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◎学习目标
- 回顾上一讲陪集的四条基本性质，会用 \(S_3\) 的例子把陪集分解完整写出来；
- 掌握子群指数 \([G:H]\) 的定义，理解它与左、右陪集个数无关；
- 掌握计数公式 \(|G| = |H|\,[G:H]\) 与拉格朗日定理（子群的阶整除群的阶）及其证明；
- 会用拉格朗日定理推出：元素的阶整除群的阶、\(a^{|G|} = e\)、素数阶群是循环群；
- 知道左陪集集合与右陪集集合之间有一一对应 \(aH \mapsto Ha^{-1}\)，但一般 \(aH \neq Ha\)；
- 理解关系、等价关系、等价类、划分的概念，知道陪集分解是「等价关系决定划分」的一个特例。
0回顾：陪集的基本性质 ⏱ 00:00
上一讲引入了陪集：设 \(G\) 为群，\(H \le G\) 是子群，\(a \in G\)，左陪集 \(aH = \{ ah \mid h \in H \}\)。注意：陪集本身不见得是子群，但我们总可以把它当作集合来研究。上一讲证明了四条基本性质（本讲统一用左陪集叙述）：
- 相等判据：两个左陪集 \(aH = bH\) 当且仅当 \(a^{-1}b \in H\)。这个判据后面会经常用。
- 等势：任意两个左陪集作为集合的元素个数都一样——可以显式构造一个一一映射（双射）。
- 交非空则相等：固定子群 \(H\) 以后，两个左陪集若交集非空，则这两个集合相等。
- 不相交并分解：从而 \(G\) 可以写成一些两两不相交的左陪集的并。
0.1 例子：把 \(S_3\) 的陪集分解完整写出来 ⏱ 01:29
上一讲留过写例子的作业，这里把它完整写出。沿用三次对称群 \(S_3 = \{ e, x, y, y^{2}, xy, yx \}\)（其中 \(x^2 = e\)，\(y^3 = e\)，且 \(xy = y^{2}x\)），固定子群 \(H = \{ e, x \}\)。把 \(S_3\) 的六个元素分别作为代表元，写出全部左陪集：
| 代表元 \(a\) | 左陪集 \(aH\) | 元素 | 与哪个陪集相同 |
|---|---|---|---|
| \(e\) | \(eH = H\) | \(\{e, x\}\) | — |
| \(x\) | \(xH\) | \(\{x, e\}\) | \(= H\) |
| \(y\) | \(yH\) | \(\{y, yx\}\) | — |
| \(yx\) | \(yxH\) | \(\{yx, y\}\) | \(= yH\) |
| \(y^{2}\) | \(y^{2}H\) | \(\{y^{2}, xy\}\) | — |
| \(xy\) | \(xyH\) | \(\{xy, y^{2}\}\) | \(= y^{2}H\) |
- 六个陪集中只有三个是不同的：\(H = xH\)，\(yH = yxH\)，\(y^{2}H = xyH\)。
- 要把 \(S_3\) 写成陪集的并时，重复的只写一个：取每个等价陪集的一个代表元即可。
- 每个陪集都有 \(2\) 个元素，\(S_3\) 有 \(6\) 个元素，于是
\[ S_3 = H \;\sqcup\; yH \;\sqcup\; y^{2}H, \qquad 6 = 2 \times 3. \]这里 \(\sqcup\) 表示不相交的并。若两个陪集交集为空则互不相交；若交集不空则二者相等——所以总能写成不相交的并。
- 上面写的全部是左陪集；把左陪集全部换成右陪集，可以推出完全平行的结论。
1指数与计数公式 ⏱ 02:57
1.1 指数的简单求法 ⏱ 03:16
对有限群，指数有一个很简单的求法：\(|S_3| = 6\)，\(|H| = 2\)，而每个陪集的元素个数都等于 \(|H| = 2\)，所以陪集的个数就是
后面我们会用更一般的方式（计数公式）看出这一点。
1.2 计数公式（counting formula）⏱ 04:22
2拉格朗日定理 ⏱ 05:22
证明（点击展开）
由计数公式，\(|G| = |H| \cdot [G:H]\)。因为 \(G\) 有限，\([G:H]\) 是正整数，所以 \(|H|\) 是 \(|G|\) 的一个因子，且商恰好是指数 \([G:H]\)。
换句话说：有限群的子群的阶，一定是这个群的阶的因子。这是研究群的结构时非常好用的结论。
3左陪集与右陪集 ⏱ 07:12
