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◎学习目标
- 掌握子群的定义与记号 \(H \le G\)，理解「子群必须沿用父群的运算」，分清子集记号 \(\subseteq\) 与子群记号 \(\le\) 的区别；
- 会按定义逐条验证子群：运算封闭、单位元在内、逆元在内（结合律自动继承）；
- 熟记并会证两个子群判定定理：「封闭 + 逆元」与「非空 + \(ab^{-1}\) 封闭」；
- 掌握标准例子：\(\{e,x\} \le S_3\)、\(\mathbb{Q}^{*} \le \mathbb{R}^{*}\)、\(2\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}\)、\(\{e,y,y^2\} \le S_3\)、\(SL_n(\mathbb{R}) \le GL_n(\mathbb{R})\)；
- 知道平凡子群 \(\{e\}\) 与 \(G\)，以及非平凡子群的概念；
- 掌握群中心 \(C(G)\) 的定义，会证「中心是子群」；
- 知道任意多个子群的交集仍是子群；掌握由子集 \(S\) 生成的子群 \(\langle S \rangle\) 的定义、元素形态 \(a_1^{\varepsilon_1}\cdots a_n^{\varepsilon_n}\) 与最小性；
- 理解生成元、有限生成、循环群的概念；知道有限群必有限生成，而无限群也可以有限生成（\(\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle\)）；
- 掌握元素的阶 \(o(a)\) 的定义与计算方法，会算 \(S_3\)、\(G_6\)、\(SL_2(\mathbb{R})\) 中元素的阶；
- 掌握循环子群两条性质：\(|\langle a \rangle| = o(a)\)；\(a^m = e \Rightarrow o(a) \mid m\)（带余除法 + 最小性）。
1子群的定义 ⏱ 00:00
想法很简单：一个群 \(G\) 里边取一个子集合，如果这个子集合在原来群的运算下面也满足群的全部公理，那它本身也是一个群，就把它称为 \(G\) 的一个子群（subgroup）。
1.1 记号：\(\subseteq\) 与 \(\le\) 必须分清 ⏱ 01:33
- \(H \subseteq G\)：集合的包含关系，只说 \(H\) 是 \(G\) 的子集合；
- \(H \le G\)：子群，除了包含之外，还要求 \(H\) 本身在同一运算下也是一个群。
老师上课特别强调：看板书时一定要看清符号——一个是「子集」的记号，另一个是「子群」的记号（本讲统一用小于等于号 \(\le\) 表示子群）。这两个符号含义不同，不能混用。
1.2 按定义验证子群要做的事 ⏱ 02:40
要说 \(H\) 是子群，就是按群的定义逐条检查。需要验证的事情是：
- 运算封闭：任意 \(a, b \in H\)，有 \(ab \in H\)。二元运算之所以能称为「运算」，首先就要封闭——做完运算以后结果还得在集合里。这一步保证了「\(G\) 原来的运算在 \(H\) 上也还是一个运算」；
- 单位元在内：设 \(e\) 是大群 \(G\) 的单位元，要保证 \(e \in H\)；
- 逆元在内：任意 \(a \in H\)，\(a\) 在 \(G\) 中肯定有逆元，只需保证这个逆元 \(a^{-1}\) 还在小集合 \(H\) 里。
2子群的判定定理 ⏱ 05:59
每次都按定义逐条验证其实有点麻烦。下面给出两个更省事的判定条件——它们证明起来很容易，但因为经常要用，课上还是完整证了一遍。
- 判定法一 ⏱ 06:44：对任意 \(a, b \in H\)，有 \(ab \in H\)（运算封闭）；并且对任意 \(a \in H\)，有 \(a^{-1} \in H\)（逆元封闭）；
- 判定法二 ⏱ 07:11：\(H \neq \varnothing\)（非空），且对任意 \(a, b \in H\)，有 \(ab^{-1} \in H\)。
三种验证方式（直接用定义、判定法一、判定法二）都可以判定子群，做题时按题目条件选方便的即可。判定法二用得最多：特别是比较抽象的问题，要证一个子集合是子群时，往往直接验证「任意 \(a, b \in H \Rightarrow ab^{-1} \in H\)」就够了。
