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◎学习目标
- 回顾 Sylow 定理中关于 Sylow \(p\)-子群个数 \(n_p\) 的两个条件：\(n_p \mid \dfrac{|G|}{p^r}\) 且 \(n_p \equiv 1 \pmod{p}\)；
- 掌握「用 \(n_p\) 判断群是否为单群」的判别定理：若 \(|G| = p^r m\)（\(r \ge 1\)，\(\gcd(p,m)=1\)，\(m>1\)），则 \(G\) 为单群时，\(|G|\) 必整除 \(n_p!\)；
- 理解证明思路：Sylow 子群集合上的共轭作用 → 轨道-稳定子群公式 → 正规化子 → 陪集上的置换作用 → 同态到 \(S_n\) → 同态基本定理；
- 会结合 Sylow 定理与新定理证明具体阶数的群不是单群（72 阶）；
- 了解为什么单群 + 非平凡子群 ⇒ 该子群必非正规，以及正规化子 \(N_G(P_0)\) 在证明中的关键作用。
0课程引言 ⏱ 00:00
- 本讲继续 Sylow 定理的应用，重点是一个非常好用的判断群是否为单群的判别定理。
- 本讲结构：先证明结论，再用它证明 \(|G| = 72\) 时 \(G\) 不是单群（完整例题）。
- 先约定单群的定义（回顾）：群 \(G\) 称为单群，如果它没有非平凡正规子群（正规子群只有 \(G\) 本身与 \(\{e\}\)）。
本讲用到的已有结论（回顾）
- Sylow 定理：设 \(|G| = p^r m\)，\(\gcd(p,m) = 1\)。则 (i) \(G\) 存在 \(p^r\) 阶子群（Sylow \(p\)-子群）；(ii) 任意两个 Sylow \(p\)-子群共轭；(iii) Sylow \(p\)-子群的个数 \(n_p\) 满足 \(n_p \mid m\) 且 \(n_p \equiv 1 \pmod{p}\)。
- Sylow 推论：若 \(n_p = 1\)，则唯一的 Sylow \(p\)-子群是 \(G\) 的正规子群。
- 共轭作用 / 轨道-稳定子群公式：群 \(G\) 作用在集合 \(S\) 上，对 \(s \in S\)，轨道 \(O_s\) 的大小等于稳定子群 \(\mathrm{Stab}(s)\) 在 \(G\) 中的指数：\(|O_s| = [G : \mathrm{Stab}(s)]\)；若作用传递，则 \(|S| = [G : \mathrm{Stab}(s)]\)。
- 正规化子：\(N_G(H) = \{ g \in G \mid gH = Hg \}\)（等价地 \(gHg^{-1} = H\)）。子群 \(H\) 在共轭作用下的稳定子群恰为 \(N_G(H)\)。
- 陪集上的置换作用：\(G\) 作用在左陪集集合 \(\{ aH \}\) 上，得到同态 \(\Phi : G \to S_{[G:H]}\)；其核是「包含在 \(H\) 中、且含所有与 \(H\) 交相关的子群」——精确地说是 \(H\) 的所有共轭子群的交（即 \(\mathrm{Core}_G(H)\)）。
- 群同态基本定理（第一同构定理）：若 \(\Phi : G \to K\) 为群同态，则 \(G/\ker \Phi \cong \mathrm{Im}\,\Phi\)。
1单群判别定理 ⏱ 00:21
1.1 定理陈述 ⏱ 00:39
定理 · 单群判别（\(n_p\) 版本）
设 \(G\) 为有限群，且
\[ |G| = p^{r} m, \qquad r \ge 1, \quad p \text{ 为素数}, \quad \gcd(p, m) = 1, \quad m > 1. \]
记 \(n_p\) 为 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群（即 \(p^{r}\) 阶子群）的个数。若 \(G\) 是单群，则
\[ |G| \mid n_p!. \]
换言之，若 \(|G|\) 不整除 \(n_p!\)（或 \(n_p!\) 的阶小于 \(|G|\)），则 \(G\) 一定不是单群。
1.2 定理的用途 ⏱ 02:21
这个结论的用法主要在于证明「某群不是单群」。标准套路：
- 假设 \(G\) 是单群；
