抽象代数 · 第20讲 · 可解群

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◎学习目标

理解可解群（solvable group）在伽罗瓦理论中的地位：多项式方程可根式解 $\Longleftrightarrow$ 其伽罗瓦群是可解群；
掌握正规群列与上因子（successive factor）的定义，知道正规子群关系没有传递性；
掌握换位子（交换子） $a,b = a^{-1}b^{-1}ab$ 的定义，理解换位子子群 $G' = [G,G]$ 是 $G$ 的正规子群；
熟记关键定理：$G/G'$ 必为交换群，且 $G'$ 是使商群交换的最小的正规子群；
掌握可解群的定义（导出子群列 $G^{(i)}$ 降为平凡群）及等价定义（正规群列的上因子皆交换）；
会判断常见群的可解性：$p$-群必可解、$S_3$ 可解、四元数群 $Q_8$ 可解、$A_n$（$n\ge5$）不可解、$S_n$（$n\ge5$）不可解；
掌握可解群的封闭性：子群、满同态像仍为可解群；若 $K \lhd G$ 且 $K$、$G/K$ 均可解，则 $G$ 可解。

0引言：为什么需要可解群 ⏱ 00:00

可解群是群论中非常重要的概念。后面学习伽罗瓦理论时会看到一个核心结论：
一个多项式方程能够根式解（用系数做有限次四则运算与开方表示根），当且仅当它对应的伽罗瓦群是可解群。若伽罗瓦群不可解，则方程没有根式解。
这是伽罗瓦理论最重要的结论之一，它把「方程能否根式解」这一代数问题，翻译成了群论中「群是否可解」的结构问题。

本讲路线图本讲的目标是搞清楚什么叫可解群、可解群有哪些性质、有哪些例子与反例。路线：

先讲两个预备概念：正规群列（含上因子）与换位子子群；
给出可解群的定义（基于导出子群列 $G^{(i)}$）；
第一个重要例子：$p$-群必可解；
第一个反例：$A_n$（$n\ge5$）不可解，从而 $S_n$ 也不可解；
给出等价定义（基于正规群列 + 交换上因子），并用它判断更多例子：$S_3$、$Q_8$。

1正规群列与上因子 ⏱ 01:01

定义 · 正规群列（normal series）设 $G$ 是一个群。若存在 $G$ 的群列

\{e\} = G_0 \,\lhd\, G_1 \,\lhd\, G_2 \,\lhd\, \cdots \,\lhd\, G_k = G,

即最小组是含单位元的平凡群，最大组是 $G$ 本身，且中间每一个 $G_i$ 都是 $G_{i+1}$ 的正规子群，则称这一串群为 $G$ 的一个正规群列（正规子群列）。

注意 · 正规子群没有传递性正规子群关系 $\lhd$ 不满足传递性： \[ G_0 \lhd G_1,\ G_1 \lhd G_2 \quad \Longrightarrow \quad G_0 \lhd G_2 \ \ \text{不一定成立！} \] 对比：子群关系是有传递性的——若 $H \le K \le G$，则 $H \le G$。但「$H$ 是 $K$ 的正规子群、$K$ 是 $G$ 的正规子群」推不出 $H$ 是 $G$ 的正规子群。老师特别强调这一点要记牢（之前学子群时已经出现过反例）：正规性 ≠ 子群关系的传递闭包。

定义 · 上因子（successive factor）有了正规群列 $G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_k = G$ 之后，因为每个 $G_i$ 是 $G_{i+1}$ 的正规子群，所以每个相邻商

G_{i+1} / G_i

都是良定义的商群。这些商群称为该正规群列的上因子（也叫逐段因子）。

后面我们将利用「正规群列 + 上因子」的结构来给出可解群乃至幂零群（下一部分课程）的定义。

2换位子子群（交换子子群） ⏱ 03:31

回顾子群部分见过的概念：对 $a, b \in G$，用中括号记两个元素的换位子（comutator，也常称交换子）：

[a, b] \;=\; a^{-1}\, b^{-1}\, a\, b.

