抽象代数 · 课程学习笔记

第 11 讲 · 置换群 (i)

Permutation Groups (I)
音频时长 59:24 进度 11 / 38 讲 核心概念：变换群 · 凯莱定理 · 循环 · 对换 · 共轭
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◎学习目标

  1. 理解变换群的概念：集合 \(S\) 上全体双射在复合运算下构成的群 \(\operatorname{Sym}(S)\)；
  2. 掌握凯莱（Cayley）定理及其证明：任何群都同构于某个变换群的子群，构造核心是左乘算子 \(\tau_g\)；
  3. 知道推论：任何 \(n\) 阶有限群都同构于 \(S_n\) 的一个子群（置换群）；
  4. 掌握 k-循环与对换的定义，会把任意置换写成不相交循环的乘积；
  5. 理解「不相交循环可交换；有公共元素的循环一般不可交换」，并熟悉从右往左的复合约定；
  6. 掌握循环的三类基本运算：k-循环有 \(k\) 种写法（轮换起点）、k-循环的阶为 \(k\)、逆循环为括号内逆序；
  7. 掌握共轭公式 \(\sigma(i_1\;\cdots\;i_k)\sigma^{-1}=(\sigma(i_1)\;\cdots\;\sigma(i_k))\)，并理解共轭保持置换的循环形状。

0回顾与动机：变换群 ⏱ 00:00

定义 · 变换群 ⏱ 00:56 设 \(S\) 为一个集合。\(S\) 上全体双射（一一对应）在映射复合运算下构成的群，称为集合 \(S\) 上的变换群，一般记作
\[ \operatorname{Sym}(S). \]
其中的元素就是 \(S\) 到自身的双射，运算就是映射的复合。
例 · \(S_3\) 就是三元集合上的变换群 ⏱ 21:50 取 \(S = \{1,2,3\}\)，则 \(\operatorname{Sym}(S) = S_3\)。前面反复使用的 \(S_3\) 例子，正是「三个元素的集合上的变换群」这一特殊情况。

本讲的第一步要回答一个根本问题：任何一个抽象的群，能不能都看成某个集合上的变换群（的子群）？答案是肯定的——这就是下面的凯莱定理。特别地，对有限群而言，变换群就是置换群，从而任何有限群都同构于某个置换群的子群。

1凯莱（Cayley）定理 ⏱ 03:01

定理 · 凯莱定理（Cayley's Theorem） 任何一个群都同构于某一个变换群的子群。所谓变换群，就是某一个集合上全体双射构成的群。
术语约定 ⏱ 03:49 和置换群的说法一样：变换群的子群，我们也常常直接称为变换群；正如 \(S_n\) 的子群也直接称为置换群。所以定理也常说成「任何群都同构于某个变换群」。

1.1 构造：左乘算子 \(\tau_g\) ⏱ 05:25

要证「同构于某个变换群的子群」，第一步是找到对应：给任意一个群 \(G\)（运算记作 \(\cdot\)），对每个 \(g \in G\)，定义映射

\[ \tau_g : G \longrightarrow G, \qquad x \longmapsto gx \quad (\text{左乘 } g). \]

只要证明 \(\tau_g\) 是双射，它就是集合 \(G\) 上的变换群 \(\operatorname{Sym}(G)\) 中的一个元素——这样就找到了「群元素 \(\leftrightarrow\) 双射」的对应。

性质 · \(\tau_g\) 是 \(G\) 上的双射 ⏱ 05:55 对任意 \(g \in G\)，\(\tau_g \in \operatorname{Sym}(G)\)。
证明（点击展开）

单射 ⏱ 06:24：设 \(\tau_g(x) = \tau_g(y)\)，即 \(gx = gy\)。两边同时左乘 \(g^{-1}\)，立刻得到 \(x = y\)。

满射 ⏱ 06:57：任取 \(x \in G\)，要找被映到 \(x\) 的元素。取 \(y = g^{-1}x\)，则

\[ \tau_g(g^{-1}x) = g(g^{-1}x) = (g\,g^{-1})x = x. \]

即 \(g^{-1}x\) 在 \(\tau_g\) 下的像恰为 \(x\)，故 \(\tau_g\) 是满的。既单又满，\(\tau_g\) 是 \(G\) 上的双射。

