抽象代数 · 课程学习笔记

第 24 讲 · 环的基本概念与例子（II）

Rings: Basic Concepts and Examples (II)
进度 24 / 38 讲 核心概念：环的运算律 · 零因子 · 整环 · 除环 · 域 · 模 n 剩余类环的域刻画
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◎学习目标

  1. 理解在环中二项式展开式 \((A+B)^n\) 成立的前提条件：两个元素在乘法下交换；
  2. 掌握关于标量倍 \(nA\)（\(n\) 个 \(A\) 相加）的四条基本运算律：\(n(A+B)=nA+nB\)、\((n+m)A=nA+mA\)、\((nm)A=n(mA)\)；
  3. 会证明「多元素相加的乘法分配律」\(\left(\sum A_i\right)\left(\sum B_j\right)=\sum\sum A_iB_j\)；
  4. 掌握并会证明环中零元的两条基本性质：\(A\cdot 0=0\)、\(0\cdot A=0\)；
  5. 掌握并会证明「加法逆元与乘法兼容」的性质：\((-A)B=-(AB)\)；
  6. 理解左零因子 / 右零因子 / 零因子的定义，会举出含零因子的环（矩阵环、\(\mathbb{Z}_6\)）；
  7. 掌握整环的定义（无零因子），并理解整环中消去律 \(AB=AC,\ A\neq 0 \Rightarrow B=C\)；
  8. 理解可逆元、除环、域的定义关系：域 = 交换的除环；并会证明 \(\mathbb{Z}_p\)（\(p\) 为素数）是域；
  9. 理解「域中无零因子」的论证：设 \(A\) 可逆且 \(AC=0\)，则可推出 \(C=0\)。

1回顾与引入 ⏱ 00:00

本讲延续第 24(i) 讲，继续研究环的更多例子与基本性质。前面我们已经定义了环（加法为 Abel 群、乘法满足结合律、乘法对加法满足分配律），并给出了整数环、模 \(n\) 剩余类环、矩阵环、有理数域、四元数环等例子。本讲要做两件事：

本讲路线 二项式展开（交换前提）\(\to\) 标量倍 \(nA\) 的运算律 \(\to\) 多元素分配律 \(\to\) \(A\cdot0=0\)、\((-A)B=-(AB)\) \(\to\) 零因子与整环 \(\to\) 可逆元与除环 \(\to\) 域的定义与 \(\mathbb{Z}_p\) 的证明。

2二项式展开式与交换性 ⏱ 00:03

大家熟悉中学的二项式展开式。但在环里，只有当两个元素在乘法下交换时才能使用这个公式。⏱ 00:10

性质 · 环中的二项式展开 ⏱ 00:31 设 \(R\) 为环，\(A, B \in R\)。若 \(AB = BA\)，则
\[ (A+B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^{n-k} B^{k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}. \]

2.1 为什么必须交换？ ⏱ 01:28

用 \(n=2\) 来看最清楚。按乘法和加法展开 \((A+B)^2\)：

\[ (A+B)(A+B) = A^2 + BA + AB + B^2. \]

要想把中间两项合并成 \(2AB\)，必须要求 \(BA = AB\)：⏱ 01:47

\[ BA + AB = AB + AB = 2AB \iff BA = AB. \]

否则 \(BA\) 与 \(AB\) 不能合并，二项式公式就不再成立。⏱ 02:04

注意 ⏱ 02:09 即便 \(A, B\) 单个元素与自身可以交换，两个不交换的元素也不能用二项式公式。环里乘法一般不交换（例如矩阵环、四元数环），所以这个条件不能省略。

3标量倍 \(nA\) 的运算律 ⏱ 02:29

在环中，「\(n\) 个 \(A\) 相加」（\(n\) 为自然数）记作 \(nA\)；「\(n\) 个 \(A\) 相乘」记作 \(A^n\)。⏱ 02:44 由此可以自然地问：\(nA\) 是否满足与整数运算兼容的运算律？答案是肯定的。

四条基本运算律 ⏱ 04:31 对任意 \(n, m \in \mathbb{N}\) 与 \(A, B \in R\)：
\[ n(A+B) = nA + nB \qquad\qquad (n+m)A = nA + mA \]
\[ (nm)\,A = n\,(mA) \]

