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◎学习目标
- 了解抽象代数（近世代数）的历史背景与两大驱动力；
- 掌握二元运算的严格定义，理解 well-defined（有定义）与封闭性；
- 熟记群的三条公理（结合律、单位元、逆元），知道半群与幺半群；
- 掌握常见群的例子，能对给定集合 + 运算逐条验证群公理；
- 理解有限群 / 无限群、交换群 / 非交换群的分类，注意「群的阶」与「元素的阶」的区别；
- 会证明群的四个基本性质：单位元唯一、逆元唯一、\((a^{-1})^{-1}=a\)、\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)；
- 掌握群元素幂的记号与指数律，以及交换群的加法记号。
0课程引言：什么是抽象代数 ⏱ 00:00
- 抽象代数也叫近世代数，是从 19 世纪晚期到 20 世纪初期发展起来的数学学科。
- 19 世纪以前的「古典代数」主要研究（解）线性方程；抽象代数把代数的研究对象带入到代数系统 / 代数结构的新方向。
- 这一转变要归功于范德瓦尔登（van der Waerden）1930 年的著作《Modern Algebra》，书中第一次系统地提出了所谓的抽象代数。
- 抽象代数的核心对象是群、环、域：它们都是「一个集合 + 上面的运算 + 运算满足的公理性条件」。
背景 · 两大驱动力
- 伽罗瓦（Galois）理论：研究多项式方程的根式可解性——能否用方程系数的基本运算与开根号把根表示出来。伽罗瓦理论指出：多项式方程根式可解的重要条件是其对应的伽罗瓦群是可解群。它把群论与域论完美结合，解决了一个古典问题。
- 尺规作图：用不带刻度的直尺和圆规解决（二等分、三等分线段等）几何作图问题。
本门课程的主要内容：群、环、域的基本概念与性质。本讲从群开始。
1二元运算 ⏱ 02:53
1.1 映射（回顾）
设 \(A, B\) 为非空集合。映射 \(f: A \to B\) 指：对任意 \(a \in A\)，在 \(B\) 中存在且唯一存在一个元素 \(b\)，使得 \(b = f(a)\)。
1.2 二元运算的定义
定义 · 二元运算
设 \(S\) 为非空集合。\(S\) 上的一个二元运算是一个映射
\[ * : S \times S \longrightarrow S, \qquad (a,b) \longmapsto a * b \]
「二元」指输入两个元素，运算后得到一个元素。记号 \(*\) 只是一个符号，也可写作 \(\cdot\)、\(+\) 等；常把 \(a \cdot b\) 简写为 \(ab\)。
Remark · 两点必须看清
- 有定义（well defined）：任意 \(a, b \in S\)，存在唯一的 \(c \in S\) 使得 \(a * b = c\)。即任取两个元素，运算结果存在且唯一，不能出现不同结果。
为什么现在强调？ 后面学习商群时，同一个元素可能有不同的代表元（表达方式），必须验证运算与代表元的选取无关——那时你会明白这一点为何重要。 - 封闭性：任意 \(a, b \in S\)，运算结果 \(a*b\) 仍属于 \(S\)，「不能跑出去」。这其实直接蕴含在定义中——因为运算是从 \(S \times S\) 映到 \(S\) 的映射。
1.3 例子与反例
例 · 是二元运算
整数集 \(\mathbb{Z}\) 上的加法：任取两个整数（如 \(1+2=3\)），结果存在、唯一且仍是整数。满足 well-defined 与封闭性。
反例 · 不是二元运算 ⏱ 08:11
在 \(\mathbb{Z}\) 上定义 \(m * n = m \div n\)（通常的除法）。这不是 \(\mathbb{Z}\) 上的二元运算：例如 \(1 * 2 = \tfrac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\)，不封闭。
1.4 两个矩阵记号（高等代数回顾）⏱ 09:22
- \(M_n(\mathbb{R})\)：实数域上所有 \(n \times n\) 矩阵组成的集合。
- \(GL_n(\mathbb{R}) = \{\, A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A \neq 0 \,\}\)：所有行列式不为零的 \(n\) 阶方阵（后面将证明它对乘法构成群）。
课堂更正 ⏱ 21:08
\(M_n(\mathbb{R})\) 对加法封闭（加法是其上的二元运算）；但 \(GL_n(\mathbb{R})\) 对加法不封闭：例如 \(A + (-A) = O\)，而 \(\det O = 0\)，结果跑出了 \(GL_n(\mathbb{R})\)。\(GL_n(\mathbb{R})\) 是对乘法封闭（两个行列式非零的矩阵相乘，行列式仍非零）。