1.2 全体左乘算子构成子群 ⏱ 09:11

把所有左乘算子放在一起，记为

\[ T = \{\, \tau_g \mid g \in G \,\} \subseteq \operatorname{Sym}(G). \]
性质 · \(T\) 是 \(\operatorname{Sym}(G)\) 的子群 用子群判定：任取 \(\tau_g, \tau_h \in T\)，验证 \(\tau_g\,\tau_h^{-1} \in T\)。
证明（点击展开）

先看 \(\tau_h\) 的逆：\(\tau_h\) 把 \(x\) 映为 \(hx\)，要把 \(hx\) 送回 \(x\) 就左乘 \(h^{-1}\)，所以

\[ \tau_h^{-1} = \tau_{h^{-1}}. \]

再算复合：对任意 \(x \in G\)，

\[ (\tau_g \circ \tau_{h^{-1}})(x) = \tau_g(h^{-1}x) = g(h^{-1}x) = (g\,h^{-1})x = \tau_{gh^{-1}}(x). \]

故 \(\tau_g\,\tau_h^{-1} = \tau_{gh^{-1}} \in T\)（它仍可写成「某个群元素的左乘算子」的形式）。由子群判定定理，\(T \le \operatorname{Sym}(G)\)。每一步都是严格的。

1.3 对应 \(g \mapsto \tau_g\) 是群同构 ⏱ 13:50

找到对应 \(G \to T,\ g \mapsto \tau_g\) 之后，还要证明这个对应是同构：是同态、是单的、是满的。

定理 · \(\varphi: G \to T,\ g \mapsto \tau_g\) 是群同构 从而 \(G \cong T\)，而 \(T\) 是变换群 \(\operatorname{Sym}(G)\) 的子群，凯莱定理得证。
证明（点击展开）

（1）同态（保持运算） ⏱ 14:24：要证 \(\tau_{gh} = \tau_g\,\tau_h\)。对任意 \(x \in G\)，

\[ (\tau_g \circ \tau_h)(x) = \tau_g(hx) = g(hx) = (gh)x = \tau_{gh}(x). \]

对一切 \(x\) 成立，故 \(\tau_{gh} = \tau_g\,\tau_h\)，即 \(\varphi(gh) = \varphi(g)\,\varphi(h)\)。这里 \(\tau_g\) 是 \(g\) 在 \(\varphi\) 下的像，\(\tau_h\) 是 \(h\) 的像，乘积的像等于像的乘积。

（2）满射 ⏱ 16:15：这是显然的——\(T\) 中的任何元素按定义都写作 \(\tau_g\) 的形式，下标是什么，原像就是什么。

（3）单射，方法一 ⏱ 16:35：设 \(\tau_g = \tau_h\)。两个双射相等意味着对任意 \(x \in G\)，\(\tau_g(x) = \tau_h(x)\)，即 \(gx = hx\)。两边同时右乘 \(x^{-1}\)，得 \(g = h\)。

（3'）单射，方法二（用核） ⏱ 18:03：前面已证 \(\varphi\) 是同态，故只需证核为平凡群。单位元是恒等映射 \(\mathrm{id}\)（保持所有元素不动）：

\[ \ker\varphi = \{\, g \in G \mid \tau_g = \mathrm{id} \,\} = \{\, g \in G \mid gx = x,\ \forall x \in G \,\}. \]

条件 \(gx = x\) 对一切 \(x\) 成立，两边右乘 \(x^{-1}\) 即得 \(g = e\)。所以 \(\ker\varphi = \{e\}\)，\(\varphi\) 是单射。

综上，\(\varphi\) 既是同态又是双射，是群同构，\(G \cong T\)。 ⏱ 19:33

1.4 推论：有限群都是置换群的子群 ⏱ 22:01

推论 若 \(G\) 是有限群（设 \(|G| = n\)），则 \(G\) 同构于某个 \(S_n\) 的子群，即同构于一个置换群。

理由：有限集合上的变换群就是置换群——考虑有限集合的情况，\(\operatorname{Sym}(G)\) 本质上就是 \(S_n\)（\(n = |G|\)）。

意义 想了解那些熟悉的、比较小的群，都可以把它们对应到置换群里面，把相应的子群找出来；置换群的计算（乘积、逆、阶）因此必须非常熟悉。这正是本讲接下来要系统学习置换群运算的原因。 ⏱ 22:43