若 $a, b$ 交换（$ab = ba$），则 $[a,b] = e$；若不交换，则 $[a,b] \neq e$。换位子刻画了两元素「交换程度」的信息。
由所有换位子 $[a,b]$（连同其乘积与逆元）生成的子群称为换位子子群，记作 $G' \;=\; [G,G] \;=\; \langle\, [a,b] \ \mid\ a, b \in G \,\rangle.$
前面（子群章节）已证明：$G'$ 是 $G$ 的正规子群，因此常用 $G'$ 或 $G^{\text{ab}}$ 一类记号指代它；本讲也见到写作 $G^{(1)}$（一阶导出子群）。

2.1 关键定理 ⏱ 04:49

定理 · $G/G'$ 是交换群，且 $G'$ 是最小的

商群 $G/G'$ 是交换群；
$G'$ 是使 $G$ 关于它交换的最小的正规子群：若 $K \lhd G$ 且 $G/K$ 是交换群，则 $G' \subseteq K$。

这条性质在后面证明可解群定义时会反复使用。

证明（点击展开）

第一部分：$G/G'$ 是交换群。商群中的元素是陪集 $aG'$、$bG'$（$a, b \in G$）。要证交换，只需证对任意 $a, b \in G$， \[ aG'\, bG' = bG'\, aG'. \] 由陪集（商群）运算规则， \[ aG'\, bG' = ab\,G', \qquad bG'\, aG' = ba\,G'. \] 于是只需证 $ab\,G' = ba\,G'$，等价于 $ab\, (ba)^{-1} \in G'$，即 $ab\,a^{-1}b^{-1} \in G'$。注意 $ab\,a^{-1}b^{-1} = b^{-1}a^{-1}ba = [b,a]$ 是换位子，属于 $G'$。故两陪集相等，$G/G'$ 交换。

（老师的证法：在 $ab\,G'$ 中插入四个元素 $a, a^{-1}, b, b^{-1}$——成对抵消后整体不变——于是 \[ ab = a a^{-1} b b^{-1} ab \,\cdot\, (\text{调整顺序}) \] 可重写为 $[b,a]\,ba$，其中 $[b,a] \in G'$，而子群对运算封闭，故 $[b,a]\,ba$ 所在陪集就是 $ba\,G'$。两种方式殊途同归，核心都是把 $ab$ 与 $ba$ 相差一个换位子。）

第二部分：最小性。设 $K \lhd G$ 且 $G/K$ 是交换群。对任意 $a, b \in G$，由商群交换得 $aK \cdot bK = bK \cdot aK$，即 $abK = baK$。由陪集相等判据（陪集的性质），$abK = baK \iff ba^{-1}b^{-1}a \in K$（即把 $b^{-1}a^{-1}$ 左乘到等式两边，元素归到 $K$ 中）。而 $ba^{-1}b^{-1}a$ 正是换位子 $[b,a]$（属于 $G$ 中任意的换位子形式）。于是所有换位子 $[a,b]$ 都属于 $K$，由 $G'$ 由换位子生成，得 $G' \subseteq K$。

记号约定（本讲统一）

换位子：$[a,b] = a^{-1}b^{-1}ab$；
换位子子群：$G' = [G,G]$（也写作 $G^{(1)}$，一阶导出子群）；
二阶导出子群 $G^{(2)} = [G',G'] = (G')'$；$k$ 阶导出子群 $G^{(k)}$ 由 $G^{(k)} = [G^{(k-1)}, G^{(k-1)}]$ 递归定义。

3可解群的定义 ⏱ 10:09

定义 · 导出子群列记 $G^{(0)} = G$，$G^{(1)} = G'$（$G$ 的换位子子群），$G^{(2)} = (G')'$，一般地

G^{(k)} \;=\; \big[ G^{(k-1)},\, G^{(k-1)} \big] \quad (k \ge 1).

