抽象代数 · 课程学习笔记

第 39 讲 · 分裂域（II）

Splitting Fields (II)
音频时长 36:17 进度 39 / 38 讲 核心概念：分裂域唯一性 · 域同构延拓 · 不可约性传递 · 归纳论证
提示：数学公式渲染组件（KaTeX）加载失败，公式以源码形式显示，不影响阅读内容。联网后刷新即可正常渲染。

☰本讲目录

◎学习目标

  1. 掌握伴随多项式（image polynomial）记号：若 \(\varphi: E \to F\) 为域同构，\(p(x) \in E[x]\)，则 \(p^\varphi(x)\) 表示把 \(p\) 的系数经 \(\varphi\) 映到 \(F\) 后得到的 \(F\) 上多项式；
  2. 证明引理：设 \(\varphi: E \to F\) 为域同构，\(\alpha\) 是 \(E\) 上的代数元、最小多项式 \(p(x)\)；若 \(\beta\) 是 \(p^\varphi\) 的一个根，则 \(\varphi\) 可唯一地延拓为 \(\overline{\varphi} : E(\alpha) \to F(\beta)\) 的域同构，满足 \(\overline{\varphi}(\alpha) = \beta\)；
  3. 掌握定理：设 \(K\) 是 \(p\)（\(E\) 上）的分裂域，\(L\) 是 \(p^\varphi\)（\(F\) 上）的分裂域，则 \(\varphi\) 可延拓为 \(K \to L\) 的域同构；
  4. 会归纳法证明该定理：在 \(E(\alpha), F(\beta)\) 上用引理降一次次数，剩下的低次部分（\(\bar p, \bar q\)）的分裂域之间再用归纳假设；
  5. 推导分裂域的唯一性（同构意义下）：取 \(\varphi = \mathrm{id}_F\)，则 \(p\) 的任意两个分裂域 \(K, L\) 之间必存在 \(F\)-同构；
  6. 会用「不可约性传递」排除归纳证明中 \(p\) 在 \(E\) 上可约的情形；
  7. 了解有限域存在性/唯一性结论（给定 \(q\) 与次数 \(n\) 存在唯一的含 \(q^n\) 个元素的有限域，本讲开头提到「后面会用到」），并记住 Galois 群相关内容（自同构个数、\(\mathrm{Gal}(E/F)\)）将在后续讲解（Galois 理论）中展开。

1本讲任务：分裂域的唯一性 ⏱ 00:00

本讲接着「分裂域 (i)」的内容。上一讲我们证明了多项式分裂域的存在性；本讲要证明它的唯一性——「同构意义下唯一」。⏱ 00:45

目标陈述 设 \(p(x)\) 是域 \(F\) 上的多项式，\(K\) 与 \(L\) 都是 \(p\) 在 \(F\) 上的分裂域。要证明：存在唯一的域同构 \(\varphi: K \to L\)，使其在 \(F\) 上为恒等映射（即对 \(F\) 中所有元素保持不动，把 \(F\) 映到自身）。
本讲路线 有限域存在性/唯一性预告（后续用到）\(\to\) 证明引理：域同构可延拓到单扩张 \(\to\) 证明定理：同构可延拓到两个分裂域之间（对多项式次数归纳）\(\to\) 取特例 \(\varphi = \mathrm{id}_F\)，得到「分裂域同构意义下唯一」的结论。
预告 · 有限域的唯一性 ⏱ 00:25 给定一个素数 \(p\) 与正整数 \(n\)，存在唯一的含 \(p^n\) 个元素、特征为 \(p\) 的有限域——即 \(F\) 上次数为 \(n\) 的多项式分裂域。课程后面会反复用到这一结论（研究有限域与 \(F_q\) 的自同构、Galois 群时）。

