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◎学习目标
- 掌握把轮换写成对换乘积的两种方法，会逐步验证两边相等（从最右边的对换开始作用）；
- 理解并熟记性质 5：置换写成对换乘积的表示不唯一，但对换个数的奇偶性不变；了解用 Vandermonde 行列式证明的思路；
- 掌握奇置换 / 偶置换与符号函数 \(\mathrm{sgn}\) 的定义，会求给定置换的符号；
- 掌握交错群 \(A_n\) 的定义，会验证 \(A_n \le S_n\)，理解 \(A_n = \ker(\mathrm{sgn})\) 从而是 \(S_n\) 的正规子群；
- 掌握「指数为 2 的子群必正规」的引理与 \(|A_n| = n!/2\)，会用双射证明奇偶置换个数相等；
- 会证明：当 \(n \ge 3\) 时，\(A_n\) 由 \(S_n\) 中全体三循环生成；
- 认识 Klein 四元群 \(K_4\)，通过作业例子理解「正规性不具有传递性」。
1回顾与引入：置换写成对换的乘积 ⏱ 00:00
前面已经认识了置换群 \(S_n\)，大家一直比较好奇的「交错群 \(A_n\)」到底是什么，本讲就来回答它。先承认两个事实（有的上一讲已证，有的本讲补充）：
- 任何一个置换都可以写成不相交轮换的乘积；
- 任何一个置换也可以写成若干个对换的乘积——即可以「写成全部都是对换的样子」。
关键点在于：写成对换乘积的写法可以非常多，但其中对换的个数到底是奇数还是偶数，是不会变的。本讲就从具体例子出发，观察、证明这一事实，然后给出奇偶置换、符号函数与交错群的定义。
2把轮换写成对换的乘积 · 方法一 ⏱ 00:31
- \(1\) 的像：\((1\ 2)\) 把 \(1 \mapsto 2\)，接着 \((1\ 3)\) 不动 \(2\)，故 \(1 \mapsto 2\)；
- \(2\) 的像：\((1\ 2)\) 把 \(2 \mapsto 1\)，而 \(1\) 还得被 \((1\ 3)\) 变成 \(3\)，故 \(2 \mapsto 3\)；
- \(3\) 的像：\((1\ 2)\) 不动 \(3\)，\((1\ 3)\) 把 \(3 \mapsto 1\)，故 \(3 \mapsto 1\)。
- \(1 \mapsto 2\)，之后不动；
- \(2 \mapsto 1\)，而 \(1\) 还会变成 \(3\)，故 \(2 \mapsto 3\)；
- \(3\) 在 \((1\ 2)\) 中不动，被 \((1\ 3)\) 变成 \(1\)，而 \(1\) 还会变成 \(4\)，故 \(3 \mapsto 4\)；
- \(4\) 在前面对换中不动，最后被 \((1\ 4)\) 变成 \(1\)，故 \(4 \mapsto 1\)。
3分解方法二：引入一个外部元素 ⏱ 03:18
除了方法一，还有很多不同的写法。第二种方法：任取一个不在轮换中出现的数 \(b\)，每个对换前面都放 \(b\)。
- \(1\)：最右 \((4\ 1)\) 把 \(1 \mapsto 4\)，接着 \((4\ 2)\) 把 \(4 \mapsto 2\)，后面没有 \(2\) 了，故 \(1 \mapsto 2\)；
- \(2\)：最右对换不动 \(2\)，\((4\ 2)\) 把 \(2 \mapsto 4\)，而 \(4\) 还会被 \((4\ 3)\) 变成 \(3\)，故 \(2 \mapsto 3\)；
- \(3\)：前两个对换不动 \(3\)，\((4\ 3)\) 把 \(3 \mapsto 4\)，而 \(4\) 又被最左的 \((4\ 1)\) 变成 \(1\)，故 \(3 \mapsto 1\)；
- \(4\)：先被变成 \(1\)，最后又变回 \(4\)，保持不动。
这里的 \(4\) 换成 \(5\) 或任何不属于 \(\{1,2,3\}\) 的数都可以。⏱ 04:48
4性质 5：对换个数的奇偶性不变 ⏱ 06:41
4.1 观察
- \((1\ 2\ 3)\) 是三循环（长度为奇数）：方法一写为 \(2\) 个对换的乘积，方法二写为 \(4\) 个对换的乘积——个数不同，但总是偶数个；
- \((1\ 2\ 3\ 4)\) 是四循环（长度为偶数）：可以写为 \(3\) 个对换的乘积，也可以写为 \(5\) 个对换的乘积——总是奇数个。⏱ 06:58
即：长度为奇数的轮换总可以写为偶数个对换的乘积；长度为偶数的轮换（\(k\) 为偶数）总可以写为奇数个对换的乘积。写法可以不同，但奇偶性不变。