因每个 $G^{(k)}$ 是 $G^{(k-1)}$ 的换位子子群，而换位子子群必为正规子群，故 \[ G = G^{(0)} \,\lhd\, G^{(1)} \,\lhd\, G^{(2)} \,\lhd\, \cdots \] 构成一个正规群列（导出子群列）。

定义 · 可解群（solvable group）若存在 $n \ge 0$，使得

G^{(n)} \;=\; \{e\},

即 $G$ 的 $n$ 阶导出子群是只含单位元的平凡群，则称 $G$ 为可解群（解得通的群 / solvable / resolvable group）。最小的这样的 $n$ 称为 $G$ 的可解长度（solvable length / derived length）。

判断方法要判断一个群 $G$ 是否可解：从 $G$ 开始反复取换位子子群（$G \to G' \to G'' \to \cdots$），若某一步到达平凡群 $\{e\}$，则 $G$ 可解；若到达某个非平凡的自身不动群列则不可解（后面看 $A_n$）。特例：交换群的换位子子群是平凡群（所有元素两两交换 $\Rightarrow$ 所有换位子 $= e$），故交换群都可解（$G^{(1)} = \{e\}$）。

直接推论 · 交换群可解若 $G$ 是交换群，则 $G' = \{e\}$，故 $G^{(1)} = \{e\}$，$G$ 可解（可解长度为 1）。

4$p$-群必是可解群 ⏱ 12:20

定义 · $p$-群设 $p$ 为素数。若有限群 $G$ 的阶 $|G| = p^N$（$N$ 为正整数），则称 $G$ 为一个 $p$-群。

定理 · $p$-群必可解任何 $p$-群都是可解群。

证明（对 $|G|$ 归纳，点击展开）

预备结论（群论章节已证）：有限 $p$-群的中心 $Z(G)$ 非平凡，即 $|Z(G)| \ge p$（严格大于 1）；且群的中心总是该群的正规子群，$Z(G) \lhd G$。

归纳（对 $|G|$）：

因 $Z(G) \neq \{e\}$，阶 $|Z(G)| = p^m$（$m \ge 1$）严格小于 $|G| = p^N$。考虑商群 $G / Z(G)$（正规子群的商群），它仍是 $p$-群（阶为 $p^{N-m}$）。
由归纳假设，$G/Z(G)$ 可解：存在 $n$，使 $(G/Z(G))^{(n)} = \{e\}$（这里的 $e$ 是商群的单位元，即陪集 $Z(G)$）。
由导出子群与同态的相容性（下一节将正式证明）：$(G/Z(G))^{(n)} = G^{(n)} / Z(G)$。令它等于平凡商群，说明 $G^{(n)} \subseteq Z(G)$。
再取一次导出子群：$G^{(n+1)} = [G^{(n)}, G^{(n)}] \subseteq [Z(G), Z(G)]$。而 $Z(G)$ 是交换群（群中心的元素与所有元素交换），交换群的换位子子群平凡，故 $[Z(G), Z(G)] = \{e\}$，即 $G^{(n+1)} = \{e\}$。

由可解群定义，$G$ 可解。归纳成立，故任何 $p$-群可解。

注证明中用到的「商群的导出子群 = 原群导出子群的像」这一事实，将在下一节（同态相容性）正式证明；可解群定义成立后即为现成工具。

5可解群的封闭性：子群、同态像与正规子群 ⏱ 17:04

定理（三条封闭性结论）

子群闭包：可解群的任意子群仍是可解群。
满同态像闭包：可解群的满同态像仍是可解群。
正规子群-商群拼接：设 $K \lhd G$，若 $K$ 与 $G/K$ 均可解，则 $G$ 可解。

证明（三条，点击展开）

(1) 子群闭包。设 $G$ 可解，$H \le G$。因 $H$ 中的换位子都在 $H$ 内（换位子是 $H$ 中元素的乘积），可归纳得出 $H^{(i)} \subseteq G^{(i)}$ 对所有 $i$ 成立。存在 $n$ 使 $G^{(n)} = \{e\}$，则 $H^{(n)} \subseteq \{e\}$，故 $H^{(n)} = \{e\}$，$H$ 可解。