2.1 判定法一的证明
证明（点击展开） ⏱ 08:39
对照按定义成为子群需要的三件事：(1) 运算封闭；(2) 单位元在内；(3) 逆元在内（结合律显然，不用写）。判定法一的条件已经直接给出 (1) 和 (3)，所以只需补证单位元也在 \(H\) 里。
取 \(a \in H\)（\(H\) 非空）。由条件知 \(a^{-1} \in H\)；又由封闭性，\(a\) 与 \(a^{-1}\) 这两个 \(H\) 中元素的乘积仍在 \(H\) 中：
于是三个条件全部满足，\(H \le G\)。也就是说：验证子群时其实只需验证「封闭 + 逆元」这两条，单位元会自动跟出来。
2.2 判定法二的证明
证明（点击展开） ⏱ 10:44
条件「任意 \(a, b \in H \Rightarrow ab^{-1} \in H\)」表面上与定义中的三条都不直接相关，其实可以一条条推回来。
第一步（单位元在内）：因为 \(H \neq \varnothing\)，取 \(a \in H\)。把条件中的 \(b\) 也取成 \(a\)：
第二步（逆元在内）：对任意 \(a \in H\)。由第一步已知 \(e \in H\)，于是把条件用在 \(H\) 中的两个元素 \(e\) 与 \(a\) 上：
所以 \(H\) 中任何元素的逆元仍在 \(H\) 中。
第三步（运算封闭）：对任意 \(a, b \in H\)。由第二步，\(b \in H \Rightarrow b^{-1} \in H\)。再把条件用在 \(H\) 中的两个元素 \(a\) 与 \(b^{-1}\) 上：
由第 1 讲证过的基本性质 \((b^{-1})^{-1} = b\)，上式就是 \(ab \in H\)，运算封闭。
三条全部满足，故 \(H \le G\)。
3子群的例子 ⏱ 14:22
下面这些例子大家都比较熟悉，有的直接就能看出来，不需要用前面的判定定理；但判定定理待会儿（证中心是子群等处）马上会用到，不用着急。
3.1 例子总览表
| 子集合 \(H\) | 父群 \(G\) | 结论 | 验证要点 |
|---|---|---|---|
| \(\{e, x\}\)，\(x^2 = e\) | \(S_3\) | ✔ \(H \le G\) | \(x^2 = e\) 保证封闭；\(x^{-1} = x\) |
| \(\mathbb{Q}^{*}\) | \((\mathbb{R}^{*}, \times)\) | ✔ \(H \le G\) | 非零有理数之积、之逆仍为非零有理数 |
| \(2\mathbb{Z}\)（偶数） | \((\mathbb{Z}, +)\) | ✔ \(H \le G\) | 偶数之差仍为偶数 |
| \(\{e, y, y^2\}\)，\(y^3 = e\) | \(S_3\) | ✔ \(H \le G\) | 定义或两个判定法均可 |
| \(SL_n(\mathbb{R})\) | \(GL_n(\mathbb{R})\) | ✔ \(H \le G\) | \(\det(AB) = 1\)，\(\det(A^{-1}) = 1\) |
4平凡子群 ⏱ 17:34
以上是子群的一些基本例子：证明很简单，但后面会用得越来越多。接下来看两个特殊情形。
- \(\{e\} \le G\)：只含单位元的集合显然是子群——它是最小的子群；
- \(G \le G\)：群本身作为集合也是它自己的子集合，当然也是子群——它是最大的子群。
- 整数加法群 \((\mathbb{Z}, +)\)：单位元是 \(0\)，平凡子群就是 \(\{0\}\) 与 \(\mathbb{Z}\) 本身；
- 置换群 \(S_3\)：平凡子群就是 \(\{e\}\) 与 \(S_3\) 本身。
「平凡子群 / 非平凡子群」的说法后面还会用到很多次。
5群的中心 ⏱ 19:57
接下来有一个结论也挺简单，但经常要用：关于一个群的中心。群的中心就是群里边和所有元素都可交换的元素组成的集合。
先举个例子感受一下：在矩阵群 \(GL_n(\mathbb{R})\) 里，单位矩阵和任何一个矩阵肯定都是交换的，所以它肯定在中心里边。但一个群的中心里也可能有不是单位元的元素。
证明（点击展开）——用判定法一