2引理：域同构的延拓（单扩张） ⏱ 02:18

证明分裂域唯一性之前，先证明一个更一般的技术引理。本讲反复使用「伴随多项式」记号，先把它写清楚。

记号 · 伴随多项式（image polynomial） ⏱ 03:30 设 \(\varphi: E \to F\) 是域同构，\(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \in E[x]\)。定义
\[ p^\varphi(x) := \varphi(a_0) + \varphi(a_1) x + \cdots + \varphi(a_n) x^n \ \in F[x]. \]
即「把系数逐一经 \(\varphi\) 映过去、变量 \(x\) 保持不变」。
引理（域同构的延拓） ⏱ 04:34 设 \(\varphi: E \to F\) 为域同构；\(\alpha\) 是 \(E\) 上的代数元，其最小多项式为 \(p(x) \in E[x]\)。令 \(q(x) = p^\varphi \in F[x]\)，并设 \(\beta\) 是 \(q\) 在 \(F\) 上的一个根。则 \(\varphi\) 可唯一地延拓为域同构
\[ \overline{\varphi} : E(\alpha) \longrightarrow F(\beta), \qquad \overline{\varphi}(\alpha) = \beta, \] 且限制到 \(E\) 上仍为原来的 \(\varphi\)（即在 \(E\) 上 \(\overline{\varphi} = \varphi\)）。
直观理解 一开始你只有两个「系数域」\(E, F\) 之间的同构 \(\varphi\)；现在两边各自加上一个「本源元」（左边 \(\alpha\)，右边 \(\beta\)），且 \(\alpha\) 的最小多项式映到右边恰好是 \(\beta\) 的最小多项式——那么这个同构可以「延长一步」，把 \(\alpha\) 映到 \(\beta\)，得到更大的两个域 \(E(\alpha), F(\beta)\) 之间的同构。

3引理证明 · 多项式环与商环两步走 ⏱ 09:44

证明思路：不直接定义 \(E(\alpha) \to F(\beta)\) 的同构，而是拆成两步，先在同构的多项式环之间建同构，再「下推到商环」。

3.1 第一步：延拓到多项式环 ⏱ 10:04

\(\varphi: E \to F\) 自然延拓为多项式环同构 \(\varphi: E[x] \to F[x]\)：

\[ a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \longmapsto \varphi(a_0) + \varphi(a_1) x + \cdots + \varphi(a_n) x^n. \]

它是满同构（系数逐个可逆地映射回去），且限制到 \(E\)（即 \(x = 0\) 的常数项）就是原来的 \(\varphi\)。⏱ 11:25

3.2 理想映射 ⏱ 12:36

由假设 \(q = p^\varphi\)，容易验证：

\[ \varphi\big(\langle p(x) \rangle\big) = \langle q(x) \rangle, \] 其中 \(\langle p(x) \rangle\) 是 \(E[x]\) 中由 \(p\) 生成的理想。验证：\(E[x]\) 中任一元可写为 \(p(x)g(x)\)，在 \(\varphi\) 下映为 \(p^\varphi(x) \, g^\varphi(x) = q(x) g^\varphi(x) \in \langle q(x) \rangle\)；反过来同理（两个多项式环之间逐系数一一对应），因此两边相等。

3.3 第二步：延拓到商环 ⏱ 14:00

上一步说明：\(\varphi\) 把 \(\langle p(x) \rangle\) 映到 \(\langle q(x) \rangle\)，于是自然得到商环之间的同构

\[ \mathrm{Persp}: E[x] / \langle p(x) \rangle \longrightarrow F[x] / \langle q(x) \rangle, \qquad f + \langle p \rangle \longmapsto f^\varphi + \langle q \rangle. \] 再回忆两个经典事实（分裂域 (i) 已证）：
  • 若 \(\alpha\) 是 \(p\) 的根，则 \(E[x]/\langle p(x) \rangle \cong E(\alpha)\)；
  • 若 \(\beta\) 是 \(q\) 的根，则 \(F[x]/\langle q(x) \rangle \cong F(\beta)\)。
因此两个商环之间的同构 \(\mathrm{Persp}\)，「搭桥」之后就给出 \(E(\alpha) \to F(\beta)\) 之间的同构。