2循环与对换 ⏱ 23:49

现在正式研究置换群。考虑有限集合 \(\{1, 2, \dots, n\}\) 上的置换（即 \(S_n\) 的元素），其元素用编号 \(1\) 到 \(n\) 表示。

定义 · k-循环（k-cycle） ⏱ 24:26 设 \(i_1, i_2, \dots, i_k\) 是 \(\{1,\dots,n\}\) 中互不相同的数（相同的数不写，只考虑互异的情形）。称置换
\[ (i_1\; i_2\; \cdots\; i_k) \]
为一个 k-循环（英语：k-cycle），它的作用是
\[ i_1 \mapsto i_2,\quad i_2 \mapsto i_3,\quad \dots,\quad i_{k-1} \mapsto i_k,\quad i_k \mapsto i_1, \]
其余元素全部保持不动。括号里有 \(k\) 个不同的数，故称 k-循环。
例 · 3-循环与 4-循环 ⏱ 25:08 \((1\;2\;3)\) 是一个 3-循环：\(1 \to 2,\ 2 \to 3,\ 3 \to 1\)。又如 \((7\;8\;9\;1)\) 是一个 4-循环：\(7 \to 8,\ 8 \to 9,\ 9 \to 1,\ 1 \to 7\)。
定义 · 对换（transposition） ⏱ 25:38 当 \(k = 2\) 时，\((i_1\; i_2)\) 称为一个对换（英语：transposition）：它只交换两个数，其余元素不动。例如 \((3\;4)\)。
为什么对换特别重要 ⏱ 26:07 对换是研究置换群的基本「砖块」。上次有同学问 \(A_n\) 是什么：\(A_n\) 就是交错群——把 \(S_n\) 中所有的偶置换放在一起得到的群。而「偶置换」要用多少个对换的乘积来表示来定义。这部分内容会一步一步讲（见下一讲）。

3置换的不相交循环分解 ⏱ 26:59

定理 · 不相交循环分解 任意给你一个置换，它都可以写为互不相交的循环的乘积（若干个）。这里「不相交」指不同括号里的数没有重复——每个数只在一个括号里出现。
性质 · 唯一性与可交换性 ⏱ 27:52
  1. 不相交的循环因子可以交换：只要保证括号里的数没有重复，这些循环之间的顺序可以随便调换；
  2. 在不计较次序的意义下，这种分解是唯一确定的。

分解方法：从某个数出发，依次求它的像、像的像……直到回到起点，封一个括号；再挑一个尚未处理的数继续，直到所有数都处理完。保持不动的数（1-循环）通常省略不写。

3.1 例子 ⏱ 28:35

例 1 · 分解为两个不相交循环 设置换 \(\sigma\) 用两行记号表示为
\[ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4 & 6 \end{pmatrix}. \]
追踪轨道：\(1 \to 3,\ 3 \to 2,\ 2 \to 1\)，封括号得 \((1\;3\;2)\)；接着处理未出现的 \(4\)：\(4 \to 5,\ 5 \to 4\)，得 \((4\;5)\)；\(6\) 保持不动，省略。于是
\[ \sigma = (1\;3\;2)(4\;5). \]
每个括号里的数互不重复，这就是不相交循环分解。
例 2 · 分解结果是一个大循环 ⏱ 30:39 设
\[ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 6 & 2 \end{pmatrix}. \]
追踪：\(1 \to 4,\ 4 \to 5,\ 5 \to 6,\ 6 \to 2,\ 2 \to 3,\ 3 \to 1\)，所有数都在一条轨道上，故
\[ \sigma = (1\;4\;5\;6\;2\;3), \]
它本身就是一个 6-循环。（老师本想给一个能拆成多个循环的例子，结果这个置换只有一个循环——但结论不变：任何置换总能写为不相交循环之积。）
例 3 · 五元集合上的分解 ⏱ 32:35 在 \(\{1,2,3,4,5\}\) 上，追踪像：\(1 \to 3,\ 3 \to 1\)，得 \((1\;3)\)；再处理 \(2\)：\(2 \to 5,\ 5 \to 4,\ 4 \to 2\)，得 \((2\;5\;4)\)。两个循环互不相交，分解为
\[ \sigma = (1\;3)(2\;5\;4). \]
交换顺序写成 \((2\;5\;4)(1\;3)\) 也一样——因为不相交。