前面所有结论都是用左陪集的形式写的。若把全部左陪集换成右陪集（\(Ha = \{ ha \mid h \in H \}\)），这些结论全部平行成立。进一步：
- 正因为左右陪集个数相同，定义指数 \([G:H]\) 时不必担心「到底是左陪集的个数还是右陪集的个数」——两者一样。
- 本讲所有推导都用左陪集来写；用右陪集可得到完全平行的结论。
4拉格朗日定理的推论 ⏱ 09:19
拉格朗日定理除了限制子群阶数的可能性，还能直接推出关于群中元素阶的几个好用结论。设以下 \(G\) 均为有限群。
4.1 推论一：元素的阶整除群的阶 ⏱ 09:19
证明（点击展开）
考虑由 \(a\) 生成的循环子群
循环群 \(\langle a \rangle\) 的阶等于其生成元的阶，即 \(|\langle a \rangle| = o(a)\)（元素列到 \(a^{o(a)} = e\) 就开始重复）。对子群 \(\langle a \rangle \le G\) 应用拉格朗日定理：
4.2 推论二：\(a^{|G|} = e\) ⏱ 11:58
证明（点击展开）
由推论 1，\(o(a)\) 是 \(|G|\) 的因子，故存在自然数 \(k\) 使得 \(|G| = o(a) \cdot k\)。于是
其中用到：\(a^{o(a)} = e\)，而单位元无论自乘多少次仍是单位元。这里 \(a^{n}\)（\(n\) 为正整数）就是 \(n\) 个 \(a\) 相乘，第一讲已定义过。
4.3 推论三：素数阶群是循环群 ⏱ 13:34
证明（点击展开）
思路：要证一个群是循环群，只需找到一个元素，它生成的子群与原群一样大（即生成元的阶等于群的阶）。
因为 \(p\) 是素数，\(p > 1\)，所以 \(G\) 中除单位元外还有其他元素。任取 \(a \in G\)，\(a \neq e\)，则 \(o(a) \neq 1\)。由推论 1，\(o(a)\) 是 \(|G| = p\) 的因子；而素数 \(p\) 的因子只有 \(1\) 和 \(p\)，故
于是 \(\langle a \rangle = \{ e, a, a^{2}, \dots, a^{p-1} \}\) 恰有 \(p\) 个元素，且全部属于 \(G\)；而 \(|G| = p\)，所以
即 \(G\) 是由 \(a\) 生成的循环群。
这个结论以后可以直接使用：由拉格朗日定理的推论立即得到「素数阶群必为循环群」。
5等价关系 ⏱ 16:36
回到上一讲有同学提出的问题：为什么陪集分解能写成那个样子？我们在例子里看到「两个陪集交集非空则相等」，这其实有一个更广的结论：陪集相等这件事，本质上是群上的一个等价关系；只要在集合上定义了等价关系，都有类似的结论。这部分内容在课本的 1.3 节，可以自己回头看一下；课上很快地过一遍。
5.1 关系的定义 ⏱ 17:56
- \(H\) 本身就是 \(eH\)，而 \(eH = xH\)，所以 \(e \,R\, x\)；
- 因为 \(yH = yxH\)，所以 \(y \,R\, (yx)\)；
- 因为 \(y^{2}H = xyH\)，所以 \(y^{2} \,R\, (xy)\)。
5.2 等价关系的定义与验证 ⏱ 22:20
- 自反性：对任意 \(a \in A\)，\(a \sim a\)；
- 对称性：若 \(a \sim b\)，则 \(b \sim a\)；
- 传递性：若 \(a \sim b\) 且 \(b \sim c\)，则 \(a \sim c\)。
验证：陪集关系是等价关系（点击展开）
对 \(G\) 上的关系 \(a \,R\, b \Leftrightarrow aH = bH\)：
- 自反性：任何 \(a \in G\)，\(aH = aH\) 显然成立，故 \(a \,R\, a\)。
- 对称性：若 \(a \,R\, b\)，即 \(aH = bH\)，则当然 \(bH = aH\)，即 \(b \,R\, a\)。
- 传递性：若 \(a \,R\, b\) 且 \(b \,R\, c\)，即 \(aH = bH\)、\(bH = cH\)，则作为集合 \(aH = cH\)，即 \(a \,R\, c\)。
三条全部满足，所以陪集关系是 \(G\) 上的等价关系。等价关系习惯用波浪号 \(\sim\) 表示。
6等价类与划分 ⏱ 24:56
6.1 等价类
- \([e] = \{\, g \in S_3 \mid gH = eH \,\}\)。把 \(S_3\) 的元素逐一代入，满足 \(gH = eH\) 的只有 \(e\) 和 \(x\)，故 \([e] = \{ e, x \}\)；
