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◎学习目标
- 会用代数元的传递性（若 \(\alpha, \beta\) 均为 \(F\) 上代数元，则 \(F(\alpha,\beta)\) 是 \(F\) 的有限扩张，其中每个元都是 \(F\) 上代数元）为「代数元全体构成子域」的证明做准备；
- 掌握代数闭包（algebraic closure）的定义：设 \(L\) 是域 \(F\) 的扩域，把 \(L\) 中所有 \(F\) 上代数元的全体放在一起记作 \(K\)，则 \(K\) 是 \(L\) 的子域，称为 \(F\) 在 \(L\) 中的代数闭包；
- 会证明「\(L\) 中所有 \(F\) 上代数元的全体构成 \(L\) 的子域」（加法子群 + 非零元乘法子群），从而理解域扩张序列 \(F \subseteq K \subseteq L\)；
- 认识 \(\mathbb{Q}\) 的代数闭包就是代数数域 \(\overline{\mathbb{Q}}\)，并举例说明哪些数（\(\sqrt{2}\)、\(i\) 等）是代数数、哪些（\(\pi\)）不是；
- 掌握代数闭域（algebraically closed field）的定义：\(\deg \ge 1\) 的每个 \(F[x]\) 多项式在 \(F\) 中都有根；理解其等价含义——每个非零多项式都可分解为一次因式的乘积、\(F\) 没有真代数扩域；
- 记住两个基本例子：\(\mathbb{R}\) 不是代数闭域（\(x^2+1\) 无实根）、\(\mathbb{C}\) 是代数闭域（基本代数定理）；
- 理解代数闭包与代数闭域的联系：代数闭域是自己的代数闭包；每个域都有代数闭包，但未必本身是代数闭域；了解一般域代数闭包的存在性（Zorn 引理）与「在 \(F\) 上方程同构、嵌入不唯一」的唯一性；
- 预告并理解分裂域的动机：不必用整个代数闭域，只要「刚刚好够用」的域使给定多项式分解为一次因式的乘积即可。
1回顾：代数元沿域扩张序列的传递性 ⏱ 00:17
先看一个之前用过的、本讲证明要反复使用的事实：设有域扩张序列 ⏱ 00:25
若 \(L\) 中某元 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元，即存在非零多项式 \(f(x) \in F[x]\) 使 \(f(\alpha) = 0\) ⏱ 00:35，那么因为 \(F[x] \subseteq K[x]\)，这个 \(f\) 同时也是 \(K[x]\) 中的多项式，所以 \(\alpha\) 也是 \(K\) 上的代数元。
反过来也常用：若 \(\beta\) 是 \(K\) 上的代数元、而 \(K\) 又是 \(F\) 的有限扩张，则 \(\beta\) 是 \(F\) 上的代数元（代数扩张的传递性）。⏱ 01:12 这两个方向是下面证明「代数元全体构成子域」的主要工具。
2代数闭包的定义与「代数元全体构成子域」 ⏱ 01:17
2.1 定理 ⏱ 01:27
换句话说：给定一个域 \(F\) 和它的一个扩域 \(L\)，把所有「对 \(F\) 是代数」的元收集起来，就构造出一个中间域，把 \(F\) 和 \(L\) 嵌在里面。⏱ 03:10
2.2 证明：\(K\) 是 \(L\) 的子域 ⏱ 03:59
要证 \(K\) 是 \(L\) 的子域，只需验证两条 ⏱ 04:08：
- 加法子群：任意 \(\alpha, \beta \in K\)，有 \(\alpha - \beta \in K\)（即 \(K\) 对加法封闭，且每个元的负元仍在 \(K\) 中）；
- 非零元乘法子群：任意 \(\alpha, \beta \in K\) 有 \(\alpha\beta \in K\)；且若 \(\alpha \in K^\times\)（非零），则 \(\alpha^{-1} \in K\)。
证明（点击展开）⏱ 05:01
核心工具：若 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元，单扩域 \(F(\alpha)\) 作为 \(F\) 上的线性空间是有限维的，即扩张次数 \([F(\alpha):F]\) 有限 ⏱ 05:33。又由 1 节的事实，\(\beta\) 是 \(F\) 上代数元 \(\Rightarrow\) \(\beta\) 也是 \(F(\alpha)\) 上代数元，故 \([F(\alpha,\beta):F(\alpha)]\) 也有限 ⏱ 06:35。
次数公式 ⏱ 07:29：
