第 8 讲 · 同态与同构

任取两个矩阵 \(A, B \in GL_n(\mathbb{R})\)。左边的运算 \(AB\) 来自 \(GL_n(\mathbb{R})\)（矩阵乘法），右边 \(\det A, \det B\) 是 \(\mathbb{R}^{*}\) 中的元素，运算是数的乘法。需要证明

这正是高等代数中行列式的乘法性质。左边从 \(AB\) 出发算到右边，\(AB\) 的运算来自一般线性群，\(\det A\) 与 \(\det B\) 的运算来自非零实数乘法群，一切合理，故 \(\det\) 是群同态。

任取 \(g, k \in G\)。左边的运算 \(gk\) 来自原群 \(G\)，右边是商群中陪集之间的运算。由定义

另一方面，\(\pi(g) = gH\)，\(\pi(k) = kH\)，而在商群中陪集的乘法定义为

于是 \(\pi(gk) = \pi(g)\pi(k)\)，即 \(\pi\) 保持运算，是群同态。

因为 \(e\) 是 \(G_1\) 的单位元，\(e \cdot e = e\)。由 \(f\) 保持运算：

无论 \(f(e)\) 是 \(G_2\) 中的什么元素，它都有逆元。两边同乘 \((f(e))^{-1}\)：左边变成 \(G_2\) 的单位元 \(e'\)，右边剩下 \(f(e)\)，于是

这里只用到了 \(G_1, G_2\) 都是群这一事实。

因为 \(a\) 与 \(a^{-1}\) 互为逆元，\(a\, a^{-1} = e\)。两边取像，由同态保持运算及性质 1：

交换顺序同理可得 \(f(a^{-1})\, f(a) = e'\)。在群 \(G_2\) 中，\(xy = e'\)（且 \(yx = e'\)）即说明 \(x, y\) 互为逆元，故

第一步：证 \(\ker f\) 是子群。用子群判定：任取 \(x, y \in \ker f\)，要证 \(x y^{-1} \in \ker f\)。由定义 \(f(x) = e'\)，\(f(y) = e'\)，于是

其中第二个等号用同态保持运算，第三个等号用上一节的性质 2（逆元的像等于像的逆元），最后「单位元的逆元还是单位元」。故 \(x y^{-1} \in \ker f\)，\(\ker f\) 是 \(G_1\) 的子群。这个「任取两个元素验证 \(xy^{-1}\) 仍在集合中」的方法是证明子群的标准方法。

第二步：证正规性。用正规子群的等价条件：任取 \(g \in G_1\)，\(k \in \ker f\)，要证 \(g k g^{-1} \in \ker f\)（即共轭仍被「吸收」回核中）。直接计算它在 \(f\) 下的像：

故 \(g k g^{-1} \in \ker f\)，\(\ker f \trianglelefteq G_1\)。

任取 \(x, y \in \mathrm{im}\, f\)，要证 \(x y^{-1} \in \mathrm{im}\, f\)。像集中的元素都能找到原像：存在 \(a, b \in G_1\) 使得 \(f(a) = x\)，\(f(b) = y\)。要证 \(x y^{-1}\) 仍在像集中，只需把它也写成「某个元素的像」的形式。利用同态性质：

即 \(x y^{-1}\) 的原像就是 \(a b^{-1}\)，故 \(x y^{-1} \in \mathrm{im}\, f\)，\(\mathrm{im}\, f\) 是 \(G_2\) 的子群。知道它是子群以后，群的一切性质都可以在 \(\mathrm{im}\, f\) 中使用。

（\(\Rightarrow\)）设 \(f\) 是单射。由性质 1，\(f(e) = e'\)，故 \(e \in \ker f\)。又因为 \(f\) 是单射，不可能有两个不同的元素映到同一个元素，所以被映到 \(e'\) 的元素只能有 \(e\) 一个，即 \(\ker f = \{e\}\)。

（\(\Leftarrow\)）设 \(\ker f = \{e\}\)。要证 \(f\) 单，即任取 \(a, b \in G_1\)，若 \(f(a) = f(b)\)，则 \(a = b\)。两边同乘 \(f(b)\) 的逆元（它是 \(G_2\) 中的元素，必有逆元）：

即 \(a b^{-1} \in \ker f\)。但已知 \(\ker f\) 中只有单位元，故 \(a b^{-1} = e\)，从而 \(a = b\)。这就从「像一样」推出了「原像一样」，即 \(f\) 是单射。