3.2 反例：有公共元素的循环不可交换 ⏱ 34:55

反例 · \((1\;2\;3)\) 与 \((5\;6\;1\;4)\) 不可交换 两个循环有公共元素 \(1\)，交换顺序结果不同。约定：本课程从右往左算（把置换看成映射，复合时右边先作用；课本上可能从左往右算，需注意区分）。 ⏱ 35:38
  • \((1\;2\;3)(5\;6\;1\;4)\)：\(1 \to 4 \to 4\)，\(2 \to 2 \to 3\)，\(3 \to 3 \to 1\)，\(4 \to 5 \to 5\)，\(5 \to 6 \to 6\)，\(6 \to 1 \to 2\)，结果为
    \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 6 & 2 \end{pmatrix} = (1\;4\;5\;6\;2\;3). \]
  • 反过来 \((5\;6\;1\;4)(1\;2\;3)\)：\(1 \to 2 \to 2\)，\(2 \to 3 \to 3\)，\(3 \to 1 \to 4\)，\(4 \to 4 \to 5\)，\(5 \to 5 \to 6\)，\(6 \to 6 \to 1\)，结果为 ⏱ 37:56
    \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \end{pmatrix} = (1\;2\;3\;4\;5\;6). \]
两边对比：两个置换不一样。有重复元素时，顺序不能随便换；这一步要特别小心。
性质 · 不相交循环可交换（严格表述） ⏱ 38:21 设 \((i_1\;i_2\;\cdots\;i_m)\) 是一个 m-循环，\((j_1\;j_2\;\cdots\;j_k)\) 是一个 k-循环，若两者没有相同的元素，则
\[ (i_1\;\cdots\;i_m)(j_1\;\cdots\;j_k) = (j_1\;\cdots\;j_k)(i_1\;\cdots\;i_m). \]
证明（点击展开）

记 \(\sigma = (i_1\;\cdots\;i_m)\)，\(\tau = (j_1\;\cdots\;j_k)\)，两组数互不相交。任取元素 \(x\) 分三种情况：

  • 若 \(x\) 是某个 \(i_r\)：\(\tau\) 不动它，故 \(\tau\sigma(x) = \tau(\sigma(x)) = \sigma(x)\)（因为 \(\sigma(x)\) 仍是某个 \(i\)，\(\tau\) 也不动它）；同理 \(\sigma\tau(x) = \sigma(x)\)。
  • 若 \(x\) 是某个 \(j_s\)：完全对称地，两边都等于 \(\tau(x)\)。
  • 若 \(x\) 两者都不是：两个循环都不动它，两边都等于 \(x\)。

对一切 \(x\) 作用相同，故 \(\sigma\tau = \tau\sigma\)。直观理解：先做哪一个变换对下一步都没有影响，因为它们动的数完全不重叠。

4循环的不同写法 ⏱ 39:24

一个循环不见得非要写成 \((i_1\;i_2\;\cdots\;i_k)\) 的形式：起点可以换，但从左到右的循环顺序必须保持不变。

例 · \((7\;8\;9\;1)\) 的等价写法 ⏱ 39:29 \((7\;8\;9\;1)\) 的意思是 \(7 \to 8,\ 8 \to 9,\ 9 \to 1,\ 1 \to 7\)。若从 \(8\) 开始写，保持顺序得 \((8\;9\;1\;7)\)：\(8 \to 9,\ 9 \to 1,\ 1 \to 7,\ 7 \to 8\)——两者是一回事，只是先考虑谁的像而已。
性质 · k-循环恰有 k 种写法 ⏱ 41:02
\[ (i_1\;i_2\;\cdots\;i_k) = (i_2\;i_3\;\cdots\;i_k\;i_1) = \cdots = (i_k\;i_1\;\cdots\;i_{k-1}). \]
从 \(k\) 个元素中任取一个作起点，得到 \(k\) 个等价写法；除此之外（保持循环顺序的）没有别的写法。

5k-循环的阶 ⏱ 41:23

回顾：元素 \(\sigma\) 的阶是使 \(\sigma^n = e\)（单位映射）成立的最小正整数 \(n\)，记作 \(o(\sigma)\)。 ⏱ 42:08