2群的定义 ⏱ 10:43
定义 · 群（Group）
设 \(G\) 为非空集合，其上有一个二元运算（记作 \(\cdot\)）。若满足以下三条，则称 \((G, \cdot)\) 为一个群：
- 结合律：对任意 \(a,b,c \in G\)，\((ab)c = a(bc)\)。⏱ 12:23
- 单位元存在：存在 \(e \in G\)，使得对任意 \(a \in G\)，\(ea = ae = a\)。\(e\) 称为单位元。⏱ 12:53
- 逆元存在：对任意 \(a \in G\)，存在 \(a^{-1} \in G\)，使得 \(a\,a^{-1} = a^{-1}a = e\)。\(a^{-1}\) 称为 \(a\) 的逆元。⏱ 13:29
- 逆元 \(a^{-1}\) 必须仍在集合 \(G\) 中（一切运算都要封闭）。
- 习惯把集合与运算一起写出：\((G, \cdot)\) 是一个群。
- 运算符号 \(*\)、\(\cdot\)、\(+\) 取决于需要；若运算与通常的加/乘不同，建议用 \(*\) 等新符号以示区别；无歧义时常省略符号直接写 \(ab\)。
相关结构（教材中会见到）⏱ 15:00
- 半群：只要求运算满足结合律；
- 幺半群：满足结合律且有单位元；
- 群 = 半群 + 单位元 + 逆元。本课程只研究群；半群、幺半群条件更弱、性质更广，有兴趣可自学。
方法论
每次看到「某集合对某运算构成群」的断言，都要逐条对照三条公理验证：结合律？单位元是谁？每个元素的逆元是谁？
3群的例子 ⏱ 15:49
3.1 整数、有理数
例 1 · \((\mathbb{Z}, +)\) 是群
结合律：\((m+n)+k = m+(n+k)\)；单位元是 \(0\)（\(m+0=0+m=m\)）；\(m\) 的逆元是 \(-m\)（\(m+(-m)=0\)）。三条全满足。
反例 · \((\mathbb{Z}, \times)\) 不是群 ⏱ 17:53
单位元是 \(1\)，但多数元素没有整数范围内的乘法逆元：如 \(3 \times \,? = 1\) 需要 \(\tfrac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\)。
例 2 · \((\mathbb{Q}, +)\) 是群；\((\mathbb{Q}, \times)\) 不是群 ⏱ 19:04
有理数加法构成群。但乘法下 \(0\) 没有逆元，故 \((\mathbb{Q}, \times)\) 不是群。
例 3 · \((\mathbb{Q}^{*}, \times)\) 是群 ⏱ 20:15
记 \(\mathbb{Q}^{*} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\)（去掉 \(0\) 的有理数集）。单位元为 \(1\)；元素 \(\tfrac{p}{q}\)（\(p,q \in \mathbb{Z},\ p,q \neq 0\)）的逆元是 \(\tfrac{q}{p}\)，仍在 \(\mathbb{Q}^{*}\) 中。结合律显然。
3.2 模 \(n\) 剩余类群——第一个有限群例子 ⏱ 22:21
定义 · \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)（模 \(n\) 剩余类群，讲义记作 \(G_n\)）
集合为 \(\{0, 1, 2, \dots, n-1\}\)，共 \(n\) 个元素。运算（记作 \(\oplus\)，以区别于普通加法）定义为：
\[ i \oplus j = \begin{cases} i + j, & i + j < n, \\ i + j - n, & i + j \ge n. \end{cases} \]
等价说法（带余除法）：\(i \oplus j\) 就是 \(i+j\) 除以 \(n\) 所得的余数（即模 \(n\) 加法）。
例 · \(G_5 = \{0,1,2,3,4\}\) ⏱ 24:22
\(2 \oplus 2 = 4\)；而 \(3 \oplus 4\)：先算 \(3+4=7 \ge 5\)，故 \(3 \oplus 4 = 7 - 5 = 2\)。
- 单位元是 \(0\)；每个元素都有逆元（\(i \neq 0\) 时 \(i\) 的逆元是 \(n - i\)，\(0\) 的逆元是 \(0\)）。
- 这是一个含 \(n\) 个元素的有限群。后面讲商群时还会经常回到这个例子。
3.3 有限群与无限群 ⏱ 26:54
定义 · 群的阶