搭桥图 ⏱ 16:15
\[ E(\alpha) \xrightarrow{\ \sigma\ } E[x]/\langle p\rangle \xrightarrow{\ \mathrm{Persp}\ } F[x]/\langle q\rangle \xrightarrow{\ \tau\ } F(\beta), \] 其中 \(\sigma, \tau\) 是上面两个经典同构。于是
\[ \overline{\varphi} := \tau \circ \mathrm{Persp} \circ \sigma^{-1} : E(\alpha) \to F(\beta). \]
这就是引理要构造的延拓同构。
为什么 \(\overline{\varphi}(\alpha) = \beta\)？ 在 \(\sigma\) 的逆像中，\(\alpha\) 对应 \(\bar x = x + \langle p\rangle\)；\(\mathrm{Persp}\) 把它映到 \(\bar y = y + \langle q\rangle\)；\(\tau\) 把它映到 \(q\) 在 \(F(\beta)\) 中的根 \(\beta\)。故 \(\alpha \mapsto \beta\)，而 \(E\) 中元素（即 \(E[x]/\langle p\rangle\) 中的常数陪集）保持与 \(\varphi\) 一致。
唯一性 ⏱ 17:20 \(\overline{\varphi}\) 被「在 \(E\) 上等于 \(\varphi\)」与「\(\alpha \mapsto \beta\)」两个条件完全确定（\(E(\alpha)\) 中任意元素可唯一写成 \(c_0 + c_1 \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha^{n-1}\) 的线性组合，其像就唯一被确定为 \(c_0' + c_1' \beta + \cdots + c_{n-1}' \beta^{n-1}\)），故延拓是唯一的。

4定理：分裂域同构的延拓 ⏱ 17:40

定理（分裂域同构延拓定理） ⏱ 18:00 设 \(\varphi: E \to F\) 为域同构；\(p(x) \in E[x]\) 是次数 \(\ge 1\) 的多项式，令 \(q(x) = p^\varphi \in F[x]\)。若 \(K\) 是 \(p\) 在 \(E\) 上的分裂域、\(L\) 是 \(q\) 在 \(F\) 上的分裂域，则 \(\varphi\) 可延拓为域同构 \(\overline{\varphi} : K \to L\)，使其在 \(E\) 上的限制等于 \(\varphi\)。
为什么要一般化 ⏱ 19:20 分裂域「唯一性」是这个定理的一个特例（下面第 6 节取 \(\varphi = \mathrm{id}_F\) 即得）。先证一般定理，再取特例，论证更干净、也更便于后面 Galois 理论反复使用「同构可延拓」这一工具。

5归纳法证明 ⏱ 21:06

对多项式 \(p\) 的次数 \(n\) 做归纳。

5.1 可约性排除：只需处理 \(p\) 在 \(E\) 上不可约的情形 ⏱ 21:45

不可约性传递 若 \(p\) 在 \(E\) 上可约，则 \(p\) 可分解为两个次数更低的多项式之积；把系数经 \(\varphi\) 过去，可知 \(q\) 在 \(F\) 上也可约，此时归纳假设直接适用于两个次数更低的多项式即可。因此只需假设：
\(p(x)\) 在 \(E\) 上不可约。

此时由「\(p\) 在 \(E\) 上不可约 \(\Rightarrow\) \(q = p^\varphi\) 在 \(F\) 上不可约」（否则 \(q\) 的分解经 \(\varphi^{-1}\) 拉回会得到 \(p\) 的分解，矛盾），两边都是不可约的多项式。⏱ 23:14

5.2 归纳基础：\(n = 1\) ⏱ 24:47

设 \(p(x) = x - a\)（\(a \in E\)，不可约），则 \(q(x) = x - \varphi(a)\)。此时 \(p\) 的分裂域就是 \(E\) 本身（\(K = E\)），\(q\) 的分裂域就是 \(F\)（\(L = F\)），\(\varphi: K \to L\) 本身就是延拓，成立。⏱ 25:17

