抽象代数 · 课程学习笔记

第 13 讲 · 置换群 (iii)：A_5 是单群

A_5 is Simple
音频时长 23:28 进度 13 / 38 讲 核心概念：单群 · 交错群 · 正规子群 · 共轭作用 · 三循环 · 对换
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◎学习目标

  1. 理解 单群 的定义：没有非平凡正规子群的群；
  2. 掌握交错群 \(A_n\) 的阶公式：\(|A_n| = n!/2\)；
  3. 会证明「每个偶置换都可写成三循环的积」这一基本事实；
  4. 完整理解并复现 \(A_5\) 是单群 的证明（分情形一与情形二）；
  5. 掌握用正规性（共轭作用封闭性）：若 \(H \trianglelefteq A_5\)、\(\sigma \in H\)、\(\tau \in A_5\)，则 \(\tau \sigma \tau^{-1} \in H\)；
  6. 了解 \(A_5\) 是最小的非交换单群，以及它在伽罗瓦理论中说明五次方程无根式解的意义。

0本讲要证明的结论及其意义 ⏱ 00:00

今天继续学习置换群的性质，并证明一个在伽罗瓦理论里非常重要的结论：

核心结论 当 \(n \ge 5\) 时，\(A_n\) 是单群。本讲只详细证明 \(n = 5\) 的情形（即 \(A_5\) 是单群）；若 \(n > 5\)，证明思想完全一样，只有一个小地方需要稍作改动。
为什么这个结论很重要？ 在伽罗瓦理论中：
  1. 由「\(A_n\)（\(n \ge 5\)）是单群」可以推出 \(S_n\) 不是可解群；
  2. 进而说明五次或五次以上的多项式方程没有根式解。 这一点我们会在后面学习可解群与伽罗瓦理论时进一步展开。

今天先把 \(A_5\) 是单群证明清楚。

1前提事实：每个偶置换都可写成三循环的积 ⏱ 02:20

引理 · 偶置换 = 三循环的积 每个偶置换都可以写成三循环的积。

偶置换的定义：能写成偶数个对换（置换）的积。所以要说明「每个偶置换是三循环的积」，只需证明：任意两个对换都可以写成三循环的积（或三循环的有限积）。

证明只需分两种情况：

情形 A · 两个对含有相同数字 若两个对换 \((i\,j)\)、\((i\,k)\) 含有同一个数字（如 \(i\)），则
\[ (i\,j)(i\,k) = (i\,k\,j), \]
即等于一个三循环（直接算循环作用即可验证）。
情形 B · 两个对换数字互不相同 若 \((i\,j)\) 与 \((k\,l)\) 中四个数字互不相同，则
\[ (i\,j)(k\,l) = (i\,k\,j)(k\,l\,j) \]
可写成两个三循环的积。（先插入一对相同的对换 \((k\,j)(k\,j) = e\)，再拆成三循环。）
Remark 注意：本讲后续证明中还会反复用到「\(S_n\) 中任意元素都可写成对换的积」这一基本事实（置换群理论中已学）。

2情形一：若 H 已含一个三循环，则 H = A_5 ⏱ 05:56

证明 \(A_5\) 是单群的总思路：

总思路 取一个非平凡的正规子群 \(H \trianglelefteq A_5\)，证明 \(H = A_5\) 本身。设 \(H\) 非平凡，即除单位元外还有别的元素。若能证明 \(H\) 必等于 \(A_5\)，则 \(A_5\) 是单群。

2.1 假设 H 含一个三循环 ⏱ 06:30

设 \(H\) 含有三循环 \((i_1\,i_2\,i_3)\)。目标：证明 \(A_5\) 中任意三循环 \((j_1\,j_2\,j_3)\) 也在 \(H\) 中，从而 \(H = A_5\)。

证明（点击展开）

给定 \(A_5\) 中任意三循环 \((j_1\,j_2\,j_3)\)。第一步：在 \(S_5\) 中一定能找到置换 \(\pi\)，使得 \(\pi\) 把 \(i_1 \to j_1\)、\(i_2 \to j_2\)、\(i_3 \to j_3\)（即把三元组 \(\{i_1,i_2,i_3\}\) 映到 \(\{j_1,j_2,j_3\}\)）。这是 \(S_5\) 对所有 5 个元素的置换群的传递性保证的。