设 \((G, *)\) 是群。用 \(|G|\) 表示 \(G\) 中元素的个数，称为群 \(G\) 的阶。
- 若 \(|G| = n\) 为有限数，称 \(G\) 为有限群（\(n\) 阶群）；
- 若 \(G\) 含无穷多个元素，称 \(G\) 为无限群。
注意区分
这里定义的是群的阶（集合元素个数）；后面还会学习群中元素的阶，二者是不同概念，不要混淆。
前面的例子 \((\mathbb{Z},+)\)、\((\mathbb{Q},+)\)、\((\mathbb{Q}^{*},\times)\) 都是无限群；模 \(n\) 剩余类群是有限群。
3.4 交换群（Abel 群）⏱ 29:03
定义 · 交换群
设 \(G\) 是群。若对任意 \(a, b \in G\) 都有 \(ab = ba\)，则称 \(G\) 为交换群（Abel 群）。
- \((\mathbb{Z},+)\)、\((\mathbb{Q},+)\)、\((\mathbb{Q}^{*},\times)\)、\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 都是交换群。
- 习惯上：运算交换时才用 \(+\) 号；不交换的运算一般不用 \(+\) 号。
3.5 一般线性群与特殊线性群 ⏱ 30:57
命题 · \(GL_n(\mathbb{R})\) 对矩阵乘法构成群
逐条验证：
- 结合律：矩阵乘法满足 \((AB)C = A(BC)\)（高代已学）；
- 单位元：单位矩阵 \(I_n\)，满足 \(I_n A = A I_n = A\)；
- 逆元：\(\det A \neq 0 \Rightarrow\) 存在逆矩阵 \(A^{-1}\)，\(A A^{-1} = A^{-1} A = I_n\)，且 \(\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1} \neq 0\)，故 \(A^{-1} \in GL_n(\mathbb{R})\)。
例 · 特殊线性群 \(SL_n(\mathbb{R})\) ⏱ 33:11
\(SL_n(\mathbb{R}) = \{\, A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A = 1 \,\}\)。它对乘法封闭：\(\det(AB) = \det A \cdot \det B = 1\)。验证三条公理与 \(GL_n(\mathbb{R})\) 完全平行（作业：自己验证；后面也可用子群判定定理简化）。称为实数域上的特殊线性群（special linear group）。
非交换的例子 ⏱ 34:26
矩阵乘法一般不交换（\(AB \neq BA\)，高代中有反例），故 \(GL_n(\mathbb{R})\)（\(n \ge 2\)）不是交换群。这就是为什么需要「交换群」这一概念。后面要讲的置换群 \(S_3\) 也是非交换群。
3.6 四元数群 \(Q_8\) ⏱ 35:21
例 · 四元数群（有限、非交换）
集合含 8 个元素：\(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\)，运算由下列关系确定：
\[ i^{2} = j^{2} = k^{2} = -1, \qquad ij = -ji = k,\qquad jk = -kj = i,\qquad ki = -ik = j. \]
记忆口诀：按 \(i \to j \to k \to i\) 的循环顺序相乘结果为正；逆序相乘差一个负号。
- 它是 8 阶有限群，且是非交换的（如 \(ij = k\) 而 \(ji = -k\)）。
- 单位元为 \(1\)；\(-1\) 的逆元是 \(-1\)，\(i\) 的逆元是 \(-i\)（其余类似）。
3.7 例子总览表
| 集合 | 运算 | 是否群 | 单位元 | 典型元素的逆元 | 有限 / 无限 | 交换？ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathbb{Z}\) | 加法 \(+\) | ✔ 群 | \(0\) | \(m \mapsto -m\) | 无限 | 是 |
| \(\mathbb{Z}\) | 乘法 \(\times\) | ✘ 非群 | \(1\) | 如 \(3\) 无逆元 | — | — |
| \(\mathbb{Q}\) | 加法 \(+\) | ✔ 群 | \(0\) | \(q \mapsto -q\) | 无限 | 是 |
| \(\mathbb{Q}\) | 乘法 \(\times\) | ✘ 非群 | — | \(0\) 无逆元 | — | — |