(2) 满同态像闭包。设 $\varphi: G \twoheadrightarrow K$ 为满同态（一般情形下只研究像 $\varphi(G)$，故不妨设 $\varphi$ 满射）。由同态与换位子相容， \[ \varphi\big([a,b]\big) = [\varphi(a), \varphi(b)] \] 对所有 $a,b \in G$ 成立；由此归纳得 $\varphi\big(G^{(i)}\big) = K^{(i)}$。存在 $n$ 使 $G^{(n)} = \{e\}$，则 \[ K^{(n)} = \varphi\big(G^{(n)}\big) = \varphi(\{e\}) = \{e\}, \] 故 $K$ 可解。

(3) 正规子群-商群拼接。设 $K \lhd G$，$K$ 可解（$\exists m: K^{(m)} = \{e\}$），$G/K$ 可解（$\exists n: (G/K)^{(n)} = \{e\}$）。由 (2) 的相容性 $(G/K)^{(n)} = G^{(n)}/K$，得 $G^{(n)} \subseteq K$。再与 $K$ 的可解性结合：$G^{(m+n)} = [G^{(n)}, \cdots]$（共 $m$ 次再导出）落在 $K^{(m)} = \{e\}$ 中，故 $G^{(m+n)} = \{e\}$，$G$ 可解。

重要 · 第 (1) 条的用途结论「可解群的子群仍为可解群」是下一节证明 $S_n$（$n\ge5$）不可解的关键工具：若 $S_n$ 可解，则其子群 $A_n$ 也必可解——但我们将直接证明 $A_n$ 不可解，从而矛盾。

预告第 (3) 条「正规子群 + 商群可解 $\Rightarrow$ 全群可解」在后面讲幂零群时还会再次出现，请留意。

6$A_n$ 不可解（$n \ge 5$） ⏱ 23:34

结论 · $S_n$（$n\ge5$）不可解交错群 $A_n$（$n \ge 5$）不是可解群；从而对称群 $S_n$（$n \ge 5$）也不是可解群。这是伽罗瓦理论中的标志性结果——它解释了为何「一般五次方程没有根式解」（五次以上方程的伽罗瓦群含 $A_5$，不可解）。

6.1 预备：$A_n$ 是单群（$n \ge 5$）

事实 · $A_n$ 单群前面已证明：$n \ge 5$ 时，$A_n$ 是单群（simple group）——它没有非平凡的正规子群，即 $A_n$ 与 $\{e\}$ 之间不存在任何其他正规子群。

6.2 推导 $A_n$ 不可解

证明（点击展开）

设 $n \ge 5$。由 $A_n$ 单群性质与「导出子群必为正规子群」（第 2 节已证），$A_n'$ 作为 $A_n$ 的正规子群只有两种可能：

A_n' \;=\; \{e\} \quad \text{或} \quad A_n' \;=\; A_n.

但 $A_n$（$n \ge 3$）是非交换群（例如 $A_5$ 含不相交的换位子非平凡；$S_n$ 非交换且 $n\ge3$），故其换位子子群不可能为平凡群（若 $A_n' = \{e\}$ 则 $A_n$ 交换，矛盾）。于是唯一可能是：

A_n' \;=\; A_n.

由此归纳得 $A_n^{(k)} = A_n$ 对所有 $k$ 成立，永远达不到平凡群 $\{e\}$，故 $A_n$ 不可解。

6.3 由 $A_n$ 推到 $S_n$

证明 $S_n$ 不可解（点击展开）

假设 $S_n$（$n \ge 5$）可解。由第 5 节定理 (1)「可解群的子群仍为可解群」，$S_n$ 的子群 $A_n$ 也应可解。但 6.2 已证 $A_n$ 不可解——矛盾。故 $S_n$（$n \ge 5$）不可解。

关键逻辑链 $S_n$ 可解 $\Rightarrow$ $A_n$ 可解（子群闭包）$\Rightarrow$ 与「$A_n$ 单群且非交换 $\Rightarrow$ $A_n' = A_n$ 不动 $\Rightarrow$ 不可解」矛盾。因此 $S_n$（$n\ge5$）不可解。