不知道用哪种方法验证时，可以都试一下。这里选用判定法一：证「运算封闭 + 逆元在内」。
(1) 封闭性：任取 \(a, b \in C(G)\)，要证 \(ab \in C(G)\)，即证 \(ab\) 与 \(G\) 中任何元素 \(g\) 都交换：\((ab)g = g(ab)\)。从左边出发，交替使用结合律与「\(a, b\) 在中心里」的条件：
（第一步、第三步、最后一步用结合律；第二步用 \(b\) 与 \(g\) 交换；第四步用 \(a\) 与 \(g\) 交换。）老师特别提醒：三个元素的顺序不能随便动，但「先算哪两个」是可以选的——这正是结合律的含义。上式对任意 \(g \in G\) 成立，所以 \(ab \in C(G)\)。
(2) 逆元在内：任取 \(a \in C(G)\)，要证 \(a^{-1} \in C(G)\)。由 \(a\) 在中心里，对任意 \(g \in G\) 有 \(ag = ga\)。两边同时左乘 \(a^{-1}\)、同时右乘 \(a^{-1}\)（这是一个常用的基本技巧）：
这对任意 \(g \in G\) 成立，说明 \(a^{-1}\) 与 \(G\) 中任何元素都交换，故 \(a^{-1} \in C(G)\)。
两个条件都证完了，由判定法一得 \(C(G) \le G\)。
中心这门课里会不断出现。请记住两件事：中心是一个子群；并且中心里任何一个元素与群中任何元素的运算都是可交换的（可以交换顺序）。
6子群的交集仍是子群 ⏱ 27:25
后面考虑「一个子集生成的子群」时会用到一个很明显的结论：
证明思路（点击展开） ⏱ 28:15
这个比较容易验证：任何两个元素如果落在交集里，那它们肯定落在每一个子群 \(H_{\alpha}\) 里。于是对任意 \(\alpha\)，由 \(H_{\alpha}\) 是子群（判定法二）得 \(ab^{-1} \in H_{\alpha}\)；这对所有 \(\alpha\) 都成立，所以 \(ab^{-1}\) 仍在交集里。又每个 \(H_{\alpha}\) 都含单位元 \(e\)，故交集非空。由判定法二，交集是子群。
引入这个结论的原因马上揭晓：下一节就把「包含某个集合的所有子群的交集」定义成一个新对象——由该集合生成的子群。
7由子集生成的子群 ⏱ 28:59
7.1 里面的元素长什么样 ⏱ 30:41
为什么元素一定长这个样子？由子群的定义：要用 \(S\) 里的元素生成一个子群，那么这些元素的逆元必须全部加进来（对应 \(\varepsilon_i = \pm 1\)），而且子群对运算封闭，所以它们的一切有限乘积（包括带逆元的）也全部应该在里边。
7.2 几个特殊情况 ⏱ 31:57
- 取 \(n = 1\)、\(\varepsilon_1 = 1\)：对任何 \(a \in S\)，有 \(a \in \langle S \rangle\)（生成的子群当然包含 \(S\)）；
- 取 \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\)，且 \(\varepsilon_1 = \cdots = \varepsilon_n = 1\)：得 \(a_1^{n} \in \langle S \rangle\)——\(S\) 中任何元素的任意次幂都在生成的子群里；
- 单位元也在里面：取 \(a_1 = a_2 \in S\)，\(\varepsilon_1 = 1\)、\(\varepsilon_2 = -1\)，则 \(a_1 a_1^{-1} = e \in \langle S \rangle\)。
这是一个更一般的形式；自己写几个特殊情况，就知道里面的元素应该长什么样子了。
7.3 证明思路 ⏱ 33:29
证明思路（点击展开）——老师只给思路，细节留作练习
把右边这个集合记作 \(K = \{\, a_1^{\varepsilon_1} \cdots a_n^{\varepsilon_n} \mid n \ge 1,\ a_i \in S,\ \varepsilon_i = \pm 1 \,\}\)。要证 \(\langle S \rangle = K\)，需证两件事。
第一步：\(K\) 是一个群（子群）。用判定法二，验证任意 \(a, b \in K \Rightarrow ab^{-1} \in K\)。设