5.3 归纳步骤：\(n \ge 2\) ⏱ 25:47

取 \(p\) 的一个根 \(\alpha \in K\)、\(q\) 的一个根 \(\beta \in L\)（存在性来自「分裂域包含所有根」）。于是有中间域

\[ E \subseteq E' := E(\alpha) \subseteq K, \qquad F \subseteq F' := F(\beta) \subseteq L. \] 由引理，\(\varphi: E \to F\) 延拓为 \(E' \to F'\) 的同构 \(\overline{\varphi} : E(\alpha) \to F(\beta)\)，满足 \(\overline{\varphi}(\alpha) = \beta\)。⏱ 27:29

把 \(p, q\) 各自「扣掉一根」：记

\[ p(x) = (x - \alpha)\, \bar p(x), \qquad q(x) = (x - \beta)\, \bar q(x), \] 则 \(\deg \bar p = \deg \bar q = n-1 < n\)。⏱ 29:22

关键的重新表述 ⏱ 31:33 把「\(K\) 是 \(p\) 在 \(E\) 上的分裂域」改写为：\(K\) 是 \(\bar p\) 在 \(E' = E(\alpha)\) 上的分裂域（因为 \(K\) 就是含 \(E\) 和 \(p\) 全部根的最小域；其中一根 \(\alpha\) 已被 \(E'\) 吸收，剩下要补的就是 \(\bar p\) 的根）。同理 \(L\) 是 \(\bar q\) 在 \(F' = F(\beta)\) 上的分裂域。

于是 \(\bar p, \bar q\) 都是次数 \(< n\) 的多项式，\(\overline{\varphi} : E' \to F'\) 是其系数域间的同构，\(\bar q = \bar p^{\,\overline{\varphi}}\)（逐系数映过去与 \(q\) 的定义一致）。由归纳假设，\(\overline{\varphi}\) 可进一步延拓为 \(K \to L\) 的域同构，其在 \(E'\) 上的限制等于 \(\overline{\varphi}\)，进而限制到 \(E\) 上等于原来的 \(\varphi\)。归纳完成。⏱ 34:24

定理证明小结 ⏱ 34:48 每一步「取一根 + 降次 + 引理 + 归纳假设」组合起来，把原来「系数域间的同构」一步步延拓到「两边整个分裂域之间的同构」。归纳基础 \(n=1\) 与归纳步骤（\(n\ge 2\)）共同覆盖所有情形。

6推论：分裂域在同构意义下唯一 ⏱ 35:08

推论（分裂域的唯一性） ⏱ 35:33 设 \(p(x) \in F[x]\)，\(K\) 与 \(L\) 都是 \(p\) 在 \(F\) 上的分裂域。则存在 \(F\)-同构（即在 \(F\) 上为恒等）\(K \to L\)；进一步，这样的 \(F\)-同构唯一。
证明思路（点击展开）

在定理中取 \(E = F\)、\(\varphi = \mathrm{id}_F\)。此时 \(q = p^\varphi = p\)，\(L\) 是 \(q\) 在 \(F\) 上的分裂域即 \(p\) 在 \(F\) 上的分裂域——与 \(K\) 同型。定理给出 \(\mathrm{id}_F\) 可延拓为 \(K \to L\) 的域同构，且限制到 \(F\) 上等于 \(\mathrm{id}_F\)。这就是「同构意义下唯一」：⏱ 35:36

\[ K \cong_F L \quad (\text{存在 } F\text{-同构 } K \to L, \text{ 且在 } F \text{ 上为恒等}). \]

「同构意义下唯一」的含义是：任意两个分裂域都可用固定 \(F\) 的域同构联系在一起，它们对 \(F\) 的「扩张结构」完全相同，只差一套同构记号。这就是「唯一」在这里的正确理解——不是「集合相等」，而是「固定系数域的域同构意义下相同」。

引理中「唯一延拓」的事实（3 节末）也保证了这个 \(F\)-同构本身是唯一的：\(K\) 中元素由 \(F\) 的系数逐层加上根生成，每一步引理保证延拓唯一，归纳下来整条路径唯一。⏱ 35:55

收尾 ⏱ 36:10 至此，多项式分裂域的存在性（分裂域 i）与唯一性（本讲）都已证明。后续 Galois 理论（Galois 群、自同构个数与扩张次数的关系、可分扩张等）将建立在「分裂域 + 同构延拓」这一整套工具之上。