- 由定理应有 \(|G| \mid n_p!\)；
- 再利用 Sylow 定理（\(n_p \mid m\)，\(n_p \equiv 1 \pmod p\)）列出 \(n_p\) 的所有可能值；
- 对每个可能值检验是否满足 \(|G| \mid n_p!\)；若所有候选都矛盾，则假设不成立，\(G\) 非单。
注意 · 条件 \(m > 1\) 的意义
\(m > 1\) 意味着 Sylow \(p\)-子群的阶 \(p^r\) 严格小于 \(|G|\)，即它是 \(G\) 的非平凡子群（既不是 \(G\) 也不是 \(\{e\}\)，因 \(r \ge 1\)）。这一条件在证明中至关重要：若 \(G\) 为单群而 \(P_0\) 是非平凡子群，则 \(P_0\) 必非正规（否则 \(G\) 就有非平凡正规子群）。
2定理的证明 ⏱ 02:39
证明分若干步：构造 Sylow 子群集合 → 共轭作用 → 轨道即全集 → 稳定子群即正规化子 → 陪集上的置换作用 → 同态到对称群 → 单群 ⇒ 单射 → 第一同构定理 ⇒ 阶的整除关系。
2.1 构造 Sylow \(p\)-子群集合 ⏱ 02:55
记
\[ \mathcal{S} = \mathrm{Syl}_p(G) = \{\, P \le G \mid |P| = p^{r} \,\}, \qquad |\mathcal{S}| = n_p. \]
由 Sylow 定理，\(\mathcal{S}\) 中每个元素都是 \(p^{r}\) 阶子群，且任意两个元素共轭。
2.2 共轭作用与传递性 ⏱ 03:54
群 \(G\) 通过共轭作用作用在 \(\mathcal{S}\) 上：
\[ g \cdot P = g P g^{-1}, \qquad g \in G,\ P \in \mathcal{S}. \]
性质 · \(\mathcal{S}\) 是一个 \(G\)-集合（共轭作用下的传递作用）
由 Sylow 定理第 (ii) 条，\(\mathcal{S}\) 中任意两个元素共轭，故该作用传递：任取 \(P_0 \in \mathcal{S}\)，\(P_0\) 的轨道即整个 \(\mathcal{S}\)。
2.3 轨道–稳定子群公式与正规化子 ⏱ 07:04
由轨道-稳定子群公式（作用传递），
\[ n_p = |\mathcal{S}| = |O_{P_0}| = [G : \mathrm{Stab}(P_0)]. \]
在共轭作用下，\(P_0\) 的稳定子群正是 \(P_0\) 的正规化子（回顾：\(\mathrm{Stab}(P_0) = \{ g \in G \mid g P_0 g^{-1} = P_0 \} = N_G(P_0)\)）。故
\[ n_p = [G : N_G(P_0)]. \]
2.4 单群条件 ⇒ 正规化子真包含于 \(G\) ⏱ 08:28
由 \(m > 1\) 与 \(r \ge 1\)，\(P_0\) 是 \(G\) 的非平凡子群（\(1 < |P_0| < |G|\)）。若 \(G\) 为单群，则 \(G\) 无非常子正规子群，故 \(P_0\) 必不是 \(G\) 的正规子群。正规化子的基本性质：若 \(H \trianglelefteq G\)，则 \(N_G(H) = G\)；若 \(H \trianglelefteq G\) 不成立，则 \(N_G(H) \subsetneq G\)。因此
\[ |N_G(P_0)| < |G|, \qquad \text{即}\quad [G : N_G(P_0)] > 1. \]
2.5 陪集上的置换作用 ⏱ 10:33
记 \(H = N_G(P_0)\)，则 \([G : H] = n_p > 1\)。设 \(T\) 为 \(G\) 关于 \(H\) 的所有左陪集构成的集合（\(|T| = n_p\)，且 \(H\) 本身是其中一个元素）。对每个 \(x \in G\)，定义 \(T\) 上的映射 \(\varphi_x : T \to T\)：
\[ \varphi_x(aH) = xaH, \qquad aH \in T. \]
这相当于把陪集集合「平移」一次，\(\varphi_x\) 是 \(T\) 上的一个置换，即 \(\varphi_x \in S_{n_p}\)（\(T\) 的对称群）。由此得到映射
