯整环 \(\mathbb{Z}[i]\) 是欧氏整环的证明：范数取模的平方 \(N(a+bi)=a^2+b^2\)，关键在于把 \(\tfrac{a}{b}\) 四舍五入成整数商 \(q\)；
  4. 理解并会证定理「欧氏整环必为主理想整环（PID）」：取理想中欧氏范数最小的非零元 \(b\)，证明它能生成整个理想；
  5. 认识主理想整环（PID）→ 唯一分解整环（UFD）的链条，并理解不可约元、素元与素理想的关系。

1回顾与引入 ⏱ 00:00

本讲继续学习欧氏整环（欧氏整区）与主理想整环（PID）。

本讲统一设定 本讲考虑的环都是带单位元的交换整环（即整区）。所谓「整环」就是无零因子的交换环：\(ab=0\) 且 \(a\neq0\) 时必有 \(b=0\)。这是本讲所有环需要满足的前提 ⏱ 00:37。
本讲路线 定义欧氏整环（欧氏范数 + 除法性质 + 子乘性条件）\(\to\) 例子 \(\mathbb{Z}\)、\(F[x]\)、\(\mathbb{Z}[i]\) \(\to\) 证明「欧氏整环 ⇒ 主理想整环」\(\to\) 由已知「PID ⇒ UFD」得「欧氏整环 ⇒ UFD」。

2欧氏整环的定义 ⏱ 00:51

欧氏整环是一个推广的概念：它把「整数相除有商有 remainder（余数）」这件事推广到一般的整环 ⏱ 00:58。

定义 · 欧氏整环（Euclidean domain） ⏱ 01:10 设 \(R\) 是整环。若存在一个函数（欧氏范数）
\[ N:R\setminus\{0\}\longrightarrow \mathbb{N}_0 \]
满足以下两个条件，则称 \(R\) 为欧氏整环：
  • 条件 1 · 带余除法（除法性质）：对任意 \(a,b\in R\)（\(b\neq 0\)），存在 \(q,r\in R\)，使得
    \[ a = bq + r, \qquad \text{其中 } r=0 \ \text{或}\ N(r) < N(b). \]
    这里把 \(q\) 称为商，把 \(r\) 称为余数 ⏱ 02:44。
  • 条件 2 · 子乘性（次模性）：对任意非零 \(a,b\in R\)，
    \[ N(a) \le N(ab). \]
    这个条件主要用于保证欧氏算法（求最大公因式）的有效性，防止欧氏范数「不合理地增长」；不同课本对此条件的处理略有差异（有的把它写进定义，有的不作为独立条件） ⏱ 03:12。
关键性质（用于例子的验证） ⏱ 04:30 若欧氏范数取为「模的平方」这类形式，它往往保持乘法：
\[ N(a)\,N(b) = N(ab). \]
有了这个性质，子乘性条件 \(N(a)\le N(ab)\) 就自动成立（因为 \(b\neq0\) 时 \(N(b)\ge 1\)）。
动机 欧氏算法：在高等代数里，我们用过它求两个多项式的最大公因式；更早也用以求两个整数的最大公因式。欧氏整环的定义，正是想把这种「带余相除 + 辗转相除」的算法推广到一般整环 ⏱ 03:48。

3经典例子（一）：\(\mathbb{Z}\) 与 \(F[x]\) ⏱ 04:29

3.1 \(\mathbb{Z}\)：范数取绝对值 ⏱ 04:35

例 1 · 整数环 \(\mathbb{Z}\) 是欧氏整环 取欧氏范数为绝对值：\(N(a)=|a|\)（对 \(a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\)）。
  • 条件 1（带余除法）：整数除法本来就成立——对 \(a,b\in\mathbb{Z}\)（\(b\neq0\)），可写 \(a=bq+r\)，且余数满足 \(|r|\le |b|\)（本取法下可取到 \(|r|<|b|\)），即 \(N(r)\le N(b)\) ⏱ 05:28。
  • 条件 2（子乘性）：对整数有 \(|a|\le |a\,b|\)（因为 \(b\neq0\)，\(b^2\ge1\)，故 \(|ab|\ge|a|\)），显然成立 ⏱ 06:05。
两条件都满足，故 \(\mathbb{Z}\) 是欧氏整环。这也是最简单的例子 ⏱ 06:27。