性质 · k-循环的阶为 k 一个 k-循环的阶数一定是 \(k\)：作用 \(k\) 次后每个数恰好沿循环走一圈回到自身，而少于 \(k\) 次时 \(i_1\) 尚未回到 \(i_1\)。
例 · \(\sigma = (1\;2\;3)\) 的阶是 3 ⏱ 41:41 \(\sigma\)：\(1 \to 2,\ 2 \to 3,\ 3 \to 1\)。再做一次（\(\sigma^2\)）：\(1 \to 3,\ 2 \to 1,\ 3 \to 2\)，即
\[ \sigma^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = (1\;3\;2) \neq e. \]
再做第三次：\(1,2,3\) 全部回到原位，\(\sigma^3 = e\)。由于 \(\sigma \neq e\)、\(\sigma^2 \neq e\)、\(\sigma^3 = e\)，使 \(\sigma^n = e\) 的最小正整数为 \(3\)，故 \(o(\sigma) = 3\)。
课后作业 对一般的 k-循环 \((i_1\;i_2\;\cdots\;i_k)\)，仿照上面的例子验证它的阶确实是 \(k\)（看 \(i_1\) 在第 \(m\) 次作用后被送到哪里即可）。

6循环的逆 ⏱ 42:56

性质 · 逆循环 = 括号内逆序 ⏱ 43:23
\[ (i_1\;i_2\;\cdots\;i_k)^{-1} = (i_k\;i_{k-1}\;\cdots\;i_2\;i_1). \]
把括号里的元素倒一个顺序，就是逆置换。
证明（点击展开） ⏱ 43:39

记 \(\sigma = (i_1\;i_2\;\cdots\;i_k)\)，\(\tau = (i_k\;i_{k-1}\;\cdots\;i_1)\)。要证 \(\tau = \sigma^{-1}\)，即证 \(\sigma\tau = e = \tau\sigma\)。这两个置换只动 \(i_1,\dots,i_k\)，故只需逐一检查这些元素的像：

  • \(\tau(i_1) = i_k\)，而 \(\sigma(i_k) = i_1\)，所以 \((\sigma\tau)(i_1) = i_1\)；
  • 对 \(r = 2,\dots,k\)：\(\tau(i_r) = i_{r-1}\)，而 \(\sigma(i_{r-1}) = i_r\)，所以 \((\sigma\tau)(i_r) = i_r\)；
  • 不在循环中的元素两者都不动，像仍为自己。

故 \(\sigma\tau = e\)。完全类似地验证 \(\tau\sigma = e\)：\(\sigma\) 把下标加 \(1\)，\(\tau\) 把下标减 \(1\)，正好导回去。因此 \(\sigma^{-1} = \tau\)。

例 · 立刻写出逆 ⏱ 47:37
\[ (6\;5\;4)^{-1} = (4\;5\;6). \]
结合第 4 节的等价写法，也可写成 \((5\;6\;4)\) 或 \((6\;4\;5)\)——都是一回事。以后遇到具体的循环求逆，直接倒序写出即可。

7循环的共轭与形状不变 ⏱ 48:21

设 \(\sigma \in S_n\)。形如 \(\sigma\,(\cdots)\,\sigma^{-1}\) 的运算称为共轭作用（严格的「作用」定义后面再给；这里左右两边互为逆元素的结构，与处理正规子群时见过的左右陪集类似）。

性质 · 共轭公式 设 \(\sigma \in S_n\)，\((i_1\;i_2\;\cdots\;i_k)\) 是一个 k-循环，则
\[ \sigma\,(i_1\;i_2\;\cdots\;i_k)\,\sigma^{-1} = \bigl(\sigma(i_1)\;\sigma(i_2)\;\cdots\;\sigma(i_k)\bigr). \]
口诀：把循环括号里的每个数，换成它在 \(\sigma\) 下的像，结果可以直接写出。
证明（点击展开） ⏱ 49:23

右边循环动的数是 \(\sigma(i_1),\dots,\sigma(i_k)\)，它把 \(\sigma(i_r)\) 送到 \(\sigma(i_{r+1})\)（下标模 \(k\)）。要证左右相等，只需验证左边这个映射对这些元素的作用与右边一致。