7可解群的等价定义 ⏱ 26:59

定义（等价）· 正规群列 + 交换上因子设 $G$ 是群。则以下两条等价：

$G$ 可解：存在 $n$ 使 $G^{(n)} = \{e\}$；
存在 $G$ 的正规群列 $G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_s = G$，使得每个上因子 $G_{i+1}/G_i$ 都是交换群。

这就是可解群的第二种（等价）刻画：「存在正规群列，上因子全交换」。用它判断可解性往往比反复取导出子群更方便。

证明（双向，点击展开）

(1) $\Rightarrow$ (2)：可解 $\Rightarrow$ 存在上因子全交换的正规群列。
若 $G$ 可解，有导出子群列 \[ G = G^{(0)} \lhd G^{(1)} \lhd \cdots \lhd G^{(n)} = \{e\}. \] 这本身就是一个正规群列（每个 $G^{(i)}$ 是 $G^{(i-1)}$ 的换位子子群，必为正规子群；倒序即得 $G_0 = \{e\} \lhd G_1 = G^{(n-1)} \lhd \cdots \lhd G_n = G$）。对每个相邻商 $G^{(i-1)}/G^{(i)}$：由第 2 节定理，任何群关于其换位子子群的商必为交换群，故每个上因子都是交换群。

(2) $\Rightarrow$ (1)：上因子全交换 $\Rightarrow$ 可解。
设有正规群列 $G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_s = G$，且每个 $G_{i+1}/G_i$ 交换。关键观察：因 $G_i/G_{i-1}$ 是交换的，由第 2 节定理 (2)「使商交换的最小正规子群」，$G_i'$（$G_i$ 的换位子子群）必包含在 $G_{i-1}$ 中：

G_i' \;\subseteq\; G_{i-1}.

归纳推进指标：$G^{(k)}$（$G$ 的 $k$ 阶导出子群）满足

\[ G^{(k)} \;\subseteq\; G_{s-k} \quad (\text{指标偏移 } k). \] （\(k=1\)：\(G' = G_s' \subseteq G_{s-1}\)；\(k=2\)：\(G'' = (G')' \subseteq (G_{s-1})' \subseteq G_{s-2}\)；逐次下沉。） 取 \(k = s\)，得 \(G^{(s)} \subseteq G_0 = \{e\}\)，故 \(G^{(s)} = \{e\}\)，\(G\) 可解。

两种判断方法对照

定义式：看导出子群列 $G^{(i)}$ 何时落到 $\{e\}$；
等价式：找一条正规群列，验证各上因子 $G_{i+1}/G_i$ 是否都是交换群（或更弱：循环群）。

对结构已知的群（如 $S_3$、$Q_8$），等价式通常更直接。

8更多例子：$S_3$ 与四元数群 $Q_8$ ⏱ 33:56

8.1 $S_3$ 是可解群 ⏱ 33:56

例 · $S_3$ 可解 $S_3$（3 阶对称群，6 个元素）含正规子群 $A_3$（指数 2 的子群必为正规子群；$A_3$ 是 3 阶循环群，由 $(123),(132),e$ 组成）。取正规群列 \[ \{e\} \lhd A_3 \lhd S_3, \] 两个上因子分别为：

$S_3/A_3$：阶为 2，是二阶循环群（交换）；
$A_3/\{e\} \cong A_3$：阶为 3，是三阶循环群（交换）。

上因子全为交换群，故 $S_3$ 可解（可解长度 2；事实上 $S_3' = A_3$，$S_3'' = \{e\}$）。

8.2 四元数群 $Q_8$ 是可解群 ⏱ 35:13

例 · $Q_8$ 可解（两条路线）四元数群 $Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$（第 1 讲已介绍），关系：

i^2 = j^2 = k^2 = -1,\quad ij = -ji = k,\quad jk = -kj = i,\quad ki = -ik = j.