3.2 \(F[x]\)：范数取多项式次数 ⏱ 06:40

回顾 · 多项式次数 设 \(F\) 是域，\(F[x]\) 是 \(F\) 上的多项式环。多项式 \(f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_n x^n\)（\(a_i\in F\)）的次数通常定义为：
  • 常数多项式（非常零）：次数 \(=0\)；
  • 零多项式：次数规定为 \(-\infty\)；
  • 若 \(a_n\neq0\)：\(\deg f = n\) ⏱ 07:38。
性质：\(\deg(fg)=\deg f+\deg g\)（多项式次数可加） ⏱ 08:48。\(F[x]\) 是带单位元的交换整环 ⏱ 09:01。
例 2 · \(F[x]\) 是欧氏整环 ⏱ 09:17 取欧氏范数为多项式的次数：\(N(f)=\deg f\)（对非常零多项式）。
  • 条件 1：由高等代数的带余除法，对 \(f,g\in F[x]\)（\(g\neq0\)），存在 \(q,r\in F[x]\) 使 \(f=gq+r\)，且 \(r=0\) 或 \(\deg r < \deg g\)，即 \(N(r)⏱ 09:40。
  • 条件 2：由次数可加性，\(\deg f \le \deg(fg)=\deg f+\deg g\)（因为 \(\deg g\ge0\)），显然成立 ⏱ 10:00。
两条件都满足，故 \(F[x]\) 是欧氏整环。后面会有专门的一节再研究 \(F[x]\) ⏱ 11:12。
整环欧氏范数 \(N\)带余除法依据子乘性是否欧氏整环
\(\mathbb{Z}\)\(|a|\)整数除法\(|a|\le|ab|\)是
\(F[x]\)\(\deg f\)多项式带余除法\(\deg f\le\deg(fg)\)是
\(\mathbb{Z}[i]\)\(a^2+b^2\)（模的平方）商的四舍五入（见下节）\(N(a)N(b)=N(ab)\)是

4经典例子（二）：高斯整环 \(\mathbb{Z}[i]\) ⏱ 11:42

相比 \(\mathbb{Z}\) 和 \(F[x]\) 这两个「平凡」的例子，高斯整环是比较有意思的一个新例子。前面（作业里）已证过 \(\mathbb{Z}[i]\) 是整环，现在要证明它其实是欧氏整环 ⏱ 11:53。

定义 · 高斯整环 \(\mathbb{Z}[i]\) ⏱ 12:20 高斯整环记作 \(\mathbb{Z}[i]\)（课本也写作 \(i\mathbb{C}\) 一类形式），它是复平面上形如
\[ \mathbb{Z}[i] = \{\, a+bi \mid a,b\in\mathbb{Z}\,\} \]
的所有元素构成的环，其中 \(a,b\) 都是整数。

取欧氏范数为模的平方：对 \(a=a_1+a_2 i\in\mathbb{Z}[i]\setminus\{0\}\)，

\[ N(a) = a\,\bar{a} = (a_1+a_2 i)(a_1-a_2 i) = a_1^2 + a_2^2. \]
⏱ 14:36 即范数 = 该高斯整数到原点的距离的平方。由复数性质可验证它保持乘法：\(N(a)N(b)=N(ab)\)，因此子乘性条件自动成立（\(b\neq0\) 时 \(N(b)\ge1\)） ⏱ 15:27。

待证目标 ⏱ 17:16 对任意 \(a,b\in\mathbb{Z}[i]\)（\(b\neq0\)），要找出 \(q,r\in\mathbb{Z}[i]\) 使
\[ a = bq + r, \qquad r=0 \ \text{或}\ N(r) < N(b). \]
即验证带余除法（欧氏范数取模平方时，关键就是条件 1）。
Z[i] 是欧氏整环的带余除法（点击展开）

设 \(a=a_1+a_2 i\)，\(b=b_1+b_2 i\)（\(a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{Z}\)，\(b\neq0\)，故 \(b_1,b_2\) 不全为 0，\(b_1^2+b_2^2\neq0\)） ⏱ 18:11。