它们本质上都来自加法群的交换律与结合律，证明都很直接。⏱ 05:20

4分配律的推广 ⏱ 05:24

环公理里的分配律只涉及两个元素的相加。如果两个元素都换成「多个元素相加」，结论依然成立，且形式与中学多项式乘法完全一致。

多元素分配律 ⏱ 05:40 若 \(A_1, \dots, A_m, B_1, \dots, B_n \in R\)，则
\[ \big(A_1 + A_2 + \cdots + A_m\big)\,\big(B_1 + B_2 + \cdots + B_n\big) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} A_i B_j. \]
证明（点击展开）

只需把二项分配律反复使用：⏱ 05:50

  1. 先把左端看成 \(A_1 \cdot S + A_2 \cdot S + \cdots + A_m \cdot S\)，其中 \(S = B_1 + B_2 + \cdots + B_n\)；
  2. 对每一项 \(A_i \cdot S\) 再用分配律展开为 \(A_iB_1 + A_iB_2 + \cdots + A_iB_n\)；
  3. 把所有项合并，即得 \(\sum_{i,j} A_iB_j\)。

整个过程只使用了分配律和加法结合律、交换律，完全与中学多项式乘法一致。⏱ 07:20

说明 ⏱ 07:27 这条性质看似平凡，但它是后面推导二项式公式、多项式乘法等结论的基础；在环的非交换情形里也要严格按此展开。

5零元与乘法：\(A\cdot0 = 0 = 0\cdot A\) ⏱ 07:30

在整数环里，「\(0\) 乘任何整数都得 \(0\)」是大家熟悉的。但环的定义里并没有直接写这条性质，它可以从环的公理严格推出。

性质 ⏱ 07:58 对任意 \(A \in R\)，有
\[ A\cdot 0 = 0 \qquad\text{且}\qquad 0\cdot A = 0. \]
证明（点击展开）

证明 \(A\cdot 0 = 0\)。⏱ 08:37

  1. 把 \(0\)（加法单位元）写成 \(0 = 0 + 0\)；
  2. 用分配律：\(A\cdot 0 = A(0+0) = A\cdot 0 + A\cdot 0\)；
  3. 在加法群里，若 \(X + X = X\)，则两边「减去 \(X\)」（即加 \(X\) 的加法逆元 \(-X\)）得 \(X = 0\)；这里 \(X = A\cdot 0\)；
  4. 所以 \(A\cdot 0 = 0\)。⏱ 09:21

同理可证 \(0\cdot A = 0\)（把上面的证明里 \(A\) 换成 \(0\)，把 \(0\) 换成 \(A\)）。⏱ 09:34

要点 ⏱ 09:46 证明的关键是用「加法群中 \(X+X=X\) 推出 \(X=0\)」。这是群论里「逆元唯一性」的一个直接应用。

6加法逆元与乘法：\((-A)B = -(AB)\) ⏱ 09:50

整数环里 \((-a)\cdot b = -(ab)\) 是显然的。环里同样成立，且可以严格证明。

性质 ⏱ 09:56 对任意 \(A, B \in R\)，有
\[ (-A)\,B = -(AB), \qquad A\,(-B) = -(AB). \]
证明（点击展开）

证明 \((-A)B = -(AB)\)。⏱ 10:36

  1. 由第 5 节结论，\(0\cdot B = 0\)；
  2. 把 \(0\) 写成 \(A + (-A)\)，于是 \(0\cdot B = (A + (-A))\cdot B\)；
  3. 用分配律：\((A + (-A))\cdot B = AB + (-A)B = 0\)；
  4. 这说明 \(AB\) 的加法逆元是 \((-A)B\)，即 \((-A)B = -(AB)\)。⏱ 11:07

同理可证 \(A(-B) = -(AB)\)。

推广 ⏱ 12:19 结合第 3、5、6 节，可以推出更一般的公式：\((nA)B = n(AB)\)（\(n\in\mathbb{Z}\)）。这是「标量倍」与「环乘法」之间兼容性的完整表述。

