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◎学习目标
- 回顾代数元 / 超越元的定义，并理解四类扩张概念：代数扩张、超越扩张、有限扩张、无限扩张；
- 记住并会证基本包含关系：有限扩张 \(\Rightarrow\) 代数扩张（反方向不成立）；
- 掌握次数公式（塔公式）：\(F \subseteq E \subseteq K\) 时 \([K:F] = [K:E]\,[E:F]\)（有限情形）；
- 掌握推论：\([K:F]\) 为素数时，\(K\) 与 \(F\) 之间没有其他子域（中间域）；
- 掌握命题：域 \(F\) 添加有限多个代数元后，所得扩张仍是有限扩张；
- 会构造「代数扩张但不是有限扩张」的例子：\(\mathbb{Q}(\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{2},\dots)\)；
- 会综合运用次数公式求扩张次数，例如 \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}):\mathbb{Q}] = 3\)。
1回顾：代数元与超越元 ⏱ 00:00
本讲继续研究域扩张，重点是代数扩张、超越扩张、有限扩张与无限扩张这几个概念及其相互关系。先回顾上一讲学过的代数元： ⏱ 00:22
- 若能在多项式环 \(F[x]\) 中找到一个非零多项式以 \(\alpha \in K\) 为根，则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元；
- 若不存在这样的非零多项式（即 \(\alpha\) 不是 \(F[x]\) 中任何非零多项式的根），则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的超越元。 ⏱ 00:47
2代数扩张与超越扩张 ⏱ 01:01
- \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的代数扩张：其中每个元素（形式为 \(a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}\)，\(a,b,c \in \mathbb{Q}\)）都是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元；
- \(\mathbb{Q}(x)\)（有理函数域）是 \(\mathbb{Q}\) 的超越扩张：\(x\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的超越元（不存在 \(\mathbb{Q}[t]\) 中非零多项式以 \(x\) 为根）。
3有限扩张、无限扩张与次数 \([E:F]\) ⏱ 02:31
- 若 \(K\) 作为 \(F\) 上的线性空间是有限维的，即 \([K:F] = n < \infty\)，则称 \(K\) 是 \(F\) 的有限扩张；
- 若 \(K\) 作为 \(F\) 上的线性空间是无穷维的，即 \([K:F] = \infty\)，则称 \(K\) 是 \(F\) 的无限扩张。
4有限扩张必为代数扩张 ⏱ 04:07
证明（点击展开）⏱ 04:52
设 \([K:F] = n\)，任取 \(\alpha \in K\)。考虑 \(K\) 作为 \(F\)-线性空间中一组向量
这里共 \(n+1\) 个元素，而 \(K\) 的维数只有 \(n\)，所以它们线性相关：存在不全为零的 \(a_0, a_1, \dots, a_n \in F\)，使得 ⏱ 05:36
令 \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \in F[x]\)，则 \(f \neq 0\)（因为系数不全为零）且 \(f(\alpha) = 0\)。于是 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元。 \(\alpha\) 是任意的，故 \(K\) 是 \(F\) 的代数扩张。 ⏱ 07:45
证毕。思路与「单扩张 \(F(\alpha)\) 次数等于极小多项式次数」的证明一脉相承：利用有限维线性空间中「超过维数的向量必线性相关」。
5次数公式（塔公式） ⏱ 08:45
在谈「代数扩张未必有限」之前，先证明一个本讲及后续最常用的关于次数的公式定理。
- \([K:F]\) 有限 \(\iff\) \([K:E]\) 有限 且 \([E:F]\) 有限；
- 若它们都有限，则有乘法公式
\[ [K : F] = [K : E]\ \cdot\ [E : F]. \] ⏱ 09:46
5.1 方向一：\([K:F]\) 有限 \(\Rightarrow\) 两个中间扩张都有限 ⏱ 10:18