第一步：算出商 \(g=\dfrac{a}{b}\)（在 \(\mathbb{Q}(i)\) 中）。 对分母有理化（乘以共轭 \(b_1-b_2 i\)） ⏱ 19:18：

\[ g = \frac{a}{b} = \frac{(a_1+a_2 i)(b_1-b_2 i)}{b_1^2+b_2^2} = \frac{(a_1 b_1 + a_2 b_2) + (a_2 b_1 - a_1 b_2)\,i}{b_1^2+b_2^2} =: x + y i, \]
其中
\[ x = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{b_1^2+b_2^2}, \qquad y = \frac{a_2 b_1 - a_1 b_2}{b_1^2+b_2^2} \in \mathbb{Q}. \]
于是 \(a = b\,g = b(x+yi)\) ⏱ 21:42。

第二步：把有理数 \(x,y\) 四舍五入成最接近的整数 \(s,t\)。 取 \(s,t\in\mathbb{Z}\) 为最接近 \(x,y\) 的整数，则

\[ |x-s|\le \tfrac12, \qquad |y-t|\le \tfrac12. \]
记 \(\varepsilon = x-s\)，\(\alpha = y-t\)（\(|\varepsilon|,|\alpha|\le\tfrac12\)），于是 \(x=\varepsilon+s\)，\(y=\alpha+t\) ⏱ 22:05。

第三步：拆出商与余数。 令

\[ q = s + t i \ \in \mathbb{Z}[i], \qquad r = b(\varepsilon + \alpha i). \]
则 \(a = b(x+yi) = b\big((s+\varepsilon)+(t+\alpha)i\big) = b\big((s+ti)+(\varepsilon+\alpha i)\big) = b\,q + b\,\varepsilon i\)（此处 \(\varepsilon i\) 按实虚部分开即为 \(\varepsilon+\alpha i\)），故 \(a = bq + r\)。
  • \(q=s+ti\in\mathbb{Z}[i]\)（\(s,t\) 为整数）；
  • \(r = a-bq\)：因为 \(a\in\mathbb{Z}[i]\)、\(b\in\mathbb{Z}[i]\)、\(q\in\mathbb{Z}[i]\)，所以 \(r=a-bq\in\mathbb{Z}[i]\)（\(\mathbb{Z}[i]\) 对减法封闭）。⏱ 25:55
至此 \(q,r\in\mathbb{Z}[i]\) 已找到，且 \(a=bq+r\)。

第四步：估计余数的范数。

\[ r = a-bq = b\,g - b\,q = b\,(g-q) = b\,(\varepsilon+\alpha i), \]
由范数保持乘法（模的平方）：
\[ N(r) = N(b)\,N(\varepsilon+\alpha i) = N(b)\big(\varepsilon^2+\alpha^2\big) = N(b)\Big(\big(x-s\big)^2+\big(y-t\big)^2\Big) < N(b)\Big(\tfrac14+\tfrac14\Big) = \tfrac12\,N(b) < N(b). \]
即 \(N(r)⏱ 30:00。

条件 1、2 都满足，所以 \(\mathbb{Z}[i]\) 是欧氏整环 ⏱ 32:06。

5定理：欧氏整环 ⇒ 主理想整环 ⏱ 33:00

本讲的核心定理：每一个欧氏整环都是主理想整环（PID，principal ideal domain） ⏱ 33:13。

定义 · 主理想整环（PID） ⏱ 33:25 整环 \(R\) 称为主理想整环，若它的每一个理想都由单个元素生成（即每个理想都是主理想）。要证明 \(R\) 是 PID，只需证：对 \(R\) 的任意理想 \(I\)，存在 \(b\in R\) 使 \(I=(b)\)。
定理 ⏱ 33:35 若 \(R\) 是欧氏整环，则 \(R\) 是主理想整环。
欧氏整环 ⇒ PID 的证明（点击展开）

设 \(R\) 为欧氏整环，\(I\) 为 \(R\) 的一个非零理想（\(I\neq(0)\)） ⏱ 34:08。

① 取「范数最小」的元素。 \(I\subseteq R\)，故 \(I\) 中每个非零元素都有欧氏范数 \(N(\cdot)\in\mathbb{N}_0\)。由自然数良序性，在集合 \(\{N(x): x\in I,\ x\neq0\}\) 中取最小值，对应存在一个非零元素 \(b\in I\)，使得 \(N(b)\) 是 \(I\) 中非零元的最小欧氏范数 ⏱ 34:57。