| 轮换 | 长度 \(k\) | 方法一（\(k-1\) 个对换） | 方法二（\(k+1\) 个对换） | 对换个数奇偶性 |
|---|---|---|---|---|
| \((1\ 2\ 3)\) | \(3\)（奇） | \(2\) 个 | \(4\) 个 | 偶 |
| \((1\ 2\ 3\ 4)\) | \(4\)（偶） | \(3\) 个 | \(5\) 个 | 奇 |
| 一般 \(k\) 轮换 | \(k\) | \(k-1\) 个 | \(k+1\) 个 | 由 \(k-1\) 的奇偶性决定 |
4.2 性质 5 的陈述 ⏱ 09:01
例如 \((1\ 2\ 3)\) 可写为 \(2\) 个也可写为 \(4\) 个对换的乘积，奇偶性都是偶；\((1\ 2\ 3\ 4)\) 可写为 \(3\) 个或 \(5\) 个，奇偶性都是奇。⏱ 10:14
4.3 为什么会这样：Vandermonde 行列式 ⏱ 10:31
这个事实可以严格证明，要用到高等代数里的 Vandermonde（范德蒙德）行列式。回忆 \(k\) 阶 Vandermonde 行列式：第一行全是 \(1\)，之后各行依次为 \(x_i\)、\(x_i^2\)、……、\(x_i^{k-1}\)：
即结果等于「下标大的减下标小的」的所有可能的乘积。例如 \(3\) 阶时右边就是 \((x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1)\) 这种样子。⏱ 11:25
证明思路（点击展开）
- 对下标 \(1, 2, \dots, k\) 做一个置换 \(\sigma \in S_k\)（相当于把行列式的列重新排序）。新行列式的元素仍在 \(x_1, \dots, x_k\) 之间跑动，绝对值不变，唯一可能变的是符号，而且符号由 \(\sigma\) 唯一决定。⏱ 12:17
- 另一方面，把 \(\sigma\) 写成一些对换的乘积。每做一个对换，相当于交换行列式的两列；由行列式的性质，交换两列，行列式变号一次。若用了 \(m\) 个对换，符号就变 \((-1)^m\) 倍。
- \(\sigma\) 写成对换乘积的方式有很多种（\(m\) 可以不同），但不管用哪种写法，一步步交换列得到的最终行列式，必须和「直接用 \(\sigma\) 作用」得到的行列式一致——符号也要一致。
- 因此 \((-1)^m\) 只由 \(\sigma\) 决定，与分解方式无关；于是任何两种分解中对换个数的奇偶性必须相同。⏱ 14:33
这就是 Vandermonde 行列式一个比较奇妙的用法，值得稍微多想一下：不同的表达方式没有关系，但奇偶性一定要一样。
5奇置换、偶置换与符号函数 ⏱ 15:39
5.1 奇置换与偶置换
- 若一个置换可以写为奇数个对换的乘积，则称它为奇置换；
- 若一个置换可以写为偶数个对换的乘积，则称它为偶置换。
5.2 符号函数
6交错群 \(A_n\) ⏱ 19:13
验证（点击展开）
- 封闭性：两个偶置换相乘，对换个数相加仍为偶数，结果仍是偶置换；
- 单位元：恒等映射可以写为 \(0\) 个对换的乘积，\(0\) 是偶数，故单位元在 \(A_n\) 中；
- 逆元：任何一个对换 \((i\ j)\) 是二阶元，它的逆映射就是它自己；于是偶数个对换乘积的逆（把顺序反过来）仍是同样多个对换的乘积，仍是偶置换。
子群的所有条件都满足，所以 \(A_n \le S_n\)，可以单独把它当作一个群来研究。⏱ 20:59
6.1 \(\mathrm{sgn}\) 是满的群同态 ⏱ 21:39
验证提示：把 \(\sigma, \tau\) 分别写成对换的乘积，则 \(\sigma\tau\) 的对换总数是两者之和，奇偶性按「偶 + 偶 = 偶、奇 + 奇 = 偶、一奇一偶 = 奇」相加，恰好对应 \(\pm1\) 的乘法。
6.2 同态基本定理与正规性 ⏱ 22:36
既然 \(\mathrm{sgn}\) 是满同态，由同态基本定理：
而核正是 ⏱ 23:02
所以 \(S_n / A_n \cong \{\pm1\}\)。由于「同态的核总是正规子群」（讲同态时已证明），立刻得到 ⏱ 23:25
另一方面，由同构也可看出 \([S_n : A_n] = |\{\pm1\}| = 2\)：如果一个子群只有两个陪集，那么它肯定是正规子群——这就是下面的引理。⏱ 23:56
证明（点击展开）
不同左陪集的个数只有两个。把 \(G\) 用左陪集分解：一个是平凡的 \(eH = H\)，另一个设为 \(aH\)（\(a \notin H\)），即 \(G = H \sqcup aH\)，不会有其他陪集。从右陪集的角度同样只有两个：\(G = H \sqcup Ha\)。⏱ 24:47