路线一（等价定义）：取正规群列 \[ \{1\} \lhd \{\pm 1\} \lhd \{\pm 1, \pm i\} \lhd Q_8. \] 各段指数均为 2（指数 2 子群必为正规子群），故逐层都是正规子群；三个上因子 $Q_8/\{\pm1,\pm i\}$、$\{\pm1,\pm i\}/\{\pm1\}$、$\{\pm1\}/\{1\}$ 的阶依次为 2、2、2，都是二阶循环群（交换）。上因子全交换，故 $Q_8$ 可解。

路线二（$p$-群定理）：$|Q_8| = 8 = 2^3$，$Q_8$ 是 $2$-群（$p$-群）；由第 4 节定理「$p$-群必可解」，$Q_8$ 可解。两种方法结论一致。

8.3 小结表

群	阶	可解？	判定依据
交换群（任意）	—	可解	$G' = \{e\}$（可解长度 1）
$p$-群（$\|G\| = p^N$）	$p^N$	可解	第 4 节定理（归纳 + 中心非平凡）
$S_3$	6	可解	$\{e\} \lhd A_3 \lhd S_3$，上因子 $C_3, C_2$ 均交换
$Q_8$	8	可解	$2$-群；或正规群列 $\{1\}\lhd\{\pm1\}\lhd\{\pm1,\pm i\}\lhd Q_8$
$A_n$（$n \ge 5$）	$n!/2$	不可解	单群且非交换 $\Rightarrow A_n' = A_n$ 不动
$S_n$（$n \ge 5$）	$n!$	不可解	若可解则 $A_n$ 可解，矛盾
$S_4$	24	可解	取正规群列 $\{e\}\lhd V_4 \lhd A_4 \lhd S_4$，上因子 $V_4/\{e\}$、$A_4/V_4$、$S_4/A_4$ 全为交换群（本讲练习 1）

★重点回顾

可解群：存在 $n$ 使 $G^{(n)} = \{e\}$，其中 $G^{(0)}=G$，$G^{(k)}=[G^{(k-1)}, G^{(k-1)}]$；最小这样的 $n$ 称可解长度。可解群是伽罗瓦理论中「多项式方程根式可解」的群论刻画。

换位子 $[a,b] = a^{-1}b^{-1}ab$；换位子子群 $G'=[G,G]$ 是 $G$ 的正规子群；$G/G'$ 必交换，且 $G'$ 是使 $G$ 关于它交换的最小的正规子群。

正规群列 $G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_k$，相邻商 $G_{i+1}/G_i$ 称上因子；正规子群关系没有传递性（$H\lhd K\lhd G$ 推不出 $H\lhd G$）。

等价定义：$G$ 可解 $\Longleftrightarrow$ 存在正规群列，使每个上因子都是交换群。两个方向分别依赖「群关于其换位子子群的商必交换」与「上因子交换 $\Rightarrow$ 换位子子群下沉」。

$p$-群必可解：对 $|G|$ 归纳，关键用的是「$p$-群中心非平凡」+「商群仍是 $p$-群」+「归纳假设：商可解 $\Rightarrow$ $G^{(n)} \subseteq Z(G)$」+「$Z(G)$ 交换 $\Rightarrow$ 再取一次导出子群即平凡」。

封闭性：可解群的子群、满同态像仍为可解群；若 $K\lhd G$ 且 $K$、$G/K$ 均可解，则 $G$ 可解（正规子群-商群拼接）。

不可解的标志：$A_n$（$n\ge5$）是单群且非交换 $\Rightarrow A_n'=A_n$ 不动 $\Rightarrow$ $A_n$ 不可解；从而 $S_n$（$n\ge5$）不可解。这就是五次以上一般方程不可根式解的群论根源。