② 证明 \(I\subseteq(b)\)。 对任意 \(a\in I\)，因 \(R\) 是欧氏整环，由带余除法（除数是 \(b\)）：存在 \(q,r\in R\) 使

\[ a = b\,q + r, \qquad r=0 \ \text{或}\ N(r) < N(b). \]
由于 \(a\in I\)、\(b\in I\)，而 \(I\) 是理想，故 \(b\,q\in I\)，从而
\[ r = a - b\,q \in I \quad (\text{理想对减法封闭}). \]
⏱ 35:32 若 \(r\neq0\)，则 \(r\in I\) 且 \(N(r)最小的非零元矛盾。故必有 \(r=0\)，从而 \(a = b\,q\in(b)\)。

③ 反向包含显然。 \(b\in I\)，故 \((b)\subseteq I\)。

结论：\(I=(b)\)。任意非零理想都是主理想（零理想 \((0)\) 也显然为主理想），故 \(R\) 是主理想整环 ⏱ 38:49。

推论 · 欧氏整环 ⇒ 唯一分解整环 ⏱ 39:00 由上一讲已证「主理想整环一定是唯一分解整环（UFD）」，结合本讲定理得：
\[ \text{欧氏整环} \ \Longrightarrow\ \text{主理想整环 (PID)} \ \Longrightarrow\ \text{唯一分解整环 (UFD)}. \]
即欧氏整环必然是 UFD ⏱ 39:24。
小结 本讲证明了「欧氏整环 ⇒ 主理想整环」，再配合上一讲的「PID ⇒ UFD」，便完成了本讲开头提到的整环包含关系链条：\(\mathbb{Z}\)、\(F[x]\)、\(\mathbb{Z}[i]\) 既是欧氏整环，也都是 PID 与 UFD ⏱ 39:30。

6不可约元、素元与 UFD ⏱ 39:40

为了理解「PID ⇒ UFD」这条链条中各概念的含义，回顾整环中几个基本概念及其关系（上一讲已证 PID⇒UFD，本讲补充定义与关系，供自测与回顾）。

定义 · 不可约元与素元 设 \(R\) 为整环，\(a\in R\) 是非零、非单位的元素：
  • 不可约元（irreducible）：若 \(a=bc\)，则 \(b\) 或 \(c\) 中必有一个是单位；
  • 素元（prime）：若 \(a\mid bc\)，则 \(a\mid b\) 或 \(a\mid c\)。
关系 · 在 PID 中「不可约 ⟺ 素」 素元总是不可约元（一般整环中恒成立）。反过来，在主理想整环中不可约元也是素元。因此在 PID 中，「不可约元」与「素元」是同一个概念。这由「不可约元生成的理想是极大理想，而 PID 中极大理想都是素理想」推出。
定义 · 唯一分解整环（UFD） ⏱ 40:02 整环 \(R\) 称为 UFD，若每个非零非单位元都能写成不可约元（即素元）的有限乘积，且分解在单位元与顺序意义下唯一。包含关系：
\[ \text{欧氏整环} \ \subseteq\ \text{PID} \ \subseteq\ \text{UFD}. \]
注意反向不成立：存在是 UFD 但不是 PID 的整环（例如 \(\mathbb{Z}[x]\)）。