按定义需证三件事：保持运算（同态）、单、满。

（1）同态。任取 \(g, h \in G\)，左边

右边

中间用结合律把 \(a^{-1}a = e\) 消掉。两边相等，故 \(\varphi_a(gh) = \varphi_a(g)\varphi_a(h)\)。

（2）单。设 \(\varphi_a(g) = \varphi_a(h)\)，即 \(a g a^{-1} = a h a^{-1}\)。两边同时左乘 \(a^{-1}\)、右乘 \(a\)，立刻得到 \(g = h\)。

（3）满。任给 \(g \in G\)，要找原像。取 \(a^{-1} g a \in G\)，则

所有 \(a\) 都消掉了，故 \(\varphi_a\) 是满的。

综上，\(\varphi_a\) 是 \(G\) 上的自同构。

要证两个群同构，需构造一个既单又满的同态。利用已知的 \(f\)，最自然的对应是定义

下面验证四件事。

（1）定义合理（well-defined）。商群中同一个陪集可能有不同的代表元：设 \(g_1 K = g_2 K\)，需证 \(\bar{f}(g_1 K) = \bar{f}(g_2 K)\)，即 \(f(g_1) = f(g_2)\)。由陪集的性质，\(g_1 K = g_2 K \Longleftrightarrow g_1 g_2^{-1} \in K\)。而 \(K = \ker f\)，故

两边右乘 \(f(g_2)\) 消去，得 \(f(g_1) = f(g_2)\)。定义合理。

（2）单。设 \(\bar{f}(gK) = \bar{f}(hK)\)，即 \(f(g) = f(h)\)。两边同乘 \(f(h)\) 的逆元：

故 \(g h^{-1} \in \ker f = K\)。由陪集的性质，\(g h^{-1} \in K \Longleftrightarrow gK = hK\)。像一样推出原像一样，\(\bar{f}\) 是单的。

（3）满。因为 \(f\) 本身是满同态，\(G_2\) 中任一元素都有 \(G_1\) 中的原像 \(g\)，从而是 \(\bar{f}(gK) = f(g)\)。满射显然。

（4）同态。商群中陪集的乘法为 \((gK)(hK) = (gh)K\)，于是

保持运算。

综上，\(\bar{f}\) 是同构，\(G_1/K \cong G_2\)。

思路（也是证明「商群同构于某群」的通用套路）：找一个从 \(G/H\) 到 \(G/N\) 的满同态，使它的核恰好是 \(N/H\)，再用同态基本定理。

（1）构造满同态。定义

它是满的：\(G/N\) 中任一元素 \(gN\) 的原像就是 \(gH\)（因 \(H \subseteq N\)）。保持运算可直接验证（一行式）：\(f(gH \cdot kH) = f(gkH) = (gk)N = (gN)(kN) = f(gH)f(kH)\)。故 \(f\) 是满同态。

（2）求核。目标商群 \(G/N\) 的单位元是陪集 \(eN = N\)。按核的定义：

由陪集的性质，\(gN = N \Longleftrightarrow g \in N\)，所以

（3）用同态基本定理。\((G/H)/\ker f \cong \mathrm{im}\, f\)，即

同样是「构造满同态、求核、用同态基本定理」。定义

此处定义域 \(K\) 中的元素都是确定的（没有代表元选取问题），故无需验证定义合理。

（1）满。\(KH/H\) 中任一元素形如 \((kh)H\)（\(k \in K, h \in H\)），而 \((kh)H = kH = f(k)\)，故每个元素都有原像，\(f\) 是满的。

（2）同态。任取 \(k_1, k_2 \in K\)：

其中第二步是商群中陪集的乘法。保持运算。

（3）求核。商群 \(KH/H\) 的单位元是 \(eH = H\)。按定义

由陪集的性质，\(kH = H \Longleftrightarrow k \in H\)；又要求 \(k \in K\)，故

（4）用同态基本定理。\(K/\ker f \cong \mathrm{im}\, f\)，而 \(f\) 是满同态，像就是 \(KH/H\)，于是

因为 \(K\) 是 \(G_2\) 的子群，\(G_2\) 的单位元 \(e'\) 必在 \(K\) 中。而 \(\ker f\) 恰为所有被映到 \(e'\) 的元素，即 \(e'\) 的原像集合；既然 \(e' \in K\)，所有映到 \(e'\) 的元素当然都在 \(f^{-1}(K)\) 中，故 \(\ker f \subseteq f^{-1}(K)\)。这由群的基本定义即可看出。