7零因子的概念 ⏱ 12:28

整数环里两个非零整数相乘永远不可能得 \(0\)。但其他环未必如此——这就引出零因子的定义。

定义 · 零因子 ⏱ 13:05 设 \(R\) 为环，\(A, B \in R\) 均为非零元素。若
\[ A \cdot B = 0, \]
则称 \(A\) 是 \(B\) 的左零因子，\(B\) 是 \(A\) 的右零因子。有时简称 \(A, B\) 都是零因子。
左 / 右的区分 ⏱ 14:00 由于环乘法未必交换，「\(A\) 在左边乘 \(B\) 得 \(0\)」与「\(B\) 在左边乘 \(A\) 得 \(0\)」是两回事。所以在非交换环里必须区分左零因子与右零因子；在交换环里两者一致，只需称「零因子」。
例 · 整数环没有零因子 ⏱ 14:18 整数环 \(\mathbb{Z}\) 中任意两个非零整数相乘仍非零，因此 \(\mathbb{Z}\) 没有零因子。这个性质将作为下一节整环定义的核心。

8整环与消去律 ⏱ 14:38

定义 · 整环（integral domain） ⏱ 14:44 一个没有零因子的（含 \(1\) 的）交换环称为整环。等价地：对任意 \(A, B \in R\)，若 \(AB = 0\)，则 \(A = 0\) 或 \(B = 0\)。
整环的例子 ⏱ 15:13 整数环 \(\mathbb{Z}\)、有理数域 \(\mathbb{Q}\)、实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)、以及数域（或整环）上的多项式环 \(F[x]\) 都是整环。⏱ 15:23 例如 \(F[x]\) 中两个非零多项式相乘仍非零——因为首项相乘不会消去（系数来自整环，无零因子）。

8.1 整环中的消去律 ⏱ 16:34

命题 · 消去律 ⏱ 16:34 设 \(R\) 为整环，\(A, B, C \in R\)。若 \(AB = AC\) 且 \(A \neq 0\)，则 \(B = C\)。
证明（点击展开）

由 \(AB = AC\)，移项得 \(A(B - C) = 0\)。⏱ 17:21

因为 \(R\) 是整环且 \(A \neq 0\)，由整环定义立即有 \(B - C = 0\)，即 \(B = C\)。

这正是中学处理有理数方程时熟悉的「约去非零因子」——其背后依赖的正是「整环无零因子」这一性质。⏱ 17:54

反例 · 有零因子的环中消去律不成立 ⏱ 18:01 考虑 \(\mathbb{Z}_6\)：\([2]\cdot[3] = [6] = [0]\)，且 \([2] \neq [0]\)、\([3] \neq [0]\)。若取 \(B = [0], C = [3]\)，则 \[ [2][0] = [0] = [2][3], \] 但 \([0] \neq [3]\)。所以在有零因子的环中，「\(AB=AC,\ A\neq0 \Rightarrow B=C\)」不成立。

9零因子的例子 ⏱ 18:01

前面讲了「没有零因子的环」（整环），现在来看含有零因子的环。

9.1 矩阵环中的零因子 ⏱ 18:08

例 · \(M_2(\mathbb{R})\) ⏱ 18:19 在高等代数中常见的现象：两个非零矩阵相乘可以得零矩阵。例如
\[ A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 3 & 4\end{pmatrix}. \]
直接计算：
\[ AB = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = 0. \]
其中 \(A \neq 0, B \neq 0\)，但 \(AB = 0\)。所以 \(A\) 是 \(B\) 的左零因子，\(B\) 是 \(A\) 的右零因子。⏱ 19:11

9.2 模 \(n\) 剩余类环中的零因子 ⏱ 19:19

例 · \(\mathbb{Z}_6\) ⏱ 19:27 \(\mathbb{Z}_6\) 的元素为 \([0],[1],\dots,[5]\)。取非零元素 \([2], [3]\)，则 \[ [2]\cdot[3] = [6] = [0]. \] 所以 \([2]\) 与 \([3]\) 都是零因子。⏱ 19:59

9.3 整环（无零因子）的例子对比 ⏱ 20:03

整环例子 ⏱ 20:11 除了整数环 \(\mathbb{Z}\)，还有：
  • 数域：有理数域 \(\mathbb{Q}\)、实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)；
  • 多项式环 \(F[x]\)（\(F\) 为数域）：两个非零多项式相乘仍非零；
  • 模素数剩余类 \(\mathbb{Z}_p\)（\(p\) 为素数）：没有零因子（下节严格证明）。
这些环的共同特征是无零因子，因此都是整环。⏱ 21:36