★重点回顾

1
伴随多项式记号：\(\varphi: E \to F\) 为同构时，\(p(x) \in E[x]\) 的伴随多项式 \(p^\varphi(x)\) 把系数逐一经 \(\varphi\) 映过去、变量 \(x\) 不动。这是整篇论证的核心记号。
2
引理：\(\varphi: E \to F\) 为同构、\(\alpha\) 是 \(E\) 上代数元（最小多项式 \(p\)）、\(\beta\) 是 \(p^\varphi\) 的根，则 \(\varphi\) 唯一延拓为 \(E(\alpha) \to F(\beta)\) 的域同构，\(\alpha \mapsto \beta\)，在 \(E\) 上限制为 \(\varphi\)。
3
引理证明的两步走：① 延拓到多项式环 \(E[x] \to F[x]\)（系数逐一映过去）；② 理想映射 \(\varphi(\langle p\rangle) = \langle p^\varphi\rangle\)，于是延拓到商环 \(E[x]/\langle p\rangle \to F[x]/\langle q\rangle\)；再用两个经典同构 \(E[x]/\langle p\rangle \cong E(\alpha)\)、\(F[x]/\langle q\rangle \cong F(\beta)\) 搭桥。
4
定理：\(\varphi: E \to F\)、\(p \in E[x]\)、\(q = p^\varphi\)、\(K\) 是 \(p\) 在 \(E\) 上分裂域、\(L\) 是 \(q\) 在 \(F\) 上分裂域，则 \(\varphi\) 可延拓为 \(K \to L\) 的域同构，限制到 \(E\) 上等于 \(\varphi\)。
5
归纳论证结构：先排除可约情形（「可约性传递」：\(p\) 可约 \(\Leftrightarrow\) \(q\) 可约，降次直接归纳）；\(n = 1\) 为基础；\(n \ge 2\) 时取一根 \(\alpha, \beta\)，用引理得 \(E(\alpha) \cong F(\beta)\)，把 \(K, L\) 改写为「低次多项式 \(\bar p, \bar q\) 在 \(E', F'\) 上的分裂域」，再用归纳假设延拓。
6
唯一性推论：取 \(\varphi = \mathrm{id}_F\)，得「\(p\) 在 \(F\) 上的任意两个分裂域 \(K, L\) 之间存在唯一的 \(F\)-同构（在 \(F\) 上为恒等）」。这就是「分裂域在同构意义下唯一」的准确含义。
7
「唯一」≠「集合相等」：两个分裂域可能作为集合完全不同，但一定可以建立固定 \(F\) 的同构；「同构意义下唯一」是域论里的标准表述。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 把「唯一」误解为「集合相等」：定理保证的是「存在唯一的 \(F\)-同构 \(K \to L\)」，不是 \(K = L\)；不同的分裂域作为集合可能完全不同，但它们同构。
  2. 「同构」要强调「固定 \(F\)」：一般的域同构可能动 \(F\) 中的元素；本讲结论是「在 \(F\) 上为恒等」的 \(F\)-同构——固定系数域的域同构。漏掉这个限定，引理与定理都退化为普通同构，结论会弱。
  3. 记号 \(p^\varphi\) 的变量位置：变量 \(x\) 保持不变、只有系数被 \(\varphi\) 作用。若误把 \(x\) 也代入某个值或映射，会破坏伴随多项式的定义。
  4. 理想映射要「双向」验证：\(\varphi(\langle p\rangle) = \langle q\rangle\) 要求证明「\(E[x]\) 中 \(p\)-倍数」和「\(F[x]\) 中 \(q\)-倍数」一一对应，只证一个方向不够。
  5. 归纳步骤中要「重新表述」分裂域：\(K\) 是 \(p\) 在 \(E\) 上的分裂域，同时等价地是 \(\bar p\) 在 \(E(\alpha)\) 上的分裂域。漏掉「改写为在 \(E'\) 上」这一步，归纳假设无法应用（此时 \(K\) 不再是「\(q\) 在 \(F'\) 上的分裂域」形式）。
  6. 归纳基础 \(n=1\) 要单独处理：一次多项式的分裂域就是系数域本身（含那个根即可），此时 \(K = E\)、\(L = F\)，\(\varphi\) 本身就是延拓。不要试图把归纳步骤套到 \(n=1\)（那样 \(\bar p\) 的次数就变成 0，不再是多项式）。
  7. 「可约性传递」方向不要搞反：\(p\) 在 \(E\) 上可约 \(\Rightarrow\) \(q\) 在 \(F\) 上可约（分解经 \(\varphi\) 过去）；反方向同样成立（可约分解经 \(\varphi^{-1}\) 拉回）。论证中需要「两边同型」的事实。
  8. 引理「唯一延拓」依赖 \(\alpha\) 是代数元：若 \(\alpha\) 是超越元，\(E(\alpha) \cong E(x)\) 与 \(F(x)\) 之间同构不唯一（可任意置换），引理不再成立。