- \([y] = \{ y, yx \}\)（因为 \(yH = yxH\)）；
- \([y^{2}] = \{ y^{2}, xy \}\)（因为 \(y^{2}H = xyH\)）。
6.2 交集非空的两个等价类相等 ⏱ 27:00
证明（点击展开）
设 \([a] \cap [b] \neq \varnothing\)，任取 \(p \in [a] \cap [b]\)。由等价类的定义：
由对称性，\(p \sim b\) 给出 \(b \sim p\)；再由传递性，\(b \sim p\) 与 \(p \sim a\) 合起来给出
现在任取 \(x \in [a]\)，则 \(x \sim a\)；由 \(b \sim a\) 及对称性得 \(a \sim b\)，再用传递性得 \(x \sim b\)，即 \(x \in [b]\)。所以
另一个方向 \([b] \subseteq [a]\) 完全类似，自己证明即可（要证两个集合相等，标准做法就是互相包含）。于是 \([a] = [b]\)。
从而：不同的等价类两两不相交。把所有不同的等价类放在一起，原集合就分解为不相交的并：
其中 \(a_i\) 取遍各等价类的一个代表元——同一个等价类只取一个元素。就像前面写的：\(e\) 的等价类、\(y\) 的等价类、\(y^{2}\) 的等价类，各取一个代表即可。
6.3 划分（partition）⏱ 31:37
6.4 等价关系与划分的一一对应（了解）⏱ 32:22
- 给定等价关系：所有等价类构成 \(A\) 的一个划分（每个等价类是划分中的一块）；
- 反过来，给定划分：规定「两个元素在同一块中」就相关，便得到 \(A\) 上的一个等价关系。
我们之前为了得到拉格朗日定理而做的「群关于子群的陪集分解」，只是这个一般结论的一个特殊情况。这部分课上过得比较快，作为了解即可——重点是知道陪集分解背后有更广的结论。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 混淆指数与阶：\([G:H]\) 是「陪集的个数」，\(|H|\) 是「子群的元素个数」；三者关系是 \(|G| = |H| \cdot [G:H]\)。例：\([S_3:H] = 3\) 而不是 \(2\)。
- 默认 \(aH = Ha\)：左右陪集个数总是相等，但作为集合一般不相同，不能随意互换；本讲所有等式都是按同一侧陪集写的。
- 把拉格朗日定理当充要条件：定理只说「子群的阶必须是群阶的因子」，这是必要条件；不要反过来由「整除」直接断言该阶子群一定存在（本讲未讨论逆命题）。
- 混淆群的阶与元素的阶：\(|G|\) 是群的元素总数，\(o(a)\) 是使 \(a^n = e\) 的最小正整数；\(a^{|G|} = e\) 中的指数是群的阶。
- 证明素数阶群是循环群时，忘记排除单位元：必须取 \(a \neq e\)，才有 \(o(a) \neq 1\)，从而 \(o(a) = p\)。
- 写陪集分解时把相同的陪集重复写进去：同一个等价类（陪集）只取一个代表元，如 \(eH = xH\) 只写一个。
✎自测与作业
- 对 \(S_3\)、\(H = \{e, x\}\)，写出全部右陪集 \(H, Hx, Hy, Hy^{2}, Hyx, Hxy\)，并验证左、右陪集集合之间的一一对应 \(aH \mapsto Ha^{-1}\)。
- 设 \(G = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)（加法群），\(H = \{0, 3\}\)。写出 \(H\) 的所有陪集，求 \([G:H]\)，并验证计数公式 \(|G| = |H|\,[G:H]\)。
- 验证：模 \(n\) 同余（\(a \equiv b \pmod n\)）是 \(\mathbb{Z}\) 上的等价关系（逐条检查自反、对称、传递）。
- 补全本讲命题的另一半：设 \(\sim\) 是 \(A\) 上的等价关系，若 \([a] \cap [b] \neq \varnothing\)，证明 \([b] \subseteq [a]\)，从而 \([a] = [b]\)。
- 用拉格朗日定理说明：12 阶群不可能有 5 阶子群，也不可能有 7 阶的元素。
- 独立完整写出证明：若 \(|G| = p\) 为素数，则 \(G\) 是循环群。
- （预习）结合推论 \(a^{|G|} = e\)，想一想如何证明数论中的欧拉定理。