10可逆元与除环 ⏱ 21:52

讨论「非零元是否有逆元」需要环先有乘法单位元 \(1\)（或 \(e\)）。设 \(R\) 是带单位元的环，记 \(R^{*}\) 为 \(R\) 中所有非零元的集合（即 \(R\setminus\{0\}\)）。⏱ 22:26

定义 · 左逆元 / 右逆元 / 逆元 ⏱ 23:18 设 \(A \in R^{*}\)。
  • 若存在 \(B \in R^{*}\) 使 \(AB = 1\)，则称 \(B\) 为 \(A\) 的右逆元；
  • 若存在 \(C \in R^{*}\) 使 \(CA = 1\)，则称 \(C\) 为 \(A\) 的左逆元；
  • 若存在 \(B \in R^{*}\) 使 \(AB = BA = 1\)，则称 \(B\) 为 \(A\) 的逆元，\(A\) 为可逆元。
定义 · 除环（division ring） ⏱ 25:18 一个带单位元的环 \(R\)，若其每个非零元都是可逆元，则称 \(R\) 为除环（skew field）。
定义 · 域（field） ⏱ 25:18 若一个除环 \(R\) 还满足乘法交换，则称 \(R\) 为域（field），即「交换的除环」。
例 · 四元数环是一个除环但不是域 ⏱ 26:54 四元数环 \(\mathbb{H}\)：每个非零四元数都可逆（因此是除环），但乘法不交换（\(\mathbf{i}\mathbf{j}=\mathbf{k}\) 而 \(\mathbf{j}\mathbf{i}=-\mathbf{k}\)），所以 \(\mathbb{H}\) 是除环而不是域。⏱ 27:09
例 · 常见的域 ⏱ 27:29 实数域 \(\mathbb{R}\)、有理数域 \(\mathbb{Q}\)、复数域 \(\mathbb{C}\) 都是交换的除环，即域：每个非零元都有乘法逆元（\(p/q\) 的逆是 \(q/p\)），且乘法交换。
命题 · 域中无零因子 ⏱ 29:36 设 \(R\) 为域，\(A \neq 0\)。若 \(AC = 0\)，则 \(C = 0\)。
证明（点击展开）

因为 \(R\) 是域，\(A \neq 0\) 可逆，设其逆元为 \(B\)，即 \(BA = AB = 1\)。⏱ 30:23

由 \(AC = 0\)，两边左乘 \(B\)：\(B(AC) = B\cdot 0 = 0\)。由结合律 \(B(AC) = (BA)C = 1\cdot C = C\)。所以 \(C = 0\)。⏱ 31:47

因此「两个非零元相乘等于 \(0\)」在域中不可能发生——域中没有零因子。这与整环的定义相呼应，但论证方式不同（用可逆性而不是无零因子）。⏱ 32:31

11\(\mathbb{Z}_p\) 是域（\(p\) 为素数） ⏱ 32:50

前面看到 \(\mathbb{Z}_6\) 有零因子（\([2][3]=[0]\)），但 \(\mathbb{Z}_5\) 没有。区别在哪里？答案是模数 \(n\) 是否为素数。

命题 ⏱ 33:42 设 \(p\) 为素数，则模 \(p\) 剩余类环 \(\mathbb{Z}_p = \{[0], [1], \dots, [p-1]\}\) 是域。

要证 \(\mathbb{Z}_p\) 是域，只需证「每个非零元都是可逆元」（加法为 Abel 群、乘法交换、分配律已在模 \(n\) 剩余类环中验证）。⏱ 35:44

证明（点击展开）

任取非零元 \([k] \in \mathbb{Z}_p\)，\(1 \le k \le p-1\)。⏱ 35:14

  1. 因为 \(p\) 为素数，\(\gcd(k, p) = 1\)（任何与 \(p\) 互素的非零整数模 \(p\) 都互素）；⏱ 35:25
  2. 由Bézout 恒等式，存在整数 \(m, n\) 使 \(km + pn = 1\)；⏱ 35:44
  3. 两边模 \(p\)：\(km \equiv 1 \pmod{p}\)，即 \([k]\cdot[m] = [1]\)；⏱ 36:04
  4. 所以 \([k]\) 可逆，其逆元为 \([m]\)。