✎自测与作业

  1. 设 \(\varphi: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}\) 为恒等，\(p(x) = x^2 - 2\)，\(q(x) = p^\varphi\)。写出 \(q\) 并说明它的两个根；用引理验证 \(\varphi\) 可延拓为 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 的自同构，并写出该自同构的两个可能形式（\(\sqrt{2} \mapsto \sqrt{2}\) 与 \(\sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}\)）。
  2. 验证「可约性传递」：设 \(\varphi: E \to F\) 为同构。若 \(p(x) \in E[x]\) 可约，证明 \(q = p^\varphi \in F[x]\) 也可约；再证明逆命题（\(q\) 可约 \(\Rightarrow\) \(p\) 可约）。
  3. 设 \(p(x) = (x - a)(x - b) \in E[x]\)，\(a, b \in E\)（一次因子已展开）。写出 \(p\) 在 \(E\) 上的分裂域 \(K\)，并用推论说明：若 \(L\) 是 \(p\) 的另一个 \(E\)-分裂域，则存在唯一的 \(E\)-同构 \(K \to L\)。
  4. （练习归纳步骤）设 \(p(x) \in E[x]\) 不可约、\(q = p^\varphi\)，取一根 \(\alpha \in K\)、\(\beta \in L\)，写出引理给出的同构 \(E(\alpha) \to F(\beta)\)；再把 \(K\) 改写为「\(\bar p\) 在 \(E(\alpha)\) 上的分裂域」，说明归纳假设适用时需要的条件。
  5. （作业）在定理中，若 \(p\) 在 \(E\) 上可约、\(p = p_1 p_2\)，设 \(K_1\) 为 \(p_1\) 在 \(E\) 上的分裂域、\(K_2\) 为 \(p_2\) 在 \(K_1\) 上的分裂域。证明 \(K = K_2\) 是 \(p\) 在 \(E\) 上的分裂域，且 \(K\) 上的自同构（固定 \(E\)）可被逐层描述。
  6. 设 \(E = \mathbb{Q}\)，\(p(x) = x^3 - 2\)。说明 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) 不是 \(p\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的分裂域（还需补复根 \(\sqrt[3]{2}\,\omega\)），并给出真正分裂域 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)\) 的一种描述；利用本讲定理说明 \(K\) 与任何另一个 \(\mathbb{Q}\)-分裂域都 \(\mathbb{Q}\)-同构。
下一讲预告 第 41 讲将在此基础上引入 Galois 群 \(\mathrm{Gal}(K/F)\)：若 \(K\) 是 \(F\) 的可分分裂域，则 \(K\) 上固定 \(F\) 的自同构集合构成群，且 \(|\mathrm{Gal}(K/F)| = [K:F]\)。一般情形有 \(|\mathrm{Aut}(K/F)| \le [K:F]\)。具体例子（\(x^3 - 2\)、\(x^4 - 2\)、\(x^4 + 1\) 的分裂域次数与自同构个数）将在后续「Galois 群」章节系统展开。