\[ \Phi : G \longrightarrow S_{n_p}, \qquad x \longmapsto \varphi_x. \]
注意这里 \(S_{n_p}\) 是由 \(T\)（\(n_p\) 个左陪集）标号出的对称群；\(n_p = [G : H]\)。
2.6 验证 \(\Phi\) 是群同态 ⏱ 12:33
证明 \(\Phi\) 是群同态
需证 \(\Phi(x)\Phi(y) = \Phi(xy)\)。任取 \(aH \in T\)：
\[ \Phi(xy)(aH) = xy \cdot aH = x(y a H) = \Phi(x)\bigl(\Phi(y)(aH)\bigr) = \bigl(\Phi(x)\,\Phi(y)\bigr)(aH). \]
两作用对任意 \(aH \in T\) 都相同，故 \(\Phi(xy) = \Phi(x)\Phi(y)\)。又 \(\Phi(e) = \mathrm{id}_T\)（单位元对应的恒等置换），故 \(\Phi\) 是群同态。
2.7 单群 ⇒ \(\ker\Phi\) 平凡 ⇒ \(\Phi\) 单射 ⏱ 16:49
\(\ker \Phi\) 是 \(G\) 的正规子群（同态的核必为正规子群）。因 \(G\) 为单群，\(\ker\Phi\) 只能是 \(\{e\}\) 或 \(G\)。
排除 \(\ker\Phi = G\) 的情形
若 \(\ker\Phi = G\)，则 \(\Phi\) 把整个 \(G\) 映到 \(S_{n_p}\) 的单位元（恒等置换），即对任意 \(x \in G\)，\(\varphi_x = \mathrm{id}\)。但取 \(x \in G \setminus H\)（\(H\) 的真子集情形，\([G:H] > 1\) 保证这样的 \(x\) 存在），则 \(\varphi_x(H) = xH \neq H\)，故 \(\varphi_x\) 不是恒等置换，矛盾。因此 \(\ker\Phi \neq G\)。
故 \(\ker\Phi = \{e\}\)，\(\Phi\) 是单射。
2.8 第一同构定理收尾 ⏱ 19:28
由单射与第一同构定理得到 \(|G| \mid n_p!\)
由群同态基本定理（第一同构定理），
\[ G / \ker\Phi \cong \mathrm{Im}\,\Phi. \]
因 \(\ker\Phi = \{e\}\)，左端即 \(G\)，故 \(G \cong \mathrm{Im}\,\Phi\)。又 \(\mathrm{Im}\,\Phi\) 是 \(S_{n_p}\) 的子群（同态的像必为 \(S_{n_p}\) 的子群），故 \(|G| = |\mathrm{Im}\,\Phi|\) 整除 \(|S_{n_p}|\)（子群的阶整除母群的阶）。而 \(|S_{n_p}| = n_p!\)，故
\[ |G| \mid n_p!. \qquad \blacksquare \]
证明要点回顾
- \(P_0\) 非平凡（\(m > 1\)）；
- \(G\) 单群 ⇒ \(P_0\) 非正规 ⇒ \(N_G(P_0) \subsetneq G\)；
- \(n_p = [G : N_G(P_0)] > 1\)；
- \(G\) 在左陪集 \(T\)（\(n_p\) 个）上的置换作用给出同态 \(\Phi : G \to S_{n_p}\)；
- \(G\) 单群 ⇒ \(\ker\Phi = \{e\}\) ⇒ \(G \hookrightarrow S_{n_p}\)；
- \(|G|\) 整除 \(|S_{n_p}| = n_p!\)。
3应用：\(|G| = 72\) 时 \(G\) 不是单群 ⏱ 21:14
3.1 预备：列出 \(n_3\) 的候选值 ⏱ 22:00
设 \(|G| = 72\)。分解为质因数：
\[ 72 = 2^{3} \cdot 3^{2}. \]
取 \(p = 3\)，\(r = 2\)，\(m = 8\)（\(\gcd(3,8) = 1\)，\(m > 1\)，条件满足）。设 \(n_3\) 为 3-Sylow 子群（\(9\) 阶子群）的个数。由 Sylow 定理：