| \(\mathbb{Q}^{*}\) | 乘法 \(\times\) | ✔ 群 | \(1\) | \(\tfrac{p}{q} \mapsto \tfrac{q}{p}\) | 无限 | 是 |
| \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) | 模 \(n\) 加法 \(\oplus\) | ✔ 群 | \(0\) | \(i \mapsto n-i\ (i\neq 0)\) | 有限（\(n\) 个） | 是 |
| \(GL_n(\mathbb{R})\) | 矩阵乘法 | ✔ 群 | \(I_n\) | \(A \mapsto A^{-1}\) | 无限 | 否（\(n\ge2\)） |
| \(SL_n(\mathbb{R})\) | 矩阵乘法 | ✔ 群 | \(I_n\) | \(A \mapsto A^{-1}\) | 无限 | 否（\(n\ge2\)） |
| \(Q_8\) | 四元数乘法 | ✔ 群 | \(1\) | \(i \mapsto -i\) 等 | 有限（8 个） | 否 |
4群的基本性质 ⏱ 37:35
设 \(G\) 为群。以下四条性质后面会经常用到，证明都是「一行式」的，但思路很重要。
性质 1 · 单位元唯一 ⏱ 38:48
群 \(G\) 的单位元是唯一的。
证明（点击展开）
设 \(e\) 与 \(e'\) 都是 \(G\) 的单位元。因为 \(e\) 是单位元，它对任何元素左乘不变，故 \(e\, e' = e'\)；又因为 \(e'\) 是单位元，任何元素右乘它不变，故 \(e\, e' = e\)。于是
\[ e = e\, e' = e', \]
两个「单位元」必相等。同时用到了两者都是单位元的性质——这是群论证明的典型思路。
性质 2 · 每个元素的逆元唯一 ⏱ 40:29
对任意 \(a \in G\)，\(a\) 的逆元唯一。
证明（点击展开）
设 \(a_1, a_2\) 都是 \(a\) 的逆元，即 \(a_1 a = a a_1 = e\)，\(a_2 a = a a_2 = e\)。要证 \(a_1 = a_2\)：
\[ a_1 = a_1 e = a_1 (a\, a_2) = (a_1 a)\, a_2 = e\, a_2 = a_2. \]
第一步用单位元定义，第二步用「\(a_2\) 是 \(a\) 的逆元」，第三步用结合律，第四步用「\(a_1\) 是 \(a\) 的逆元」。逆元唯一，故可放心记作 \(a^{-1}\)。
性质 3 · 逆元的逆元是自己 ⏱ 43:03
对任意 \(a \in G\)，\((a^{-1})^{-1} = a\)。
证明（点击展开）
要证「某元素是 \(a^{-1}\) 的逆元」，只需按定义验证两者相乘得单位元。由逆元定义已知
\[ a^{-1} a = a\, a^{-1} = e, \]
这恰好说明 \(a\) 就是 \(a^{-1}\) 的逆元；由逆元的唯一性（性质 2），\((a^{-1})^{-1} = a\)。
性质 4 · 乘积的逆元 = 逆元反序相乘 ⏱ 44:05
对任意 \(a, b \in G\)，\((ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}\)。
推广：若 \(a_1, \dots, a_n \in G\)，则 \((a_1 a_2 \cdots a_n)^{-1} = a_n^{-1} \cdots a_2^{-1} a_1^{-1}\)。
推广：若 \(a_1, \dots, a_n \in G\)，则 \((a_1 a_2 \cdots a_n)^{-1} = a_n^{-1} \cdots a_2^{-1} a_1^{-1}\)。
证明（点击展开）
仍按定义验证：只需证 \((ab)(b^{-1}a^{-1}) = e\)（另一方向同理）。用结合律先算中间两个：
\[ (ab)(b^{-1}a^{-1}) = a\,(b\, b^{-1})\,a^{-1} = a\, e\, a^{-1} = a\, a^{-1} = e. \]
类似可证 \((b^{-1}a^{-1})(ab) = e\)，故 \(b^{-1}a^{-1}\) 就是 \(ab\) 的逆元。类比：高代中矩阵也有 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)——这是同一性质在更一般情形下的体现。「穿脱原则」：像穿衣服再脱掉，顺序要反过来。
5记号约定：群元素的幂 ⏱ 46:04
5.1 乘法记号
设 \(a \in G\)，\(n\) 为正整数：