长度 \(m, n\) 可以不一样；每个 \(\varepsilon_i, \delta_j\) 都是 \(\pm 1\)；每个 \(a_i, b_j\) 都是 \(S\) 中的元素。由第 1 讲的基本性质「乘积的逆元 = 逆元反序相乘」，\(b\) 的逆可以直接写出来：
于是 \(ab^{-1} = a_1^{\varepsilon_1} \cdots a_n^{\varepsilon_n}\, b_m^{-\delta_m} \cdots b_1^{-\delta_1}\) 仍然是「\(S\) 中元素带 \(\pm 1\) 上标」的有限乘积，即仍是 \(K\) 中元素的样子，故 \(ab^{-1} \in K\)。所以 \(K \le G\)。
第二步：\(K\) 是包含 \(S\) 的最小子群。若 \(H \le G\) 且 \(S \subseteq H\)，则 \(H\) 对逆元与乘法封闭，所以任何形如 \(a_1^{\varepsilon_1} \cdots a_n^{\varepsilon_n}\) 的元素都必须在 \(H\) 中，即 \(K \subseteq H\)。这就保证了 \(K\) 的最小性。老师说这一步课上与课本上都有证明，留给大家自己写。
这里主要理解「里面的元素是什么样子、为什么长这个样子」；证明本身比较简单。这个结论后面（研究循环群等）还会用到。
8生成元 · 有限生成 · 循环群 ⏱ 37:10
- 若 \(H = \langle S \rangle\)，则称 \(S\) 中的元素为 \(H\) 的生成元；
- 若 \(S\) 是有限集（用 \(|S|\) 表示集合中元素的个数，即 \(|S| \lt \infty\)），则称 \(H\) 为有限生成的子群；一个群若能由有限集合生成，就称它是有限生成的群。
若生成元集合 \(S\) 只有一个元素，则第 7 节形态公式中的 \(a_1, \dots, a_n\) 全部都是同一个元素，上标要么 \(1\) 要么 \(-1\)——所以由一个元素生成的群，里面的元素肯定长成 \(a^n\) 或 \(a^{-n}\) 之类的样子。
9元素的阶 ⏱ 42:36
回顾：一个群的元素个数叫这个群的阶数（\(|G|\)）。但还有一种阶数——群里边元素的阶数。元素的阶其实就是指：使得该元素的 \(n\) 次方等于单位元的最小正整数 \(n\)。元素的阶也叫周期。现在介绍的全部都是基本概念，一定要先搞清楚，后面才有办法继续其他东西。
- 若存在最小的正整数 \(n\) 使得 \(a^{n} = e\)，则称 \(n\) 为 \(a\) 的阶数（英语 order），记作 \(o(a) = n\)；
- 若这样的正整数不存在，则称 \(a\) 的阶数为 \(0\) 或 \(\infty\)（不同的地方约定不同，有时说阶数是 \(0\)，有时说是无穷大）。
- \(o(1) = 6\)：\(1\) 一直加，加到 \(5\) 次时还是 \(5 \neq 0\)，加到 \(6\) 次才变成 \(0\)，所以使 \(n \cdot 1 = 0\) 的最小 \(n\) 就是 \(6\)；
- \(o(2) = 3\)：\(2, 4, 0\)，三次回到 \(0\)。
10循环子群的两条性质 ⏱ 49:06
为什么（点击展开） ⏱ 50:14
由 \(a\) 生成的循环群，里面的元素就是
因为 \(o(a) = n\)，到 \(a^n\) 时就是单位元；所有不同的元素就是上面这 \(n\) 个，没有别的了——再写其他的 \(a^m\)，肯定会和其中某一个重复。所以 \(\langle a \rangle\) 里恰好有 \(n\) 个元素，即 \(|\langle a \rangle| = n\)。循环群（由一个元素生成的群）就是长这个样子的。
证明（点击展开）——带余除法 + 最小性 ⏱ 51:43
要证 \(n \mid m\)（即 \(m\) 是 \(n\) 的倍数）。用带余除法：设 \(m\) 除以 \(n\)，
于是
由题设 \(a^m = e\)，所以 \(a^{r} = e\)。但注意 \(r\) 严格小于 \(n\)，而按阶数的定义，\(n\) 是使得 \(a^n = e\) 的最小正整数——不可能有一个比 \(n\) 还小的正整数 \(r\) 使 \(a^r = e\)，这就矛盾（若 \(r \gt 0\)）。矛盾说明 \(r\) 只能等于 \(0\)，即 \(m = nq\)，所以