任意非零元都可逆，乘法交换，故 \(\mathbb{Z}_p\) 是交换的除环，即域。⏱ 36:44

等价刻画 ⏱ 37:05 对 \(n \ge 2\)，\(\mathbb{Z}_n\) 是域 当且仅当 \(n\) 为素数。
  • 若 \(n = p\) 为素数：由上面的证明，\(\mathbb{Z}_p\) 是域；
  • 若 \(n = ab\)（\(a, b > 1\)）：则 \([a]\cdot[b] = [ab] = [0]\)，但 \([a]\neq[0], [b]\neq[0]\)，即 \([a], [b]\) 都是零因子——所以 \(\mathbb{Z}_n\) 不是域。
这条刻画把「零因子是否存在」与「模数是否为素数」直接联系起来。⏱ 37:50

11.1 域的另一种定义 ⏱ 37:26

回顾：环 \(R\) 若满足「关于加法为 Abel 群，关于乘法 \(R^*\)（非零元）构成 Abel 群，且乘法对加法满足分配律」，则 \(R\) 是域。这与「交换的除环」是等价的定义。本讲后半段把「域」视为「满足额外条件的特殊环」：⏱ 38:15

层次关系 ⏱ 39:36 群（一个集合 + 一个运算）\(\subset\) 环（一个集合 + 两个运算：加法为 Abel 群、乘法结合、分配律）\(\subset\) 除环（环 + 每个非零元可逆）\(\subset\) 域（交换的除环）。域是比环条件更强的代数结构。
预告 ⏱ 39:56 下一讲将继续讨论环的更多性质与例子（如幂零元、幂零环、对称环与反反对称环等），并进一步研究域的结构。

★重点回顾

1
二项式展开的前提：环中 \((A+B)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}A^{n-k}B^{k}\) 只在 \(AB=BA\) 时成立；\(n=2\) 时展开为 \(A^2 + BA + AB + B^2\)，合并中项需 \(BA=AB\)。
2
标量倍 \(nA\) 的运算律：\(n(A+B)=nA+nB\)、\((n+m)A=nA+mA\)、\((nm)A=n(mA)\)；本质来自加法群的交换结合律。
3
多元素分配律：\(\left(\sum_i A_i\right)\left(\sum_j B_j\right)=\sum_i\sum_j A_iB_j\)，反复使用二项分配律即可。
4
零元与乘法：\(A\cdot0 = 0 = 0\cdot A\)。证明核心：\(A\cdot0 = A(0+0) = A\cdot0 + A\cdot0\)，在加法群中 \(X+X=X\) 推出 \(X=0\)。
5
加法逆元与乘法：\((-A)B = -(AB)\)。证明核心：\((A+(-A))B = 0\)，分配律展开得 \(AB + (-A)B = 0\)，故 \((-A)B\) 是 \(AB\) 的加法逆元。
6
零因子：\(A,B\neq0\) 但 \(AB=0\)；\(A\) 是 \(B\) 的左零因子，\(B\) 是 \(A\) 的右零因子（非交换环中需区分）。例子：\(M_2(\mathbb{R})\) 中 \(\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}\) 与 \(\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}\)；\(\mathbb{Z}_6\) 中 \([2]\cdot[3]=[0]\)。
7
整环：无零因子的（含 \(1\) 的）交换环；例子：\(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, F[x], \mathbb{Z}_p\)（\(p\) 素数）。整环中消去律：\(AB=AC,\ A\neq0 \Rightarrow B=C\)。
8
除环与域：带 \(1\) 的环 + 每个非零元可逆 = 除环；再加乘法交换 = 域。例：\(\mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{C}\) 是域；四元数环 \(\mathbb{H}\) 是除环但不是域。
9
域中无零因子：设 \(R\) 为域，\(A\neq0\)，若 \(AC=0\)，则两边左乘 \(A\) 的逆元 \(B\) 得 \(C=(BA)C=1\cdot C=0\)。
10
\(\mathbb{Z}_p\) 是域（\(p\) 素数）：用 Bézout 恒等式——\(k\) 与 \(p\) 互素，存在 \(m,n\) 使 \(km+pn=1\)，模 \(p\) 得 \([k]\cdot[m]=[1]\)。等价刻画：\(\mathbb{Z}_n\) 是域 \(\iff n\) 为素数。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 二项式公式在环中随便用：只有当 \(AB=BA\) 时才能用。非交换环（如矩阵环、四元数环）中 \((A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2\)，正确展开是 \(A^2 + BA + AB + B^2\)。
  2. 把 \(nA\) 与 \(A^n\) 混淆：\(nA\) 是「\(n\) 个 \(A\) 相加」（加法倍），\(A^n\) 是「\(n\) 个 \(A\) 相乘」（乘法幂）。两者完全不同。
  3. 把「\(A\cdot0=0\)」当成环公理直接引用：环公理只给了加法单位元 \(0\)、乘法结合律、分配律；\(A\cdot0=0\) 必须推导（用分配律 + 加法群中 \(X+X=X\Rightarrow X=0\)）。
  4. 把 \(AB=0\) 直接推出 \(A=0\) 或 \(B=0\)：这在一般环中不成立，只在对「无零因子的环」（整环）中成立。例如矩阵环与 \(\mathbb{Z}_6\) 中都有零因子。
  5. 混淆「整环」与「除环」：整环强调无零因子；除环强调每个非零元可逆。域 = 交换的除环 = 无零因子的「每个非零元可逆」的环。四元数环是除环但不是域（乘法不交换）。
  6. 认为 \(\mathbb{Z}_n\) 总是域：仅当 \(n\) 为素数时 \(\mathbb{Z}_n\) 是域；当 \(n\) 为合数时一定有零因子，故不是域。
  7. 把「左零因子」与「右零因子」混为一谈：在非交换环中，\(AB=0\)（\(A\) 是 \(B\) 的左零因子）与 \(BA=0\)（\(B\) 是 \(A\) 的左零因子）是两种不同现象，需分别讨论。