右端两项都有限，所以 \([F(\alpha,\beta):F]\) 有限。而有限扩张必为代数扩张 ⏱ 08:28，即 \(F(\alpha,\beta)\) 中每个元都是 \(F\) 上的代数元。
现在注意：\(\alpha - \beta\)、\(\alpha\beta\)、以及（当 \(\alpha \neq 0\) 时）\(\alpha^{-1}\) 都落在 \(F(\alpha,\beta)\) 里 ⏱ 09:04。由上面可知它们都是 \(F\) 上代数元，即都属于 \(K\)。于是加法与乘法封闭性、逆元封闭性全部得到，\(K\) 是 \(L\) 的子域。
补充两点：\(K\) 中非零元的逆元可用极小多项式显式构造——若 \(\alpha\) 的极小多项式为 \(m_\alpha(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\)（\(a_0 \neq 0\)，否则 \(x \mid m_\alpha\)，矛盾），则 ⏱ 10:04
即 \(\alpha^{-1}\) 是 \(\alpha\) 的 \(F\)-多项式，仍为 \(F\) 上代数元。
3例：\(\mathbb{Q}\) 的代数闭包＝代数数域 ⏱ 10:35
一个最简单的例子：取 \(F = \mathbb{Q}\)（有理数域）。\(F\) 在其某个扩域中的代数闭包，按定义就是 \(\mathbb{Q}\) 上方程同构的所有代数数的全体 ⏱ 10:54，即代数数域
3.1 回顾：什么是代数数 ⏱ 11:25
也就是说，\(\overline{\mathbb{Q}}\) 恰好是 \(\mathbb{Q}\) 的代数闭包（在 \(\mathbb{C}\) 中取的那个）。⏱ 12:18
3.2 具体的代数数 ⏱ 12:13
- 所有有理数都是代数数：对 \(q \in \mathbb{Q}\)，一元一次多项式 \(x - q \in \mathbb{Q}[x]\) 非零且以 \(q\) 为根 ⏱ 12:27；
- 无理数中也有代数数：\(\sqrt{2}\) 是 \(x^2 - 2 \in \mathbb{Q}[x]\) 的根，所以 \(\sqrt{2} \in \overline{\mathbb{Q}}\) ⏱ 12:55；
- 复数中也有代数数：\(i\) 是 \(x^2 + 1 \in \mathbb{Q}[x]\) 的根，所以 \(i \in \overline{\mathbb{Q}}\) ⏱ 13:26。
而 \(\pi\)、\(e\) 是超越数（它们不满足任何有理系数非零多项式方程），不属于 \(\overline{\mathbb{Q}}\)。
| 数 | 类型 | 所满足的 \(\mathbb{Q}\)-多项式 | 在 \(\overline{\mathbb{Q}}\) 中？ |
|---|---|---|---|
| \(q \in \mathbb{Q}\) | 有理数 | \(x - q\) | 是 |
| \(\sqrt{2}\) | 无理数 | \(x^2 - 2\) | 是 |
| \(i\) | 虚数 | \(x^2 + 1\) | 是 |
| \(\pi\) | 超越数 | （不存在） | 否 |
| \(e\) | 超越数 | （不存在） | 否 |
4代数闭域：定义与例子 ⏱ 15:10
4.1 定义
等价地：\(F\) 上每个非常数多项式都可在 \(F\) 中分解为一次因式的乘积 ⏱ 16:08。
4.2 两个基本例子 ⏱ 16:33
4.3 代数闭域没有真代数扩域 ⏱ 17:55
若 \(F\) 是代数闭域、且 \(K\) 是 \(F\) 的代数扩域，则 \(K = F\)。理由：⏱ 18:18
- 取 \(K\) 中任意非平凡元 \(\alpha \neq F\)，它作为代数元有 \(F[x]\) 中非零极小多项式 \(m_\alpha(x)\)；
- \(F\) 代数闭 \(\Rightarrow\) \(m_\alpha\) 在 \(F\) 中已有根 \(\beta\)，从而 \((x - \beta) \mid m_\alpha(x)\)，由极小多项式的首一不可约性 \(m_\alpha = x - \beta\)，即 \(\alpha = \beta \in F\)；
- 所以 \(K\) 中每个元都在 \(F\) 中，\(K = F\)。
也就是说，代数闭域「已经包含了它所有的代数元」，没有可以「更大」的代数扩域。⏱ 18:51
代数闭域的等价刻画（点击展开）
对域 \(F\)，下列三条互相等价：
- \(F\) 是代数闭域：每个 \(\deg \ge 1\) 的 \(f(x) \in F[x]\) 在 \(F\) 中有根；