用法：以后只要看到某个元素的 \(m\) 次幂等于单位元，立刻知道 \(m\) 是该元素阶数的倍数。这个性质很容易证，但是经常用。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 混淆 \(\subseteq\) 与 \(\le\)：\(H \subseteq G\) 只是集合包含；\(H \le G\) 还要求 \(H\) 本身在同一运算下构成群。
- 用判定法二时忘记「非空」条件：空集上「任意 \(a, b \in H\)」的条件是空真成立的，但空集不是子群——课上专门更正过这一点。
- 误以为整数在乘法下是群、偶数在乘法下是子群——整数对乘法不是群（第 1 讲反例）；本讲的例子 \(2\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}\) 说的是加法。
- 忘记子群必须沿用父群的运算：例如 \(GL_n(\mathbb{R})\) 对加法不封闭，谈不上是 \((M_n(\mathbb{R}), +)\) 的子群。
- 把「群的阶 \(|G|\)」与「元素的阶 \(o(a)\)」混淆：前者是元素个数，后者是使 \(a^n = e\) 的最小正整数；两者只在循环群 \(\langle a \rangle\) 这种情形下才相等。
- 认为阶数一定是有限的：\((\mathbb{Z},+)\) 中 \(1\) 的阶是 \(\infty\)（有的书约定写 \(0\)），两种约定都要认识。
- 写 \(\langle S \rangle\) 的元素形态时漏掉逆元：上标 \(\varepsilon_i\) 取 \(\pm 1\)，元素本身和它的逆都要包含进来；\(a_i\) 是允许重复的。
- 证明 \(a^m = e \Rightarrow o(a) \mid m\) 时，忘记带余除法中 \(0 \le r \lt n\) 的范围，或没有用到「\(n\) 是最小正整数」这一条件。
✎自测与作业
- 用判定法二证明：偶数集 \(2\mathbb{Z}\) 是整数加法群 \((\mathbb{Z}, +)\) 的子群（加法记号下，判定法二写成：任意 \(a, b \in 2\mathbb{Z}\)，验证 \(a - b \in 2\mathbb{Z}\)）。
- 分别用「群的定义」与「两个判定定理」两种方法验证 \(\{e, y, y^2\} \le S_3\)，比较哪种更省事。
- 证明：\(G\) 的任意两个子群 \(H_1, H_2\) 的交集 \(H_1 \cap H_2\) 仍是 \(G\) 的子群（第 6 节命题的特殊情形）；并思考：两个子群的并集是否一定还是子群？
- 补全第 7 节的证明：先证 \(K = \{a_1^{\varepsilon_1}\cdots a_n^{\varepsilon_n}\}\) 是子群（第一步课上已给），再证第二步——若 \(H \le G\) 且 \(S \subseteq H\)，则 \(K \subseteq H\)（最小性；老师说课本上有证明，自己写一遍）。
- 计算 \(G_6 = \{0,1,2,3,4,5\}\) 中每一个元素的阶（课上已算 \(o(1) = 6\)、\(o(2) = 3\)）；并把第 1、2 讲学过的群中特殊元素的阶都算一遍作练习。
- 在 \(SL_2(\mathbb{R})\) 中，对 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)，写出 \(A^2, A^3\) 并验证 \(A^4 = I_2\)，从而确认 \(o(A) = 4\)。
- 证明：若 \(o(a) = n\)，则 \(e, a, a^2, \dots, a^{n-1}\) 两两不同，从而 \(|\langle a \rangle| = n\)（提示：若 \(a^i = a^j\)，\(0 \le i \lt j \le n-1\)，考虑 \(a^{j-i}\)）。
- 复现性质 2 的证明：若 \(o(a) = n\) 且 \(a^m = e\)，用带余除法证明 \(n \mid m\)；并用它说明：若 \(o(a) = 6\) 且 \(a^m = e\)，则 \(m\) 必为 \(6\) 的倍数。