于是：当 \(a \in H\) 时，\(aH = Ha = H\)；当 \(a \notin H\) 时，\(aH = G \setminus H = Ha\)。所以对任意 \(a \in G\) 都有 \(aH = Ha\)，即 \(H\) 是正规子群。这个结论很简单但后面会用到，所以在这里提一下。⏱ 25:43
6.3 \(A_n\) 的阶：奇偶置换各占一半 ⏱ 25:59
自然会问：\(S_n\) 中奇置换与偶置换的个数是否一样？事实是确实一样。
- 首先 \(|S_n| = n!\)：\(1\) 的像有 \(n\) 种选择，\(2\) 的像有 \(n-1\) 种选择，依次类推。⏱ 26:18
- 设 \(B_n\) 为 \(S_n\) 中所有奇置换的集合（\(A_n\) 是所有偶置换）。构造映射 ⏱ 27:19
\[ \varphi: A_n \longrightarrow B_n, \qquad \sigma \longmapsto (1\ 2)\,\sigma. \]\(\sigma\) 本来是偶置换，多乘一个对换 \((1\ 2)\) 就变成奇置换。可以证明 \(\varphi\) 是一个双射（自己证一下，不难）。⏱ 27:45
- 于是奇、偶置换个数相等，各占一半： ⏱ 28:30
\[ |A_n| = |B_n| = \frac{n!}{2}. \]也可以由商群（指数）的定义 \([S_n : A_n] = |S_n|/|A_n|\) 以及 \([S_n : A_n] = 2\) 直接推出 \(|A_n| = n!/2\)。
小结：证明 \(A_n \trianglelefteq S_n\) 有两种方法——其一用 \(\ker(\mathrm{sgn})\)（同态的核），其二用指数 \([S_n:A_n]=2\)（指数为 2 必正规）。⏱ 28:59
7命题：\(A_n\) 由三循环生成 ⏱ 29:04
证明（点击展开）
\(n = 3\) 的情形：显然。\(S_3\) 中任何元素写成不相交轮换的乘积时，最多也就是三循环的形式；而 \(A_3\) 中都是偶置换，即 \(e, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\)，自然都是三循环（及其乘积）。⏱ 30:22
\(n > 3\) 的情形：任取 \(\sigma \in A_n\)，则 \(\sigma\) 可以写为偶数个对换的乘积：\(\sigma = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_{2m}\)。把对换两个两个一组，任取一对来看，它们的形式只有两种情况 ⏱ 31:47：
- 两个对换没有重复的数字：形如 \((a\ b)(c\ d)\)；
- 两个对换恰有一个重复的数字：形如 \((a\ b)(a\ c)\)。
（不可能两个数字全都重复——那样两个对换相同，相乘就是平凡的单位元。）其中 \(a, b, c, d\) 都是 \(\{1, \dots, n\}\) 中互不相同的元素。只要证明每一对对换的乘积都能写成三循环即可。⏱ 32:46
情况一（四个数字全不同）：⏱ 33:23
记忆方法：第一个三循环 = 前一个对换 \((a\ b)\) 再「重复一下后面那个对换的第一个数」\(c\)；第二个三循环 = 在后面那个对换 \((c\ d)\) 前面「加上前面那个对换的后一个数」\(b\)。验证：\(a \mapsto b\)；\(b \mapsto c \mapsto a\)，故 \(b \mapsto a\)；\(c \mapsto d\)；\(d \mapsto b \mapsto c\)，故 \(d \mapsto c\)。左右一样，是两个三循环的乘积。
情况二（有一个数字相同）：⏱ 34:40
这正是第 2 节「三循环可写为两个对换乘积」的反向使用。验证：\(a \mapsto c\)；\(c \mapsto a \mapsto b\)，故 \(c \mapsto b\)；\(b \mapsto a\)。左右一样，本身就是一个三循环。
结论：\(\sigma\) 是偶数个对换的乘积，两两分组后，每一对要么是情况一（两个三循环之积），要么是情况二（一个三循环），所以 \(\sigma\) 总能写为三循环的乘积。把全体三循环放在一起，就可以生成整个 \(A_n\)。⏱ 35:16
8Klein 四元群：正规性不具有传递性 ⏱ 36:02
提示：考虑下面的群——Klein 四元群。⏱ 37:29
验证（点击展开）