\[ a^{2} = aa,\quad a^{3} = aaa,\quad \dots,\quad a^{n} = \underbrace{a \cdots a}_{n \text{ 个}}, \qquad a^{0} = e, \qquad a^{-n} = (a^{-1})^{n} = \underbrace{a^{-1} \cdots a^{-1}}_{n \text{ 个}}. \]
这些定义都合法，因为群中运算封闭、每个元素都有逆元。由此可验证与中学数的幂完全类似的指数律（\(m, n\) 为整数）：
\[ a^{m} a^{n} = a^{m+n}, \qquad (a^{m})^{n} = a^{mn}, \qquad a^{-n} = (a^{-1})^{n}. \]
5.2 加法记号（交换群）⏱ 48:37
交换群的运算习惯写作 \(+\)。此时 \(n\) 个 \(a\) 相加不写 \(a^{n}\)，而写：
\[ na = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n \text{ 个}}, \qquad 0 \cdot a = 0_G,\qquad (-n)a = -(na). \]
相应性质平行改写，例如 \(ma + na = (m+n)a\)。单位元记作 \(0\)，\(a\) 的逆元记作 \(-a\)。
★重点回顾
1
群 = 集合 + 二元运算，满足结合律、单位元、逆元三条公理；验证一个群必须逐条检查。
2
二元运算必须 well-defined（结果存在且唯一）且封闭；除法不是 \(\mathbb{Z}\) 上的二元运算。
3
半群（仅结合律）\(\subset\) 幺半群（+单位元）\(\subset\) 群（+逆元）。
4
必会例子：\((\mathbb{Z},+)\)、\((\mathbb{Q}^{*},\times)\)、\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)、\(GL_n(\mathbb{R})\)、\(SL_n(\mathbb{R})\)、四元数群 \(Q_8\)；知道哪些不是群以及为什么（\(\mathbb{Z}\) 乘法、\(\mathbb{Q}\) 乘法）。
5
分类概念：有限群 / 无限群（按群的阶 \(|G|\)）；交换群 / 非交换群（按运算是否交换）。注意「群的阶」≠「元素的阶」。
6
四大基本性质：单位元唯一；逆元唯一；\((a^{-1})^{-1} = a\)；\((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\)（顺序反转，可推广到 \(n\) 个元素）。
7
幂记号：乘法群用 \(a^{n}\)，加法群（交换群）用 \(na\)；指数律与数的幂类似。
⚠易错点提醒
常见错误
- 忘记验证封闭性：如 \(GL_n(\mathbb{R})\) 对加法不封闭（\(A + (-A) = O\) 行列式为 0）。
- 误以为 \((\mathbb{Z}, \times)\) 或 \((\mathbb{Q}, \times)\) 是群——前者多数元素无逆元，后者 \(0\) 无逆元；正确做法是去掉坏元素（如 \(\mathbb{Q}^{*}\)）。
- 把群的阶 \(|G|\)（元素个数）与后面要学的「元素的阶」混淆。
- 默认运算交换：群公理不要求交换律！\((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\) 而不是 \(a^{-1}b^{-1}\)。
- 写 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 的运算时忘记「模 \(n\) 取余」：如 \(3 \oplus 4 = 2\)（在 \(G_5\) 中），不是 7。
✎自测与作业
- （课上作业）用带余除法的等价定义（\(i \oplus j = i+j\) 除以 \(n\) 的余数）验证 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) 满足结合律，并找出单位元与每个元素的逆元，从而证明它是群。
- 验证 \(SL_n(\mathbb{R})\) 对矩阵乘法构成群（与 \(GL_n(\mathbb{R})\) 的验证完全平行）。
- 验证 \((M_n(\mathbb{R}), +)\) 是一个交换群（单位元与逆元分别是什么？）。
- 在 \(G_6 = \{0,1,2,3,4,5\}\) 中计算：\(4 \oplus 5\)、\(2 \oplus 2 \oplus 2\)，并写出每个元素的逆元。
- 证明：若群 \(G\) 中每个元素都满足 \(a^2 = e\)，则 \(G\) 是交换群。（提示：考虑 \((ab)^2\)）
下一讲预告
第 2 讲：阶数最小的非交换群的例子——置换群 \(S_3\)（本讲结尾提到的非交换群的下一个例子）。