★重点回顾

1
欧氏整环定义：存在欧氏范数 \(N:R\setminus\{0\}\to\mathbb{N}_0\)，满足 (i) 带余除法 \(a=bq+r\)（\(r=0\) 或 \(N(r)
2
\(\mathbb{Z}\) 是欧氏整环：取 \(N(a)=|a|\)；整数带余除法 + \(|a|\le|ab|\)。
3
\(F[x]\) 是欧氏整环：取 \(N(f)=\deg f\)；多项式带余除法 + 次数可加 \(\deg(fg)=\deg f+\deg g\)。零多项式次数规定为 \(-\infty\)。
4
\(\mathbb{Z}[i]\) 是欧氏整环：取 \(N(a+bi)=a^2+b^2\)（模平方，保持乘法）。带余除法的关键：\(g=a/b=x+yi\)，把有理数 \(x,y\) 四舍五入为最近整数 \(s,t\)，令 \(q=s+ti\)，\(r=b(\varepsilon+\alpha i)\)，则 \(N(r)=N(b)(\varepsilon^2+\alpha^2)<\tfrac12 N(b)
5
定理：欧氏整环 ⇒ 主理想整环（PID）：取非零理想 \(I\) 中范数最小的非零元 \(b\)；对任意 \(a\in I\) 用带余除法 \(a=bq+r\)，余数 \(r=a-bq\in I\)；若 \(r\neq0\) 则 \(N(r)
6
链条：欧氏整环 \(\Rightarrow\) PID \(\Rightarrow\) UFD。PID 中「不可约 ⟺ 素」；UFD 中每个非零非单位元可唯一分解为素元（不可约元）的乘积。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆「带余除法的除数」：定义中对任意 \(a,b\)（\(b\neq0\)）存在 \(q,r\) 使 \(a=bq+r\)——被除数是 \(a\)、除数是 \(b\)，范数比较是 \(N(r)
  2. 子乘性条件的取法：\(\mathbb{Z}\) 与 \(\mathbb{Z}[i]\) 中范数取「绝对值 / 模平方」时满足 \(N(a)N(b)=N(ab)\)（乘法保持），此时条件 \(N(a)\le N(ab)\) 自动成立；不要把它当成独立的额外验证。
  3. 高斯整环带余除法的「四舍五入」：商 \(g=a/b=x+yi\) 的 \(x,y\) 是有理数，必须取最接近的整数 \(s,t\) 才能得到 \(q\in\mathbb{Z}[i]\)；直接取 \(q\) 的实、虚部为 \(x,y\) 是不行的（\(x,y\notin\mathbb{Z}\) 一般）。四舍五入后才有 \(|x-s|\le\frac12,|y-t|\le\frac12\)，于是 \(N(r)\le\tfrac12 N(b)\)。
  4. 范数最小元的选取：证明 PID 时取的是理想 \(I\) 中「非零元」范数最小者；零理想 \((0)\) 单独处理（它当然是主理想）。用自然数良序性保证「范数最小」存在。
  5. 余数落在理想里：关键一步是 \(r=a-bq\in I\)，依赖「\(I\) 是理想，对减法封闭」；若忘记说明 \(r\in I\)，就无法用 \(b\) 的最小性推出 \(r=0\)。
  6. 「不可约 ⟺ 素」不是对所有整环成立：只在 PID（及更一般的 UFD）中成立；在一般整环中「素 ⇒ 不可约」恒成立，反向不一定。
  7. 方向别搞反：欧氏整环是 PID，PID 是 UFD；但 UFD 不一定是 PID（如 \(\mathbb{Z}[x]\)），PID 也不一定是欧氏整环（如某些二次整环）。

✎自测与作业

  1. 验证 \(\mathbb{Z}\) 在范数 \(N(a)=|a|\) 下满足欧氏整环的两个条件（带余除法 + 子乘性），并写出 \(a,b\) 的商与余数（整数除法）。
  2. 设 \(F\) 为域，验证 \(F[x]\) 在范数 \(N(f)=\deg f\) 下是欧氏整环：写出带余除法结论，并说明零多项式次数 \(-\infty\) 为何不影响定义。
  3. （核心）完整写出「\(\mathbb{Z}[i]\) 是欧氏整环」的证明：范数取模平方，对 \(a,b\in\mathbb{Z}[i]\)（\(b\neq0\)）取 \(g=a/b\)，四舍五入实虚部得 \(q\)，构造 \(r=b(g-q)\)，并估计 \(N(r)
  4. 证明定理「欧氏整环 ⇒ 主理想整环」：对任意非零理想 \(I\)，取范数最小的非零元 \(b\)，用带余除法说明 \(I=(b)\)。
  5. 说明为何在 PID 中「不可约元 ⟺ 素元」；并举一个是 UFD 但不是 PID 的整环（提示：\(\mathbb{Z}[x]\)）。
  6. （思考）欧氏算法在 \(\mathbb{Z}[i]\) 中如何求两个高斯整数的「最大公因式」？（结合子乘性条件 \(N(a)\le N(ab)\) 与辗转相除说明收敛性。）
下一讲预告 第 33 讲将继续整环与理想理论，结合本讲「欧氏整环 ⇒ PID ⇒ UFD」的链条，进一步研究主理想整环中不可约元与素元的对应以及唯一分解。