证明（点击展开）
\([E:F]\) 有限：\(E\) 作为 \(F\)-线性空间是 \(K\)（作为 \(F\)-线性空间）的子空间，子空间维数不超过母空间维数，故 \([E:F] \le [K:F] < \infty\)。 ⏱ 10:48
\([K:E]\) 有限：设 \([K:F] = n\)，取 \(K\) 作为 \(F\)-线性空间的一组基 \(v_1, \dots, v_n\)。则 \(K\) 中任意元素 \(x\) 可唯一写成 ⏱ 12:25
系数虽然只在 \(F\) 中取，但既然 \(F \subseteq E\)，这些系数同样可视为 \(E\) 中的元素。于是 \(v_1, \dots, v_n\) 这 \(n\) 个元素已经能作为 \(E\) 的线性组合生成 \(K\)，所以 \(K\) 作为 \(E\)-线性空间的维数 \(\le n\)，即 \([K:E] \le [K:F] < \infty\)。 ⏱ 13:10
证毕。
5.2 方向二与乘法公式：两有限 \(\Rightarrow\) \([K:F]\) 有限且 \([K:F] = [K:E][E:F]\) ⏱ 15:19
证明（点击展开）
设 \([K:E] = n\)，\(K\) 作为 \(E\)-线性空间的基为 \(v_1, \dots, v_n\)；设 \([E:F] = m\)，\(E\) 作为 \(F\)-线性空间的基为 \(u_1, \dots, u_m\)。 ⏱ 15:53
（1）张成：任取 \(x \in K\)，先按 \(v_i\) 展开 \(x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i\)（\(a_i \in E\)）；再把每个 \(a_i\) 按 \(u_j\) 展开 \(a_i = \sum_{j=1}^{m} c_{ij}\, u_j\)（\(c_{ij} \in F\)，第一个下标 \(i\) 标记的是哪个 \(a_i\)，第二个下标 \(j\) 标记的是哪个基元 \(u_j\)）。代回去得
（2）线性无关：假设 ⏱ 22:38
把上式按 \(v_i\) 归并（把与 \(v_i\) 相关的部分合起来看）：
（3）结论：\(\{u_j v_i : 1 \le j \le m,\ 1 \le i \le n\}\) 既是 \(K\) 作为 \(F\)-线性空间的生成集又是线性无关集，故它就是基，共有 \(mn\) 个元素。因此
6推论：次数为素数则没有中间域 ⏱ 29:40
证明（点击展开）
由次数公式 \([K:F] = [K:E]\,[E:F]\)。若 \([K:F] = p\) 是素数，则 \([K:E]\) 与 \([E:F]\) 都是正整数且乘积为 \(p\)，所以二者只能取 \(1\) 与 \(p\)（顺序可换）： ⏱ 30:54
- 若 \([K:E] = 1\)，则 \(K = E\)；
- 若 \([E:F] = 1\)，则 \(E = F\)。
两种情形对应「中间域就是两端之一」，没有其他可能。证毕。这个推论在计算扩张次数时很有用——它把「次数为素数」的情形立刻排除掉中间域的存在。
7命题：添加有限多个代数元得有限扩张 ⏱ 33:06
证明（对 \(N\) 归纳；点击展开）⏱ 34:37
基始 \(N = 1\)：单扩张 \(F(\alpha_1)\) 的次数等于 \(\alpha_1\) 的极小多项式的次数（上一讲结论）：
归纳假设：设结论对 \(N-1\) 成立，即 \(F(\alpha_1, \dots, \alpha_{N-1})\) 是 \(F\) 的有限扩张。 ⏱ 36:26
归纳步：考虑扩张序列
注意到：若 \(\alpha_N\) 是 \(F\) 上的代数元，则它也是更大的域 \(F(\alpha_1, \dots, \alpha_{N-1})\) 上的代数元（同一个多项式，系数既然在 \(F\) 中，当然也在更大的域中）。 ⏱ 39:10
于是由 \(N=1\) 情形（单扩张），
结论：一个域添加有限多个代数元后，得到的扩张次数仍有限。
8反例：代数扩张未必是有限扩张 ⏱ 40:39
现在给出第 4 节预告的反例：存在 \(\mathbb{Q}\) 的代数扩张但不是有限扩张的。
8.1 证明 \(E\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的代数扩张 ⏱ 41:57
论证（点击展开）
要证「\(E\) 中每个元素都是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元」。 ⏱ 42:00
- 每个 \(\sqrt[n]{2}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元：它的 \(\mathbb{Q}\) 上极小多项式是 \(x^n - 2\)（用埃森斯坦判别法（Eisenstein），取素数 \(p = 2\) 即验证不可约）。