\[ n_3 \mid 8, \qquad n_3 \equiv 1 \pmod{3}. \]
满足「是 8 的因子」的 \(n_3\) 只能为 \(1, 2, 4, 8\)；再要求 \(\equiv 1 \pmod{3}\)（即 \(3k+1\) 形）：
| \(n_3\) 候选值 | \(n_3 \mid 8\) | \(n_3 \equiv 1 \pmod 3\) | 结论 |
|---|---|---|---|
| 1 | 是 | 是（\(1 = 1\)） | 可行 |
| 2 | 是 | 否（\(2 \not\equiv 1\)） | 排除 |
| 4 | 是 | 是（\(4 = 3+1\)） | 可行 |
| 8 | 是 | 否（\(8 = 6+2\)） | 排除 |
故 \(n_3 \in \{1, 4\}\)。下面分两种情况讨论，两种都导出矛盾。
3.2 情形一：\(n_3 = 1\) ⏱ 23:36
唯一 Sylow 子群必为正规子群（Sylow 推论）
\(n_3 = 1\) 意味着 \(G\) 只有唯一的 3-Sylow 子群 \(P\)（9 阶）。由 Sylow 推论，\(P \trianglelefteq G\)。又 \(1 < |P| = 9 < 72 = |G|\)，即 \(P\) 是 \(G\) 的非平凡正规子群，与 \(G\) 为单群矛盾。故此情形下 \(G\) 不是单群。
3.3 情形二：\(n_3 = 4\) ⏱ 24:27
若 \(n_3 = 4\)，假设 \(G\) 为单群。由本讲判别定理，应有
\[ |G| = 72 \mid n_3! = 4! = 24. \]
但 \(72 \nmid 24\)（事实上 \(24 < 72\)），矛盾。故 \(G\) 不可能是单群。
3.4 结论 ⏱ 25:44
结论 · \(|G| = 72\) 的群必非单
无论 \(n_3 = 1\) 还是 \(n_3 = 4\)，都导出 \(G\) 不是单群。故任意 72 阶群都存在非平凡正规子群，因而不可能是单群。
小练习 · 换成 2-Sylow 子群
若考虑 2-Sylow 子群（\(8\) 阶子群，\(n_2 \mid 9\) 且 \(n_2 \equiv 1 \pmod 2\)，即 \(n_2 \in \{1, 3, 9\}\) 中的奇数），则无法用上述定理直接得出矛盾（本讲在 72 阶例子中采用的是 3-Sylow 子群），可作为思考练习比较两种选取的差异。
4课堂练习：108 阶群不是单群 ⏱ 26:27
练习 · 完全类比 72 阶的证明
用完全类似的方法证明：\(108\) 阶的群不是单群。
提示：\(108 = 2^{2} \cdot 3^{3}\)。取 \(p = 3\)，\(r = 3\)，\(m = 4\)。由 Sylow 定理，\(n_3 \mid 4\) 且 \(n_3 \equiv 1 \pmod 3\)，故 \(n_3 \in \{1, 4\}\)（\(n_3 = 1\) 唯一子群正规；\(n_3 = 4\) 时 \(108 \mid 4! = 24\) 矛盾）。
提示：\(108 = 2^{2} \cdot 3^{3}\)。取 \(p = 3\)，\(r = 3\)，\(m = 4\)。由 Sylow 定理，\(n_3 \mid 4\) 且 \(n_3 \equiv 1 \pmod 3\)，故 \(n_3 \in \{1, 4\}\)（\(n_3 = 1\) 唯一子群正规；\(n_3 = 4\) 时 \(108 \mid 4! = 24\) 矛盾）。
★重点回顾
1
单群定义：无非常子正规子群（正规子群只有 \(\{e\}\) 与 \(G\) 本身）。判定「不是单群」只需找一个非平凡正规子群。
2
Sylow \(p\)-子群个数 \(n_p\) 的两个约束：\(n_p \mid m\)（\(|G| = p^{r}m\)，\(\gcd(p,m)=1\)）且 \(n_p \equiv 1 \pmod p\)。这是所有候选值的「筛子」。
3
本讲判别定理：若 \(|G| = p^{r}m\)（\(m > 1\)），且 \(G\) 为单群，则 \(|G| \mid n_p!\)；反之若 \(|G| \nmid n_p!\)，则 \(G\) 非单。
4