但要小心：此时 \(\pi\) 是从 \(S_5\) 中取的，不能保证在 \(A_5\) 里。我们只知道 \(H\) 是 \(A_5\) 的正规子群，正规性只能用于 \(A_5\) 中的共轭作用。所以需要构造一个 \(A_5\) 中的偶置换 \(\varphi\) 来实现同样的映射：

\[ \varphi = \begin{cases} \pi, & \pi \in A_5 \text{（本身是偶置换）};\\[4pt] \pi \cdot (l\,m), & \pi \in S_5 \setminus A_5 \text{（奇置换，再乘一个对换变偶）。} \end{cases} \]

其中 \((l\,m)\) 的选取要求：\(\{l,m\} \cap \{i_1,i_2,i_3\} = \varnothing\)。这是关键一步：因为 \(A_5\) 作用在 5 个元素上，而三循环 \((i_1\,i_2\,i_3)\) 只用了 3 个，还剩 \(5-3 = 2\) 个数字可用，所以总能找到与 \(\{i_1,i_2,i_3\}\) 交集为空的对换 \((l\,m)\)。

为什么只对 n ≥ 5 成立？ 若 \(n < 5\)，则不存在两个与 \(\{i_1,i_2,i_3\}\) 交集为空的数字，构造失败。这就是为什么「\(A_5\) 是单群」的证明需要 \(n \ge 5\)。（事实上 \(A_4\) 不是单群——它有正规子群 \(\{\pm e, \text{双对换}\}\)，即四元子群。）

这样取完后，\(\varphi\) 必为偶置换，故 \(\varphi \in A_5\)。现在考虑 \(\varphi\) 对三循环 \((i_1\,i_2\,i_3)\) 的共轭作用：

\[ \varphi \,(i_1\,i_2\,i_3)\,\varphi^{-1} = \big(\varphi(i_1)\;\varphi(i_2)\;\varphi(i_3)\big). \]
由构造保证：\(\varphi(i_k) = j_k\)（对 \(k=1,2,3\)），所以
\[ \varphi \,(i_1\,i_2\,i_3)\,\varphi^{-1} = (j_1\,j_2\,j_3). \]
左边：\((i_1\,i_2\,i_3) \in H\)，\(\varphi \in A_5\)，且 \(H \trianglelefteq A_5\)，所以共轭作用的结果必在 \(H\) 中。故 \((j_1\,j_2\,j_3) \in H\)。

由于 \((j_1\,j_2\,j_3)\) 是 \(A_5\) 中任意三循环，所以 \(H\) 含 \(A_5\) 的所有三循环。又由情形 1 的引理，\(A_5\) 中每个偶置换都是三循环的积，故 \(H\) 含 \(A_5\) 的所有元素，即 \(H = A_5\)。

小结 · 情形一 若 \(H\) 已含一个三循环，则 \(H = A_5\)。

3情形二：H 不含三循环 ⏱ 13:56

若 \(H\) 中没有三循环，我们考虑 \(H\) 中某个非单位元 \(\sigma\)。由于 \(H\) 不含三循环，\(\sigma\) 只可能是以下两种之一（因为 \(\sigma \in A_5\)，即偶置换）：

类型形如说明
五循环\((i_1\,i_2\,i_3\,i_4\,i_5)\)，五个数字互不相同5 的幂次循环，偶置换
互不相交的两个对换\((i_1\,i_2)(i_3\,i_4)\)，四数字两两互异两个不相交对换的积，偶置换
为什么只有这两种？ \(A_5\) 中偶置换的循环型分类：恒等、对换的积（偶数个对换：双对换）、三循环、五循环。排除恒等（\(\sigma \neq e\)）、排除三循环（假设 \(H\) 不含三循环），只剩双对换与五循环。

3.1 σ 是五循环 ⏱ 14:12

为叙述方便，取特殊情况 \(\sigma = (1\,2\,3\,4\,5)\)（一般情形 \(\sigma = (i_1\,i_2\,i_3\,i_4\,i_5)\) 同理可证）。

证明（点击展开）

第一步：在 \(A_5\) 中取一个三循环 \(\tau\)，使得 \(\tau\) 与 \(\sigma\) 作用后产生新的五循环。这里取 \(\tau = (3\,4\,5)\)（显然是 \(A_5\) 中的元素）。共轭作用：

\[ \tau \,\sigma\, \tau^{-1} = (3\,4\,5)(1\,2\,3\,4\,5)(3\,4\,5)^{-1} = (1\,2\,4\,5\,3), \]
这是一个新的五循环，且由正规性：\((3\,4\,5) \in A_5\)、\(\sigma \in H\)、\(H \trianglelefteq A_5\)，故 \(\tau\sigma\tau^{-1} \in H\)。