- 任意取 \(\alpha \in E\)：虽然 \(E\) 是用「无限多个」生成元定义的，但一个具体的 \(\alpha\) 只用到有限多个生成元——即存在某个 \(t\) 与互不相同的正整数 \(n_1, \dots, n_t\)，使得
\[ \alpha \in \mathbb{Q}\big(\sqrt[n_1]{2}, \dots, \sqrt[n_t]{2}\big). \]⏱ 43:57
- 由第 7 节命题，右端域是 \(\mathbb{Q}\) 的有限扩张（有限个代数元的添加）；因此
\[ [\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}] \ \le\ \big[\mathbb{Q}\big(\sqrt[n_1]{2}, \dots, \sqrt[n_t]{2}\big) : \mathbb{Q}\big] < \infty, \]于是（第 4 节结论：有限扩张必为代数扩张）\(\alpha\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元。
- \(\alpha\) 任意，故 \(E\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的代数扩张。 ⏱ 46:57
8.2 证明 \(E\) 不是 \(\mathbb{Q}\) 的有限扩张 ⏱ 47:11
反证法（点击展开）
假设 \(E\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的有限扩张，设 \([E : \mathbb{Q}] = n\)（有限正整数）。 ⏱ 47:21
考虑 \(\sqrt[n+1]{2}\)（\(2\) 的 \(n+1\) 次方根），它显然属于 \(E\)（因为 \(E\) 包含了所有 \(n\) 次方根）。它是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元，极小多项式是 \(x^{n+1} - 2\)（埃森斯坦判别法，\(p = 2\)），次数 \(n+1\)。由单扩张次数公式：
另一方面，\(\mathbb{Q}(\sqrt[n+1]{2})\) 是 \(E\) 的子域（它包含在 \(E\) 中，因为它由 \(E\) 中的某个元素生成），由次数公式（或子域维数不超过约定），
故假设不成立，\(E\) 不是 \(\mathbb{Q}\) 的有限扩张。
小结：\(\mathbb{Q}(\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2}, \dots)\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上代数但非有限的扩张——这就是「有限 \(\Rightarrow\) 代数，但代数 \(\nRightarrow\) 有限」的反例。 ⏱ 49:52
9例子：用次数公式求 \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}) : \mathbb{Q}]\) ⏱ 50:21
9.1 记号简化 ⏱ 51:00
设 \(\ell = \sqrt[3]{2}\)（\(2\) 的三次方根）。则 \(\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = \ell^{2}\)。问题变为求
9.2 用次数公式 ⏱ 55:40
\(\ell = \sqrt[3]{2}\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的极小多项式是 \(x^3 - 2\)（埃森斯坦判别法，\(p = 2\)），故
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 混淆「有限 \(\Rightarrow\) 代数」与「代数 \(\Rightarrow\) 有限」：有限扩张必为代数扩张，但反方向需要反例（如 \(\mathbb{Q}(\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{2}, \dots)\)）。
- 次数公式方向记反：是 \([K:F] = [K:E] \cdot [E:F]\)（大/小 = 大/中 × 中/小），三段都有限时成立；若某一段无穷，则整体也无穷。
- 「添加有限多个代数元」与「添加无限多个代数元」混淆：有限个代数元 ⇒ 有限扩张；无限个代数元 ⇒ 可能仍是代数扩张但非有限（第 8 节反例正是「无限多个」情形）。