证明主干：Sylow 子群集合上的共轭作用（传递）⇒ 稳定子群即正规化子 \(N_G(P_0)\) ⇒ \([G:N_G(P_0)] = n_p > 1\) ⇒ \(G\) 在左陪集集合上的置换作用 ⇒ 同态 \(\Phi: G \to S_{n_p}\) ⇒ 单群使核平凡 ⇒ \(G \hookrightarrow S_{n_p}\) ⇒ \(|G| \mid n_p!\)。
5
正规化子的两个基本事实：若 \(H \trianglelefteq G\) 则 \(N_G(H) = G\)；若 \(H\) 非正规则 \(N_G(H) \subsetneq G\)。这用于得到 \([G : N_G(P_0)] > 1\)。
6
72 阶群例：\(n_3 \in \{1,4\}\)；\(n_3 = 1\) 唯一 3-Sylow 正规 ⇒ 非单；\(n_3 = 4\) 时 \(72 \nmid 4! = 24\) ⇒ 非单。108 阶群（练习）同理。
⚠易错点提醒
常见错误
- 把「单群」误解为「无子群」：单群只排除非平凡正规子群，非常子群当然仍可以有很多。
- 忘记 \(m > 1\) 的条件：若 \(m = 1\)（即 \(|G| = p^{r}\) 为素数幂），Sylow \(p\)-子群就是 \(G\) 本身，定理前提不再成立；素数幂阶群必为可解群（后续讲），不是单群的情形要另作处理。
- 把 \(n_p!\) 误算为 \((p^{r})!\) 或其他：定理里是「Sylow 子群个数 \(n_p\) 的阶乘」，不是 \(p^{r}\) 的阶乘。72 阶例中 \(n_3 = 4\)，\(n_3! = 24\)，而不是 \(9! = 362880\)。
- Sylow 候选值筛选漏项：必须同时满足「\(n_p \mid m\)」与「\(n_p \equiv 1 \pmod p\)」两条，缺一不可；72 例中 \(n_3\) 候选只有 1 与 4（排除 2 与 8）。
- 在 72 阶例子中错误地把 2-Sylow 子群当作可用途径：\(n_2 \mid 9\) 且 \(n_2\) 奇数，\(n_2 \in \{1,3,9\}\)，本讲采用的论证路线（3-Sylow 子群 + 判别定理）不直接适用于 2-Sylow 子群，不要生搬。
- 混淆「共轭作用」与「左乘作用」：稳定子群是正规化子 \(N_G(P_0)\) 这一事实来自共轭作用；在陪集上的置换作用是另一个作用，对应的核是包含在 \(N_G(P_0)\) 中的正规子群，不要把两个作用搅在一起。
✎自测与作业
- （课上练习）用与本讲 72 阶例完全类似的方法证明：\(108\) 阶群不是单群（提示：\(108 = 2^2 \cdot 3^3\)，取 \(p = 3\)）。
- 设 \(|G| = 72\)，\(n_3 = 1\)。用 Sylow 推论说明此时 \(G\) 有唯一的 3-Sylow 子群 \(P\)，并解释为什么 \(P \trianglelefteq G\)（共轭作用下 \(P\) 的轨道即 \(\{P\}\)）。
- 设 \(|G| = 108\)。用 Sylow 定理列出 2-Sylow 子群个数 \(n_2\) 与 3-Sylow 子群个数 \(n_3\) 的所有可能值，并判断哪一组候选值能让 \(G\) 可能为单群。 <4>设 \(H \subset G\)。证明：若 \(H \trianglelefteq G\)，则 \(N_G(H) = G\)；若 \(N_G(H) = G\)，则 \(H \trianglelefteq G\)。并说明为什么「\(H\) 非正规 ⇒ \(N_G(H) \subsetneq G\)」。
- 设 \(G\) 为单群，\(|G| = p^{r}m\)，\(\gcd(p,m) = 1\)，\(m > 1\)。证明：\(G\) 在左陪集集合 \(\{aH\}\)（\(H = N_G(P_0)\)）上的置换作用对应的同态 \(\Phi: G \to S_{n_p}\) 必为单射。若 \(\Phi\) 非单射，将导出什么矛盾？
- 设 \(|G| = 45\)。判断 \(G\) 是否可能是单群（提示：\(45 = 3^2 \cdot 5\)，分别看 \(n_3\) 与 \(n_5\)）。
下一讲预告
第 20 讲：可解群。将介绍正规列、可解群的定义与判定，以及素数幂阶群（\(p\)-群）的可解性，把「不是单群」推进到「是可解群」这一更精细的结构结论。