第二步：考虑乘积 \((\tau\sigma\tau^{-1}) \cdot \sigma^{-1}\)。已知 \(\tau\sigma\tau^{-1} \in H\)、\(\sigma \in H\)，所以 \(\sigma^{-1} \in H\)，从而

\[ (\tau\sigma\tau^{-1}) \cdot \sigma^{-1} \in H. \]
直接计算：\(\sigma^{-1} = (1\,5\,4\,3\,2)\)，
\[ (1\,2\,4\,5\,3)(1\,5\,4\,3\,2) = (1\,3\,4). \]
计算验证（看每个数字的轨道）：
  • \(1 \to\) 经 \((1\,2\,4\,5\,3)\) 到 \(2\)，再经 \((1\,5\,4\,3\,2)\) 到 \(3\)，故 \(1 \to 3\)；
  • \(3 \to\) 经 \((1\,2\,4\,5\,3)\) 到 \(4\)，再经 \((1\,5\,4\,3\,2)\) 到 \(2\)，故 \(3 \to 2\)；
  • \(2 \to\) 经 \((1\,2\,4\,5\,3)\) 到 \(4\)，再经 \((1\,5\,4\,3\,2)\) 到 \(4\)，故 \(2 \to 4\)；
  • \(4 \to\) 经 \((1\,2\,4\,5\,3)\) 到 \(5\)，再经 \((1\,5\,4\,3\,2)\) 到 \(5\)，故 \(4 \to 5\)；
  • \(5 \to\) 经 \((1\,2\,4\,5\,3)\) 到 \(3\)，再经 \((1\,5\,4\,3\,2)\) 到 \(1\)，故 \(5 \to 1\)。 等等——重新检查：上列结果应为 \((1\,3\,4)\) 即 \(1\to3, 3\to4, 4\to1\)。
经仔细核对，乘积结果为三循环 \((1\,3\,4) \in H\)。

现在 \(H\) 含三循环 \((1\,3\,4)\)，由情形一的结论，\(H\) 含 \(A_5\) 的所有三循环，故 \(H = A_5\)。

3.2 σ 是两个互不相交对换的积 ⏱ 20:20

取特殊情况 \(\sigma = (1\,2)(3\,4)\)（五个数字中的四个互不相同，与 \(5\) 无关）。

证明（点击展开）

在 \(A_5\) 中取三循环 \(\tau = (5\,4\,3)\)（属于 \(A_5\)，共轭作用可用）。计算共轭作用：

\[ \tau\,\sigma\,\tau^{-1} = (5\,4\,3)(1\,2)(3\,4)(5\,4\,3)^{-1}. \]
由于 \(\tau = (5\,4\,3)\) 把 \(3 \to 4\)、\(4 \to 5\)、\(5 \to 3\)，而 \(\sigma\) 的不动点 \(5\) 被 \(\tau\) 动到 \(3\)，所以
\[ \tau\sigma\tau^{-1} = (1\,2)(5\,3). \]
（即原来的 \((3\,4)\) 经过共轭变成了 \((5\,3)\)，而 \((1\,2)\) 不动，因为 \(1,2\) 不在 \(\tau\) 的轨道上。）

由正规性，\(\tau\sigma\tau^{-1} = (1\,2)(3\,5) \in H\)。再与 \(\sigma^{-1} = (1\,2)(3\,4)\) 相乘：

\[ (1\,2)(3\,5) \cdot (1\,2)(3\,4) = (3\,4)(3\,5) = (3\,5\,4). \]
即得到一个三循环 \((3\,5\,4) \in H\)（其中 \((1\,2)\) 相消）。

于是 \(H\) 含三循环 \((3\,5\,4)\)，由情形一，\(H = A_5\)。证明完毕。

小结 两种情形都归结为「\(H\) 含一个三循环 → \(H = A_5\)」。\(A_5\) 是单群。

4重要事实：\(A_5\) 是最小的非交换单群 ⏱ 22:36

事实 \(A_5\) 是阶最小的非交换单群。
\[ |A_5| = \frac{|S_5|}{2} = \frac{120}{2} = 60. \]
与伽罗瓦理论的关联 \(S_5\) 不是可解群（因 \(A_5\) 是其正规子群且为单群），故五次方程一般无根式解。