- \(x^2 = y^2 = z^2 = e\)：例如 \(x\) 是两个不相交对换的乘积，不相交的对换本来就可交换，而且每个对换都是二阶元，所以平方就是单位元。⏱ 39:23
- 再算一下 \(xy\)，会发现 \(xy = z\)（自己验证）。⏱ 39:46
- 于是 \(K_4\) 对乘法封闭；所有元素都是二阶元，逆元就是元素本身——很容易验证它是一个子群，而且显然是交换的。
8.1 构造反例
- 第一步 ⏱ 41:43：取 \(H = \{e, x\} = \{e, (1\ 2)(3\ 4)\}\)。它显然是 \(K_4\) 的子群；因为 \(K_4\) 是交换群，交换群的任何子群都是正规子群，故 \(H \trianglelefteq K_4\)。也可以这样看：\(K_4\) 是 \(4\) 阶的，\(H\) 是 \(2\) 阶的，指数 \([K_4 : H] = 2\)，由上面的引理立刻得到 \(H \trianglelefteq K_4\)。⏱ 42:13
- 第二步 ⏱ 42:45：证明 \(K_4 \trianglelefteq S_4\)。
验证 \(K_4 \trianglelefteq S_4\)（点击展开）
要证正规，就是验证共轭作用后仍落在 \(K_4\) 里：对任意 \((a\ b)(c\ d) \in K_4\)（\(a,b,c,d\) 互不相同）与任意 \(\sigma \in S_4\)，⏱ 42:57
由于 \(a,b,c,d\) 互不相同，\(\sigma(a), \sigma(b), \sigma(c), \sigma(d)\) 也互不相同，右边仍是两个不相交对换的乘积，即仍在 \(K_4\) 中。所以 \(K_4 \trianglelefteq S_4\)。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 以为对换分解唯一：表示方法不唯一（\(k-1\) 个、\(k+1\) 个……都可以），唯一的只是对换个数的奇偶性。
- 把「轮换长度的奇偶」与「置换的奇偶」搞反：长度为奇数的轮换（如三循环）是偶置换；长度为偶数的轮换（如对换、四循环）才是奇置换。
- 忘记恒等映射是 \(0\) 个对换的乘积（\(0\) 为偶数），验证 \(A_n\) 是子群时单位元这一条不要漏。
- 误以为 \(\mathrm{sgn}\) 是单射：\(\mathrm{sgn}\) 满而不单，大量偶置换都映到 \(1\)。
- 误以为正规性可以传递：\(H \trianglelefteq K\)、\(K \trianglelefteq G\) 推不出 \(H \trianglelefteq G\)（本讲 \(K_4\) 反例）；成立的是「下降」方向：\(H \trianglelefteq G \Rightarrow H \trianglelefteq K\)（\(H \le K \le G\)）。
- 验证置换相等时作用顺序搞错：约定从最右边的对换开始，一个一个往左作用。
✎自测与作业
- 用两种方法把 \((1\ 2\ 3\ 4\ 5)\) 写成对换的乘积，分别数一数对换个数，并判断它是奇置换还是偶置换。
- 验证 \(\mathrm{sgn}: S_n \to \{\pm1\}\) 是群同态：\(\mathrm{sgn}(\sigma\tau) = \mathrm{sgn}(\sigma)\mathrm{sgn}(\tau)\)，并说明它满而不单。
- 证明 \(\varphi: A_n \to B_n,\ \sigma \mapsto (1\ 2)\sigma\) 是双射（提示：逆映射也是左乘 \((1\ 2)\)），从而推出 \(|A_n| = n!/2\)。
- 证明：若 \(H \le G\) 且 \([G:H] = 2\)，则 \(H \trianglelefteq G\)。
- （作业）举例说明正规性不传递：找 \(H \le K \le G\)，使 \(H \trianglelefteq K\)、\(K \trianglelefteq G\)，但 \(H \ntrianglelefteq G\)。提示：取 \(G = S_4\)，\(K = K_4\)，\(H = \{e, (1\ 2)(3\ 4)\}\)；需验证 \(K_4\) 是 \(A_4\) 的交换子群、\(K_4 \trianglelefteq S_4\)，而 \(H\) 在 \(S_4\) 中不正规。
- 验证 \(K_4\) 的乘法关系：\(x^2 = y^2 = z^2 = e\)，\(xy = z\)（并由此说明 \(K_4\) 交换）。