看 \(\sigma(i_1)\) 在左边的像。利用结合律，先把 \(\sigma^{-1}\) 与 \(\sigma\) 合并：

\[ \bigl[\sigma\,(i_1\;\cdots\;i_k)\,\sigma^{-1}\bigr](\sigma(i_1)) = \sigma\,(i_1\;\cdots\;i_k)\,(\sigma^{-1}\sigma)(i_1) = \sigma\,(i_1\;\cdots\;i_k)(i_1) = \sigma(i_2). \]

注意：\(\sigma(i_1)\) 是一个具体的数（\(i_1\) 在 \(\sigma\) 下的像），不是循环记号里的符号，不能随便消掉——这与循环分解时省略不动点是两码事。

同理，对每个 \(r\)：\(\sigma(i_r)\) 在左边下的像是 \(\sigma(i_{r+1})\)（先被 \(\sigma^{-1}\) 送回 \(i_r\)，循环把它送到 \(i_{r+1}\)，再被 \(\sigma\) 送到 \(\sigma(i_{r+1})\)）；特别地 \(\sigma(i_k)\) 被送到 \(\sigma(i_1)\)。这恰好就是右边循环 \((\sigma(i_1)\;\cdots\;\sigma(i_k))\) 的作用。对不在这些像中的元素，两边都保持不动。故左右相等。

例 · 用共轭公式快速计算 ⏱ 54:24 设 \(\sigma = (1\;2\;3)\)，计算 \((1\;2\;3)(3\;2\;5)(3\;2\;1)\)。观察：\((3\;2\;1) = (1\;2\;3)^{-1} = \sigma^{-1}\)，所以这就是 \(\sigma\,(3\;2\;5)\,\sigma^{-1}\)。直接用公式，看 \(3,2,5\) 在 \(\sigma\) 下的像：
\[ \sigma(3) = 1,\qquad \sigma(2) = 3,\qquad \sigma(5) = 5 \quad (\sigma \text{ 不含 } 5,\ 5 \text{ 不动}). \]
于是结果为 \((1\;3\;5)\)。不必真的去算三个循环的乘积，立刻得出。

7.1 共轭保持置换的形状 ⏱ 55:55

Remark · 形状不变 设 \(\sigma \in S_n\)，\((i_1\;\cdots\;i_k)\) 是 k-循环，\((j_1\;\cdots\;j_l)\) 是 l-循环（\(k\) 与 \(l\) 不一定相同）。在两个循环的乘积的共轭中，可以在中间「添添补补」插入 \(\sigma^{-1}\sigma\)（乘了又等于没乘）：
\[ \sigma\,\bigl[(i_1\;\cdots\;i_k)(j_1\;\cdots\;j_l)\bigr]\,\sigma^{-1} = \bigl(\sigma(i_1)\;\cdots\;\sigma(i_k)\bigr)\,\bigl(\sigma(j_1)\;\cdots\;\sigma(j_l)\bigr). \]
原来的 k-循环在共轭作用下仍是一个 k-循环，l-循环仍变成 l-循环。

由于任何置换都可以写为不相交循环的乘积，每一小块循环的长度在共轭作用下都保持不变，所以：

结论 ⏱ 59:12 置换在共轭作用下，其循环分解的「形状」（各循环的长度构成）不变。所谓形状，就是指它的这些循环（cycle）的样子。

▤循环运算速查表

对象 / 运算结论（公式）例子
不相交循环分解任何置换 = 互不相交循环之积；不计次序唯一\(\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&2&1&5&4&6\end{pmatrix} = (1\;3\;2)(4\;5)\)
不相交循环可交换\((1\;3\;2)(4\;5) = (4\;5)(1\;3\;2)\)
有公共元素的循环一般不可交换，从右往左算\((1\;2\;3)(5\;6\;1\;4) \neq (5\;6\;1\;4)(1\;2\;3)\)
k-循环的写法循环移位，共 \(k\) 种\((7\;8\;9\;1) = (9\;1\;7\;8)\)
k-循环的阶\(o = k\)\(o((1\;2\;3)) = 3\)
k-循环的逆括号内逆序\((6\;5\;4)^{-1} = (4\;5\;6)\)
共轭\(\sigma(i_1\;\cdots\;i_k)\sigma^{-1} = (\sigma(i_1)\;\cdots\;\sigma(i_k))\)\((1\;2\;3)(3\;2\;5)(3\;2\;1) = (1\;3\;5)\)
共轭与形状循环长度构成不变k-循环共轭后仍是 k-循环