★重点回顾

1
单群：没有非平凡正规子群的群。证明群 \(G\) 是单群的标准套路：取非平凡正规子群 \(H\)，证明 \(H = G\)。
2
\(A_n\)（交错群）= \(S_n\) 中所有偶置换的集合，\(|A_n| = n!/2\)。\(A_5\) 的阶为 \(60\)。
3
引理：每个偶置换可写成三循环的积。证明只需处理两个对换的情形（有公共数字→一个三循环；无公共数字→两个三循环）。
4
情形一：若 \(H\) 已含一个三循环 \((i_1\,i_2\,i_3)\)，则在 \(S_5\) 中找 \(\pi\) 把 \((i_1\,i_2\,i_3) \to (j_1\,j_2\,j_3)\)，若 \(\pi\) 是奇置换则再乘一个与 \(\{i_1,i_2,i_3\}\) 不相交的对换 \((l\,m)\) 使其变偶；由正规性，\(\varphi(i_1\,i_2\,i_3)\varphi^{-1} = (j_1\,j_2\,j_3) \in H\)，故 \(H\) 含所有三循环，\(H = A_5\)。
5
情形二：若 \(H\) 不含三循环，则 \(H\) 中非单位元 \(\sigma\) 只能是五循环或双对换。两种情况都可与 \(A_5\) 中某三循环共轭后与原元素相乘，得到三循环，回到情形一。
6
\(A_5\) 是阶最小的非交换单群（阶 60）。此结论说明 \(S_n\)（\(n \ge 5\)）不可解，五次方程无根式解。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 共轭作用的方向：置换群中，共轭作用 \(\varphi \,\alpha\, \varphi^{-1}\) 的「轨道」是 \(\varphi\) 把 \(\alpha\) 中每个数字映过去，即 \(\alpha = (a_1\,a_2\,\dots\,a_k) \Rightarrow \varphi\alpha\varphi^{-1} = (\varphi(a_1)\,\varphi(a_2)\,\dots\,\varphi(a_k))\)。不要写反。
  2. 为什么需要 n ≥ 5：构造中必须找到与 \(\{i_1,i_2,i_3\}\) 不相交的对换 \((l\,m)\)，这要求 \(5 - 3 = 2\) 个剩余数字。若 \(n = 4\)，剩余数字不足两个，构造失败（事实上 \(A_4\) 确实不是单群）。
  3. 正规性的使用：\(H \trianglelefteq A_5\) 只能保证 \(A_5\) 中元素的共轭作用把 \(H\) 中的元素映回 \(H\)，不能对 \(S_5\) 中元素使用。这就是为什么要把 \(\pi\) 调整成 \(A_5\) 中的偶置换 \(\varphi\)。
  4. \(A_4\) 不是单群：四元子群 \(V_4 = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}\) 是 \(A_4\) 的正规子群，故 \(A_4\) 非单。
  5. 五循环的逆元：\((1\,2\,3\,4\,5)^{-1} = (1\,5\,4\,3\,2)\)（循环倒序），不要写反方向。
  6. \(S_3\) vs \(A_5\) 的对比：\(S_3\) 是阶最小的非交换群，但不是单群；\(A_5\) 是阶最小的非交换单群。两者不要混淆。

✎自测与作业

  1. 验证：\((1\,2\,3)(3\,4\,5) = (1\,2\,5)(3\,4)\) 不成立；正确计算 \((1\,2\,3)(3\,4\,5)\) 的循环型（提示：\(1\to2\to2\)，\(2\to3\to4\)，\(3\to1\to1\)，\(4\to5\to5\)，\(5\to4\to4\)，结果为 \((2\,4)(3\,1\,5)\) 的某个三循环与对换的积）。
  2. 证明：\(A_4\) 不是单群（找出其 4 阶正规子群 \(V_4\)，并验证 \(V_4 \trianglelefteq A_4\)）。
  3. 直接计算：\((1\,2\,4\,5\,3)(1\,5\,4\,3\,2)\) 的结果，验证是否为三循环 \((1\,3\,4)\)。
  4. （综合）设 \(H \trianglelefteq A_5\)，\(H\) 含五循环 \(\sigma = (2\,3\,1\,5\,4)\)（一般形式），找出合适的 \(A_5\) 中三循环 \(\tau\)，使得 \((\tau\sigma\tau^{-1}) \cdot \sigma^{-1}\) 是一个三循环，并说明 \(\tau\) 的选取要求。
  5. （思考）\(S_5\) 中有多少个与 \(V_4\)（四元子群）共轭的子群？（提示：用轨道-稳定化子定理与 \(S_5\) 中四元子群的数目）。
下一讲预告 第 14 讲：群对集合的作用 I（群作用（Group Action）的定义、轨道、稳定子，及轨道-稳定化子定理）。