- 分裂性质：每个非常数 \(f(x) \in F[x]\) 在 \(F\) 上分裂，即可分解为一次因式的乘积 \(f = c \prod_{i=1}^{n} (x - \alpha_i)\)，\(\alpha_i \in F\)；
- 无真代数扩域：若 \(K/F\) 是代数扩张，则 \(K = F\)。
证明要点：
- (1) \(\Rightarrow\) (2)：用归纳。\(f\) 在 \(F\) 中有根 \(a\)，则 \((x-a) \mid f\)；对 \(f/(x-a)\) 归纳即得。
- (2) \(\Rightarrow\) (1)：显然。
- (1) \(\Rightarrow\) (3)：如 4.3 节所述，代数元有极小多项式，极小多项式在 \(F\) 中已有根，必为一次，故元已在 \(F\) 中。
- (3) \(\Rightarrow\) (1)：若某 \(f \in F[x]\) 在 \(F\) 中无根，取 \(f\) 在 \(f\) 某根 \(\alpha\) 上的单扩域 \(F(\alpha)\)；若 \(\alpha \notin F\)，则 \(F(\alpha)/F\) 是真代数扩域，与 (3) 矛盾。
这三条刻画后面在构造/使用代数闭域时都会反复用到。
5代数闭包与代数闭域的联系 ⏱ 19:17
5.1 两条基本事实 ⏱ 19:12
本讲 2 节的定理（「\(L\) 中 \(F\) 上代数元的全体构成子域」）正是在给定外域 \(L\) 的框架下构造 \(F\) 的代数闭包：若取 \(L\) 足够大（例如把 \(F\) 的所有多项式根都放进去），所得子域就是 \(F\) 的（一个）代数闭包。⏱ 20:00
5.2 存在性与唯一性 ⏱ 20:15
存在性（Zorn 引理思路）（点击展开）
构造思想（Zorn / Hausdorff 极大原理）：
- 考虑所有「\(F\) 的扩张」组成的偏序集（按「\(F\) 同构的包含」排序，即 \(E_1 \le E_2\) 若 \(E_1\) 是 \(E_2\) 的 \(F\)-子扩张）；
- 任一整支链（按包含关系递增的扩张族 \(\{E_i\}\)）取并集 \(E = \bigcup_i E_i\)，可验证 \(E\) 仍是 \(F\) 的扩张（多项式系数在某个 \(E_i\) 中），所以链有上界；
- 由 Zorn 引理，存在极大元 \(E\)；
- 断言 \(E\) 是代数闭的：若某 \(f \in E[x]\) 在 \(E\) 中无根，把 \(f\) 的根 \(a\) 添入 \(E\) 得 \(E(a)/E\)（有限），与极大性矛盾。故 \(E\) 就是 \(F\) 的一个代数闭包。
唯一性（方程同构）：设 \(\overline{F}_1, \overline{F}_2\) 都是 \(F\) 的代数闭包。把 \(\overline{F}_1\) 嵌到一个足够大的「代数闭超域」\(M\) 中（例如 \(M\) 上 \(\overline{F}_1\) 的代数闭包），则 \(\overline{F}_2\) 的像也在 \(M\) 中；由两边「互相代数、互相方程闭」，限制在 \(F\) 上相同的方程同构可推广到全超域——即 \(\overline{F}_1 \cong_F \overline{F}_2\)。
但嵌入不唯一：即便确定了「方程同构类」，把 \(\overline{F}\) 嵌入到具体超域（如 \(\mathbb{C}\)、\(\overline{\mathbb{Q}}\) 的某个子域）时，根的选择（例如 \(x^2 - 2\) 选 \(+\sqrt{2}\) 还是 \(-\sqrt{2}\)）可以给出不同的实现。这就是「唯一性」只到方程同构层面的原因。
在代数闭包中研究多项式的根（共轭/根的结构）（点击展开）
一般地，若 \(F\) 不是代数闭域，则次数 \([\overline{F} : F] = \infty\)（无限）；例如 \([\mathbb{C} : \mathbb{R}] = 2\) 有限，但 \([\overline{\mathbb{Q}} : \mathbb{Q}] = \infty\)（\(x^2 - 2\)、\(x^3 - 2\)、\(x^2 + 1\)、……每次添根都产生新元）。
在 \(\overline{F}\) 中，一个 \(f \in F[x]\) 的全体根都被「收集齐了」；根之间的共轭关系（由 \(F\)-自同构/自同态把根映到根）在 \(\overline{F}\) 中有完整结构。上一讲关于「\(f\) 在 \(F\) 中根的存在性」的讨论，放到 \(\overline{F}\) 中就自动完成——每个非常数 \(f\) 在 \(\overline{F}\) 中都有根（代数闭性），且所有根都在 \(\overline{F}\) 中。