- 极小多项式用错：求单扩张次数时用「该元素在底域上的极小多项式次数」，不是「在更大域上的」；后者次数可能更小（第 7 节归纳步中注意 \(\deg m_{\alpha_N, F(\alpha_1, \dots, \alpha_{N-1})} \le \deg m_{\alpha_N, F}\)）。
- 把「生成元的次数直接相加」当次数：\(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})\) 不是 \(3 + 3 = 6\) 而是 \(3\)——因为 \(\sqrt[3]{4}\) 落在 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) 里，是冗余的生成元；要用次数公式（乘法）而非加法。
- 验证 \(x^n - 2\) 不可约时漏掉埃森斯坦条件：用埃森斯坦判别法取素数 \(p = 2\)：\(2 \mid\) 非常数项系数（这里是 \(-2\)），\(2 \nmid\) 首项系数 \(1\)，且 \(2^2 \nmid\) 常数项 \(-2\)——三个条件都满足才可用。
- 第 8 节反例中「具体元素只用有限个生成元」这步漏证：\(E\) 由「无限多个」\(\sqrt[n]{2}\) 生成，但任意取定的 \(\alpha \in E\) 只涉及其中有限多个，这是证明「代数」的关键一步，不能略。
✎自测与作业
- 验证：\([\mathbb{Q}(\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{3}) : \mathbb{Q}] = 6\)（提示：用次数公式 \([\mathbb{Q}(\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{3}) : \mathbb{Q}(\sqrt[2]{2})] \cdot [\mathbb{Q}(\sqrt[2]{2}) : \mathbb{Q}]\)，分别说明为什么两段是 \(3\) 与 \(2\)）。
- 证明：若 \(\alpha, \beta\) 是 \(F\) 上的代数元且 \(\alpha\) 不是 \(F\) 中元素，则 \([F(\alpha, \beta) : F]\) 有限（用第 7 节命题），并给出一个具体的 \(F = \mathbb{Q}\)、\(\alpha = \sqrt[3]{2}\)、\(\beta = \sqrt[5]{2}\) 的例子说明次数有限但「未必是单扩张 \(F(\gamma)\)」（本原元素定理是下一讲内容，此处只需说明有限）。
- 设 \(K/F\) 是扩张，\([K:F] = 6\)。用第 6 节推论（素数次无中间域）的类比（6 不是素数）说明：可能存在中间域 \(E\) 使 \([K:E] = 2\)、\([E:F] = 3\)——构造一个具体例子（提示：取 \(F = \mathbb{Q}\)，\(K = \mathbb{Q}(\zeta_3, \sqrt[3]{2})\) 或 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{2})\) 之一，自行验证次数与中间域）。
- 用「代数但非有限」反例的方法（第 8 节）说明：\(\mathbb{Q}(\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2}, \dots)\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的代数扩张但不是有限扩张。要求完整写出「代数性」（生成元 + 任意元素有限化）与「非有限性」（反证 + 次数公式）两部分。
- 求 \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) : \mathbb{Q}]\)。要求：① 说明 \(\sqrt[3]{4} \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\)；② 说明由 \(\ell + \ell^2\) 与 \(\ell^3 = 2\) 可反解 \(\ell\)，故 \(\mathbb{Q}(\ell + \ell^2) = \mathbb{Q}(\ell)\)；③ 用次数公式得结果 \(= 3\)。
- （作业）设 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{2})\)。① 证明 \([K : \mathbb{Q}] = 6\)；② 找出 \(K\) 的全部中间域（提示：因子 \(6 = 1 \cdot 6 = 2 \cdot 3\)，中间域的次数必为 \(1, 2, 3, 6\)，逐个验证存在性）。