★重点回顾

1
变换群 \(\operatorname{Sym}(S)\)：集合 \(S\) 上全体双射在复合下构成的群；\(S_n\) 就是 \(n\) 元集合上的变换群（如 \(S_3\)）。
2
凯莱定理：任何群都同构于某个变换群的子群。证明核心：左乘算子 \(\tau_g(x) = gx\) 是双射；\(T = \{\tau_g\}\) 是子群；\(g \mapsto \tau_g\) 是同构（同态 + 单 + 满）。
3
推论：任何 \(n\) 阶有限群都同构于 \(S_n\) 的一个子群（置换群）——研究小群可以转化为研究置换群的子群。
4
任何置换都可写为互不相交循环的乘积，不计次序唯一；不动点可省略。分解方法：沿轨道追踪，回到起点封括号。
5
不相交的循环才可交换；有公共元素时顺序有关（本课约定从右往左复合）。k-循环有 \(k\) 种等价写法（循环移位）。
6
k-循环的阶为 \(k\)；k-循环的逆为括号内逆序：\((i_1\;\cdots\;i_k)^{-1} = (i_k\;\cdots\;i_1)\)。
7
共轭公式：\(\sigma(i_1\;\cdots\;i_k)\sigma^{-1} = (\sigma(i_1)\;\cdots\;\sigma(i_k))\)——把循环里的数逐个换成 \(\sigma\) 下的像；共轭保持置换的循环形状。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 随意交换循环顺序：只有互不相交的循环才可以交换；只要括号里有重复的数，换顺序结果就不同（见 \((1\;2\;3)\) 与 \((5\;6\;1\;4)\) 的反例）。
  2. 复合方向搞混：本课程把置换看成映射，复合时从右往左作用；有的课本从左往右算。循环有公共元素时，两种约定给出不同结果，做题前先确认约定。
  3. 循环的等价写法与乱序混淆：循环只能整体「循环移位」（如 \((7\;8\;9\;1) = (9\;1\;7\;8)\)），不能打乱相对顺序；把顺序完全颠倒得到的是逆置换，不是同一个置换。
  4. 共轭计算中乱消符号：\(\sigma(i_j)\) 是一个具体的数（像），不是循环记号里的可省略项；「不动点省略」只适用于把置换写成循环乘积时，两者是两码事。
  5. 「群的阶」与「元素的阶」混淆：\(|G|\) 是群中元素个数；\(o(\sigma)\) 是使 \(\sigma^n = e\) 的最小正整数 \(n\)。本讲结论：k-循环作为元素的阶是 \(k\)。

✎自测与作业

  1. 把下列置换写为不相交循环的乘积： \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 6 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}. \]
  2. 验证：一般的 k-循环 \((i_1\;i_2\;\cdots\;i_k)\) 的阶是 \(k\)（提示：看 \(i_1\) 在第 \(m\) 次作用后的像，何时第一次回到 \(i_1\)）。
  3. 分别计算 \((1\;2\;3)(5\;6\;1\;4)\) 与 \((5\;6\;1\;4)(1\;2\;3)\)，比较结果，体会「有公共元素的循环不可交换」。
  4. 设 \(\sigma = (1\;2\;3)\)，用共轭公式计算 \(\sigma(3\;2\;5)\sigma^{-1}\)；再设 \(\tau = (1\;2)(3\;4)\)，计算 \(\tau(1\;3\;5)\tau^{-1}\)。
  5. 写出 \((2\;5\;4)\) 的逆，并直接复合验证它与 \((2\;5\;4)\) 的乘积是恒等置换。
  6. （凯莱定理）设 \(G\) 为 3 阶群。按定理的证明构造 \(T = \{\tau_g : g \in G\}\)，说明 \(T\) 是 \(S_3\) 的一个 3 阶子群，从而 \(G \cong T\)。
下一讲预告 第 12 讲：置换群 (ii)——把置换表示为对换的乘积，定义置换的奇偶性与交错群 \(A_n\)（本讲中同学提出的「\(A_n\) 是什么」将正式回答）。