这也解释了「为什么代数闭包是研究多项式根结构的自然场所」：它既足够大（所有根都进来），又足够小（只放代数元），正好是「刚刚好够用」的代数闭框架。
6预告：分裂域 ⏱ 20:40
与「代数闭域要覆盖所有多项式的根」相比，我们常常只需要「刚刚好够用」的域——给定一个多项式 \(f(x)\)，找到使 \(f\) 在其上分解为一次因式乘积的最小域 ⏱ 20:58。
分裂域比代数闭域「小得多」——每个多项式都有自己的分裂域，而代数闭域（如 \(\overline{F}\)）要对所有多项式都「够大」。下一讲会研究分裂域的存在性、方程同构性与 Galois 群等性质。
- 代数闭域：\(F\) 上每个非常数多项式都有根（全领域框架）；
- 分裂域：给定的某一个 \(f \in F[x]\) 分解为一次因式乘积的最小域（单项框架）。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 把「代数闭域」与「代数闭包」混为一谈：代数闭域是「每个多项式都有根」的域本身（如 \(\mathbb{C}\)）；代数闭包是「把某域的所有代数元收集起来」得到的新域（如 \(\overline{\mathbb{Q}}\)）。
- 以为 \(\mathbb{R}\) 是代数闭域：\(x^2 + 1\) 在 \(\mathbb{R}\) 中无根，\(\mathbb{R}\) 不是代数闭域；\(\mathbb{C}\) 才是（基本代数定理）。
- 以为代数数 = 所有无理数：\(\sqrt{2}\)、\(i\) 是代数数；但 \(\pi\)、\(e\) 是超越数，不属于 \(\overline{\mathbb{Q}}\)。代数数要求「存在某个 \(\mathbb{Q}\)-多项式以它为根」。
- 次数公式漏项：证 \(F(\alpha,\beta)\) 是 \(F\) 的有限扩张时要用 \([F(\alpha,\beta):F] = [F(\alpha,\beta):F(\alpha)] \cdot [F(\alpha):F]\)，两项都要有限；单论 \(\alpha\) 有限是不够的。
- 混淆「\(F\) 在 \(L\) 中的代数闭包」与「\(F\) 的代数闭包 \(\overline{F}\)」：前者依赖于外域 \(L\)；后者是与 \(L\) 无关的存在/唯一对象（方程同构类）。
- 以为代数闭包嵌入唯一：方程同构是唯一的，但把 \(\overline{F}\) 嵌入到具体超域（如 \(\mathbb{C}\)）的方式不唯一——例如同一个多项式选 \(+\sqrt{2}\) 还是 \(-\sqrt{2}\) 都可能给出不同的实现。
- 把分裂域当成代数闭域：分裂域只针对给定的一个多项式 \(f\)；代数闭域要求对所有多项式都有根。分裂域通常「小得多」。
- 极小多项式论证漏条件：证「代数闭域无真代数扩域」时，要用到极小多项式首一不可约 + 代数闭性把极小多项式在 \(F\) 中「提前分解」，从而极小多项式必为一次。
✎自测与作业
- 设 \(F \subseteq K \subseteq L\) 为域扩张序列，\(\alpha \in L\) 是 \(F\) 上代数元。写出严格的论证说明 \(\alpha\) 也是 \(K\) 上代数元。
- 设 \(L\) 是 \(F\) 的扩域，\(K = \{\alpha \in L : \alpha \text{ 是 } F \text{ 上代数元}\}\)。（本讲核心）证明 \(K\) 是 \(L\) 的子域：(a) 加法封闭；(b) 乘法封闭；(c) 非零元逆元封闭。提示：用次数公式与「有限扩张必代数」。
- 判断下列各数是否为代数数（是否属于 \(\overline{\mathbb{Q}}\)），并给出所满足的 \(\mathbb{Q}\)-多项式（若有）：\(\sqrt[3]{2}\)、\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)、\(\pi\)、\(\cos(\pi/7)\)、\(e\)。
- 证明 \(\mathbb{R}\) 不是代数闭域、\(\mathbb{C}\) 是代数闭域。并说明：若 \(F\) 是代数闭域、\(K/F\) 是代数扩张，则 \(K = F\)（用极小多项式）。
- 陈述并证明「代数闭域」的三条等价刻画（有根 \(\Leftrightarrow\) 分裂 \(\Leftrightarrow\) 无真代数扩域）。
- 解释为什么 \([\overline{\mathbb{Q}} : \mathbb{Q}] = \infty\)（提示：考虑 \(x^2 - 2\)、\(x^2 - 3\)、\(x^2 - 5\) 等无穷多项式）；并说明「每个域都有代数闭包」可用 Zorn 引理证明的主要思路（只需给出框架，不要求严格细节）。