✎自测与作业

  1. 设 \(A, B\) 是环 \(R\) 中不交换的元素。写出 \((A+B)^2\) 的正确展开式，并说明为什么不能写成 \(A^2 + 2AB + B^2\)。再证明：若 \(AB=BA\)，则 \((A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3\)。
  2. 证明环中两条基本性质：\(A\cdot0 = 0\) 与 \((-A)B = -(AB)\)。（提示：对 \(A\cdot0\) 用分配律与加法群的逆元唯一性；对 \((-A)B\) 把 \(0 = A+(-A)\) 乘以 \(B\)。）
  3. 在 \(\mathbb{Z}_6\) 中，验证 \([2]\) 与 \([3]\) 都是零因子。举出 \(A, B, C \in \mathbb{Z}_6\) 使 \(AB = AC\) 但 \(B \neq C\)，并说明为什么「整环中消去律」在 \(\mathbb{Z}_6\) 中不成立。
  4. 设 \(R\) 为除环，\(A \in R^{*}\)。证明：若 \(AC = 0\)，则 \(C = 0\)。（即除环中没有零因子。）
  5. （作业）证明：对 \(n \ge 2\)，\(\mathbb{Z}_n\) 是域当且仅当 \(n\) 为素数。提示：\((\Rightarrow)\) 用反证：若 \(n = ab\)（\(a,b>1\)），则 \([a],[b]\) 为零因子；\((\Leftarrow)\) 用 Bézout 恒等式：\([k]\)（\(1\le k\le p-1\)）与 \([p]\) 互素，故可逆。
  6. 设 \(R\) 为带 \(1\) 的环，\(A \in R\) 可逆（即存在 \(B\) 使 \(AB=BA=1\)）。证明：(a) 逆元唯一；(b) \(A^2\) 可逆，且其逆元为 \(A^{-2}\)；(c) \(A^n\)（\(n\ge1\)）可逆，且 \((A^n)^{-1} = (A^{-1})^n\)。
下一讲预告 第 25 讲 · 环的基本概念与例子（iii）：继续讨论环的更多性质与例子（如幂零元、幂零环、对称环等），并进一步研究域的结构与性质。