⚠易错点提醒

常见错误

误以为正规子群关系有传递性：$H \lhd K$, $K \lhd G$ 不能推出 $H \lmid G$。这是本讲开讲就强调的「坑」。
混淆两种等价刻写的方向：从「上因子全交换」推出「$G$ 可解」时，关键不等式是 $G^{(k)} \subseteq G_{s-k}$（指标下沉），不要写成 $G^{(k)} \supseteq G_{s-k}$。
误用 $A_n$ 单群性质：单群 = 无非平凡正规子群，但 $A_n$ 有非平凡子群（如 3-循环生成 $\langle (123)\rangle$）；单群限制的是正规子群，不是子群。
把「$A_n' = A_n$ 不动」当作可解的：恰恰相反，$G' = G$（不动）说明导出子群列永远到不了平凡群，是不可解的典型特征（如 $A_5, A_6, \dots$）。
$p$-群可解的归纳基数：$p$-群可解性的证明依赖「$p$-群中心非平凡」这一结论，若中心为 $\{e\}$（如 $S_3$、$A_4$），归纳法就卡住——所以该定理只适用于 $p$-群，不能推广到任意群。
混淆 $S_4$ 与 $S_5$：$S_4$ 可解（$S_4$ 的阶 24 = $2^3 \cdot 3$，正规群列 $\{e\}\lhd V_4 \lhd A_4 \lhd S_4$ 上因子全交换）；而 $S_5$ 不可解。分水岭在 $n=4$ 与 $n=5$ 之间，故「$S_n$ 可解 $\Leftrightarrow n \le 4$」是最小反例情形，不要误写成「$n \le 5$」。

✎自测与作业

用等价定义证明 $S_4$ 可解：取正规群列 $\{e\} \lhd V_4 \lhd A_4 \lhd S_4$（其中 $V_4 = \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$ 为 Klein 四元群），逐一验证每个上因子都是交换群。
验证 $Q_8$ 的导出子群列：$Q_8' = \{\pm 1\}$（因为 $Q_8$ 的商群 $Q_8/\{\pm1\}$ 是同构于 $V_4$ 的交换群），$Q_8'' = \{1\}$。写出 $Q_8$ 的三条换位子（如 $[i,j]$、$[i,k]$、$[j,k]$），确认它们都属于 $\{\pm1\}$。
用「$p$-群必可解」定理判断：二阶循环群 $C_2$、八阶循环群 $C_8$、二阶克莱因四元群 $V_4$ 是否可解？（提示：$V_4$ 的阶 4 = $2^2$，是 $2$-群）
设 $G$ 是群，$K \lhd G$。证明：若 $K$ 可解且 $G/K$ 可解，则 $G$ 可解（写出具体步骤，用到第 5 节定理 (3) 的证明结构）。
证明：若 $G$ 是有限交换群，则 $G$ 可解且可解长度 $\le 1$；若 $G$ 是有限非交换群但 $G' = \{e\}$（例如不可能出现的情形），说明矛盾。
（延伸，下一讲会用到）设 $G$ 为有限群，若 $G$ 有一个正规子群列 $G_0 \lhd G_1 \lhd \cdots \lhd G_k = G$ 且所有上因子 $G_{i+1}/G_i$ 的阶都是素数，则 $G$ 可解。请给出证明（提示：素数阶群必为循环群，循环群必为交换群）。

下一讲预告第 23 讲：幂零群（nilpotent group）（课程讲号从 20 跳到 23）。幂零群是另一类结构良好的群，与可解群有联系又有区别：幂零群用中心列判定（$Z_{i+1}/Z_i = Z(G/Z_i)$）而非导出子群列；且「幂零 $\Rightarrow$ 可解」但「可解 $\nRightarrow$ 幂零」（$S_3$ 可解但不幂零）。

第 20 讲 · 可解群

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◎学习目标

0引言：为什么需要可解群 ⏱ 00:00

1正规群列与上因子 ⏱ 01:01

2换位子子群（交换子子群） ⏱ 03:31

2.1 关键定理 ⏱ 04:49

3可解群的定义 ⏱ 10:09

4\(p\)-群必是可解群 ⏱ 12:20

5可解群的封闭性：子群、同态像与正规子群 ⏱ 17:04

6\(A_n\) 不可解（\(n \ge 5\)） ⏱ 23:34

6.1 预备：\(A_n\) 是单群（\(n \ge 5\)）

6.2 推导 \(A_n\) 不可解

6.3 由 \(A_n\) 推到 \(S_n\)

7可解群的等价定义 ⏱ 26:59

8更多例子：\(S_3\) 与四元数群 \(Q_8\) ⏱ 33:56

8.1 \(S_3\) 是可解群 ⏱ 33:56

8.2 四元数群 \(Q_8\) 是可解群 ⏱ 35:13